既約位相空間のソースを表示

[[位相幾何学]]において、'''既約空間'''（きやくくうかん、{{lang-en-short|irreducible space, hyperconnected space}}）とは、空でない位相空間であって、2つの真閉部分集合に分解されない（すなわち和集合として書けない）ようなものである。この空間はとりわけ既約性が基本的な位相的性質の1つである[[代数幾何学]]において現れて役に立つ。

== 定義 ==

空でない位相空間 ''X'' は以下の（同値な）条件の1つが成り立つときに'''既約'''であると言われる。
* ''X'' は2つの真の（すなわち ''X'' と異なる）閉集合の和でない。
* ''X'' の空でない有限個の開集合の共通部分は空でない。
* 真の閉集合からなる有限の族の和集合は ''X'' でない。
* すべての空でない ''X'' の開集合は ''X'' において稠密である。
* ''X'' のすべての開集合は[[連結空間|連結]]。

== 既約成分 ==

位相空間を既約な部分空間に分解することを考える。位相空間 ''X'' の'''既約成分'''（irreducible component）とは包含関係で極大な ''X'' の既約部分空間である。[[ツォルンの補題]]によって ''X'' の任意の点<math>x</math>を含む既約成分が存在することが分かる。また、極大性により既約成分が閉集合であることが容易にわかる。

[[ハウスドルフ空間]]の場合には既約成分はシングルトン（1つの元からなる集合）である。したがって既約空間の概念は[[ザリスキ位相]]のようなタイプの位相でしか役に立たない。

[[ネーター的スキーム]]において、既約成分は有限個である。一般に、すべてのネーター的位相空間の既約成分は有限個である<ref>Bourbaki, Algèbre commutative, II, §4, n°2, Proposition 10.</ref>。

== 例 == 

* 対偶を考えることにより、既約なら連結であることは容易に分かる。
*''X'' が無限集合で[[補有限位相]]（すなわち開集合が補集合が有限であるものか ''X'' であるような位相）を与えられていれば、既約空間である。
* [[多項式環]]の[[根基イデアル]] ''I'' に対応する[[代数的集合]]が既約であることと ''I'' が[[素イデアル]]であることは同値である。
* ''A'' を単位的[[可換環]]とし''X'' を[[ザリスキ位相]]を入れた ''A'' の[[環のスペクトル|スペクトル]]とする。このとき ''X'' の既約成分は ''A'' の極小素イデアルと1対1に対応する。
* ''Z'' を ''X'' の既約部分集合とする。このときその ''X'' における閉包も既約である（実際、閉包のすべての空でない開集合は ''Z'' と交わり、よって ''Z'' において稠密で、したがって閉包において稠密である）。
* ''X'' が既約であれば、''X'' のすべての稠密な部分集合 ''Z'' は既約である。なぜなら、''U<sub>1</sub>,  U<sub>2</sub>'' が ''Z'' の空でない開集合で、それぞれ ''X'' の開集合 ''V<sub>1</sub>, V<sub>2</sub>'' と ''Z'' の共通部分であるとすると、共通部分 <math>V_1\cap V_2</math> は ''X'' の既約性により ''X'' の空でない開集合で、''Z'' の稠密性により ''Z'' と交わるので、<math>U_1\cap U_2\ne\emptyset</math> である。 
*局所既約（任意の点<math>x \in X</math>に対して既約な開近傍がとれること）な位相空間では、既約成分であることと連結成分であることは同値である。実際、<math>X</math>の連結成分<math>\cal I</math>は、全ての<math>\cal I</math>と交わる開かつ閉である集合、よって特に<math>\cal I</math>と交わる既約成分に含まれる。既約なら連結であるから、<math>\cal I</math>の極大性によりは既約でなければならない。 

すべての既約[[スキーム]]は唯一の生成点すなわち閉包が空間全体になるような点をもつ。一般の既約空間においてはこの限りではない（例えば既約代数的集合は1点からなる場合を除いて生成点をもたない）。

== 関連項目 ==

* この概念は[[位相次元]]を定義するのに使う。
* [[クルル次元]]も見よ 

== 参考文献 == 

<references/> 

[[Éléments de géométrie algébrique]],  I, §2.1.

{{デフォルトソート:きやくいそうくうかん}}
[[Category:一般位相]]
[[Category:代数幾何学]]
[[Category:数学に関する記事]]