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[[代数学]]において'''既約多項式'''（きやくたこうしき、{{lang-en-short|irreducible polynomial}}）とは、[[多項式環]]の[[既約元]]<ref group="注">{{harv|永田|1995}}の語法では「固有既約元」のこと。</ref>のことである。 ==概要== より冗長には次のようになる。 {{mvar|R}} を[[整域]]とし、その[[可逆元|単数]]全体を {{math|''R''<sup>×</sup>}}、一変数多項式環を {{math|''R''[''X'']}} とおく。 多項式 {{math|''ƒ'' ∈ ''R''[''X'']}} が2条件 * {{math|''ƒ'' ∉ ''R''<sup>×</sup>}} * {{math|∀ ''g'', ''h'' ∈ ''R''[''X'']   ''ƒ'' {{=}} ''gh'' ⇒ ''g'' ∈ ''R''<sup>×</sup> or ''h'' ∈ ''R''<sup>×</sup>}} を満たすとき'''既約'''であるという。そうでないとき'''可約'''であるという。 元々、整数係数多項式（有理数係数多項式) f(x) が、2 つの1次以上の整数係数多項式（有理数係数多項式） g(x),h(x) の積として[[因数分解]]できる時、すなわち f(x) = g(x) h(x) の形にできることを可約、そうでないときを既約として多項式の性質を調べる事はあったが、係数の範囲を一般化して、特定の無理数や複素数の四則演算で得られる係数での因数分解を考え、既約性を導入したのは[[ニールス・アーベル]]である。 係数環 {{mvar|R}} が[[整数環]]や[[実数|実数体]]、[[複素数体]]のような[[一意分解整域]]の場合には既約多項式は多項式環における[[素元]]でもあるので、これは整数環における[[素数]]の類似物である。 == 例 == * [[整数環]]上の一変数多項式 {{math|''X''<sup>2</sup> + 1}} は既約多項式である * 整数環上の一変数多項式 {{math|''X''<sup>2</sup> − 1}} は {{math|''X''<sup>2</sup> − 1 {{=}} (''X'' + 1)(''X'' − 1)}} より可約多項式である * [[有限体]] {{math|'''F'''<sub>2</sub>}} 上の一変数多項式 {{math|''X''<sup>2</sup> + 1}} は {{math|''X''<sup>2</sup> + 1 {{=}} (''X'' + 1)<sup>2</sup>}} より可約多項式である * [[円分多項式]] {{math|Φ<sub>''d''</sub>(''X'') ∈ '''Q'''[''X'']}} は既約多項式である * [[最小多項式 (体論)|最小多項式]]は既約多項式である == 判定法 == 整域 {{mvar|R}} の[[素イデアル]] {{mvar|P}} とモニック多項式 :<math> f(X) = X^n + a_1X^{n - 1} + \dotsb + a_n \in R[X] </math> をとる。このとき2条件 * {{math|''a''<sub>1</sub>, …, ''a<sub>n</sub>'' ∈ ''P''}} * {{math|''a<sub>n</sub>'' ∉ ''P''<sup>2</sup>}} を満たすならば多項式 {{mvar|ƒ}} は既約である（[[アイゼンシュタインの既約判定法]]）{{Sfn|永田|1995|loc=定理 8.1.11}}{{Sfn|van der Waerden|2003|loc=Exercise 18.11}}。 たとえば素数 {{mvar|p}} と自然数 {{math|''m''}} に対して整数環上の一変数多項式 {{math|''X<sup>m</sup>'' − ''p''}} は既約である。ただし、これは既約である[[必要条件]]ではない。実際、例にある {{math|''X''<sup>2</sup> + 1 ∈ '''Z'''[''X'']}} はこの判定法で既約性を判定できない。 == 体上の既約多項式 == [[位数]] {{mvar|q}} の[[有限体]]上モニックな {{mvar|n}} 次既約多項式の総数は次の式で与えられる<ref>{{Citation |author=Sunil K. Chebolu, Jan Minac |date=2011 |title=Counting irreducible polynomials over finite fields using the inclusion-exclusion principle | url=https://arxiv.org/abs/1001.0409v6}}</ref>。 :<math>\frac{1}{n}\sum_{d \mid n}\mu\left(\frac{n}{d}\right)q^d</math> ただし {{mvar|μ}} は[[メビウス関数]]を表す。（[[ネックレス多項式]]も参照。） == 脚注 == {{脚注ヘルプ}} === 注釈 === {{Notelist2}} === 出典 === {{reflist}} == 参考文献 == * {{Cite book |last1 = 永田 |first1 = 雅宜 |authorlink = 永田雅宜 |year = 1995 |title = [http://www.kinokuniya.co.jp/f/dsg-01-9784314001175 可換環論] |publisher = [[紀伊國屋書店]] |series = 紀伊國屋数学叢書 |isbn = 4-314-00117-8 |ref = harv }} * {{Cite book |last1 = van der Waerden |first1 = B. L. |year = 2003 |title = [http://www.springer.com/mathematics/algebra/book/978-0-387-40625-1 Algebra] |publisher = Springer-Verlag |volume = II |isbn = 0-387-40625-5 |ref = harv }} {{Polynomials}} {{Authority control}} {{デフォルトソート:きやくたこうしき}} [[Category:代数学]] [[Category:環論]] [[Category:数学に関する記事]]
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