既約成分のソースを表示

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[[数学]]、とりわけ[[代数幾何学]]において、'''既約成分''' (irreducible component) の概念は方程式 ''XY'' = 0 によって定義されるような集合は二本の直線 ''X'' = 0 と ''Y'' = 0 の和集合であるというアイデアを形式的にするために使われる。したがって空でない[[代数的集合]] (algebraic set) が'''既約''' (irreducible) であるとは、2つの真の代数的部分集合の和集合でないということである。次のことは古典的な代数幾何学の基本的な定理である。すべての代数的集合は有限個の既約代数的部分集合（[[代数多様体|多様体]]）の和集合であり、この分解はほかの部分集合に含まれるようなものをとり除けば一意的である{{sfn|Hartshorne|1977|p={{google books quote|id=7z4mBQAAQBAJ|page=5|5}}}}。この一意的な分解の元は'''既約成分''' (irreducible component) と呼ばれる。

この概念は[[ザリスキ位相]]（これは閉部分集合が部分多様体であるような位相である）という[[位相]]の用語を用いて再定式化することができる：代数的集合が既約であるとはそれがザリスキ位相で閉な2つの真の部分集合の和集合でないことである。これによってトポロジーにおける一般化ができ、それを通じて、有限分解の上記の性質が必ずしも正しくないような一般の[[概型|スキーム]]に一般化できる。

== 位相幾何学において ==
[[位相空間]] ''X'' が'''可約''' (reducible) であるとは、それが ''X'' の2つの空でない真の[[閉集合|閉]][[部分集合]] <math>X_1</math>, <math>X_2</math> の和集合 <math>X = X_1 \cup X_2</math> として書けるということである。位相空間が'''[[既約位相空間|既約]]''' (irreducible)（あるいは '''hyperconnected'''）であるとは、それが可約でないということである。同じことだが、''X'' のすべての空でない[[開集合|開部分集合]]は[[稠密集合|稠密]]である、あるいは任意の2つの空でない開集合は空でない[[共通部分]]をもつ。

位相空間 ''X'' の部分集合 ''F'' が既約あるいは可約であるとは、''F'' を[[相対位相]] ({{Lang|en|subspace topology}}) によって位相空間と見たときに上記の意味での対応する性質をもつということである。つまり、<math>F</math> が可約であるとは、それが和集合 <math>F = (G_1\cap F)\cup(G_2\cap F)</math> として書ける、ただし <math>G_1,G_2</math> は <math>X</math> の閉部分集合でどちらも <math>F</math> を含まない、ということである。

[[位相空間]]の'''既約成分''' (irreducible component) は[[極大元|極大]][[既約位相空間|既約]][[真部分集合|部分集合]]である。ある部分集合が既約なら、その[[閉包 (位相空間論)|閉包]]も既約であり、したがって既約成分は[[閉集合]]である。

== 代数幾何学において ==

すべての[[アフィン多様体|アフィン]]あるいは[[射影多様体|射影代数的集合]]は[[多項式環]]の[[イデアル]]の零点集合として定義される。この場合、既約成分は極小素イデアルに対応する多様体である。分解の一意性と有限性を証明できるようにするのはこの同一視である。この分解はイデアルの[[準素分解]]と強く関係している。

一般の[[スキーム論]]、すべてのスキームは既約成分の和集合であるが、成分の数が有限であるとは限らない。しかしながら、「実際」上起こるたいていのケースでは、すなわちすべての[[ネータースキーム]]に対しては、既約成分は有限個である。

== 例 ==
既約性は集合の位相にかなり依存する。例えば、直感に反するかもしれないが、実数全体は通常の位相で可約である：2つの閉集合 (-∞,0] と [0,+∞) の和集合である。

既約成分の概念は[[代数幾何学]]において基本的であり、数学のこの分野の外ではめったに考えられない：[[代数的集合]]

:''X'' := { (''x'', ''y'') | ''xy'' = 0 }

を考えよう。これは平面の部分集合である。[[ザリスキ位相]]について、その閉部分集合はそれ自身、空集合、[[一元集合]]、''x'' = 0 と ''y'' = 0 で定義される二本の直線である。したがって ''X'' は可約であり、二本の直線がその既約成分である。

これは（多様体 ''X'' が体 ''k'' 上定義されているとして）[[座標環]] ''k''[''x'',&nbsp;''y'']/(''xy'') からも読み取ることができる。その極小[[素イデアル]]は (''x'') と (''y'') である。

== 脚注 ==
{{reflist|2}}

== 参考文献 ==
* {{cite book
|last1      = Hartshorne
|first1     = R.
|authorlink1 = ロビン・ハーツホーン
|year       = 1977
|title      = Algebraic Geometry
|series     = Graduate Texts in Mathematics
|volume     = 52
|url        = {{google books|7z4mBQAAQBAJ|plainurl=yes}}
|publisher  = Springer-Verlag
|isbn       = 0-387-90244-9
|mr         = 0463157
|zbl        = 0367.14001
|doi        = 10.1007/978-1-4757-3849-0
|ref        = harv
}}
 
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{{PlanetMath attribution|id=33107|title=Irreducible component}}

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[[Category:代数幾何学]]
[[Category:一般位相]]
[[Category:代数多様体]]
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[[fr:Dimension_de_Krull#Composantes_irr.C3.A9ductibles]]