既約表現のソースを表示

[[数学]]のとくに[[群 (数学)|群]]あるいは[[体上の多元環|多元環]]の[[表現論]]における（代数的構造の）'''既約表現'''（きやくひょうげん、{{lang-en-short|''irreducible representation''}}; '''irrep'''） とは、真の閉部分表現を持たない非零表現を言う。

[[エルミート形式|複素内積]][[ベクトル空間]] ''V'' 上の任意の有限次元[[ユニタリ表現]]は、既約表現の[[加群の直和|直和]]である。既約表現は常に'''直既約'''である（すなわち、別の表現の直和にかくことができない）であり、この二つはしばしば混同されるが、例えば上半三角冪零行列として作用する実数の二次元表現など、一般には可約だが直既約な表現が無数に存在する。

== 歴史 ==
群の表現論は1940年代頃から{{仮リンク|リチャード・ブラウアー|en|Richard Brauer}}により一般化され、行列作用素が（[[実数|実]]または[[複素数]]を成分とするベクトルではなく）任意[[標数]]の[[可換体|体]] ''K'' 上作用する[[モジュラー表現論]]が与えられた。そうした理論における既約表現の類似構造物を[[単純加群]]と呼ぶ。

== 概観 ==
{{main|群の表現}}

ρ を[[可換体|体]] ''F'' 上のベクトル空間 ''V'' における群 ''G'' の[[表現論|表現]] ρ: ''G'' → GL(''V'') とする。''V'' の基底をとれば、ρ を群から正則行列からなる適当な集合の上への写像（[[準同型]]）と見做すことができて、この文脈では'''行列表現'''と呼ばれるが、基底をとらずに空間 ''V'' を考えるほうが物事は非常に単純になる。

''V'' の[[線型部分空間]] ''W'' が''' ''G''-不変'''であるとは、任意の {{math|''g'' &isin; ''G''}} および {{math|''w'' &isin; ''W''}} に対して {{math|''gw'' &isin; ''W''}} が成り立つことを言う。表現 ρ を ''G''-不変部分空間 ''W'' へ[[写像の制限|制限]]したものは'''部分表現'''と呼ばれる。表現 ρ: ''G'' → GL(''V'') が'''既約'''であるとは、それが自明でない部分表現を持たないことをいう（任意の表現は自明な ''G''-不変部分空間、つまり全体空間 ''V'' と[[零ベクトル空間|{0}]] を部分表現として必ず含むことに注意）。 真の非自明な不変部分空間を持つ表現 ρ は、'''可約''' (''reducible'') であると言う。

=== 群表現の記法と語法 ===
群の元は[[行列]]として表現することができる。この文脈で「表現する」というのは特定の明確な意味を持つことに注意すべきである。群の表現は、群の元全体の成す集合から行列の成す[[一般線型群]]への写像のことを言う。記法として、''G'' の元はラテン小文字 ''a'', ''b'', ''c'', … で表し、群の乗法は記号を省略して ''G'' の元 ''ab'' とは ''a'' と ''b'' との積のこととする。表現を ''D'' とするとき、群の元''' ''a'' の表現行列'''は
: <math>D(a) = \begin{pmatrix}
D(a)_{11} & D(a)_{12} & \cdots & D(a)_{1n} \\
D(a)_{21} & D(a)_{22} & \cdots & D(a)_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
D(a)_{n1} & D(a)_{n2} & \cdots & D(a)_{nn} \\
\end{pmatrix}</math>
の形に書ける。群の表現の定義により、群の元の積の表現行列は
: <math>D(ab) = D(a)D(b) </math>
として各元の表現行列の[[行列の積|積]]に翻訳される。群の[[単位元]] ''e''（即ち ''ae'' = ''ea'' = ''a'' を満たす元）に対し、''D''(''e'') は[[単位行列]]あるいは同じことだが単位行列からなる[[区分行列|ブロック行列]]にならなければいけないことが、
: <math>D(ea) = D(ae) = D(a)D(e) = D(e)D(a) = D(a) </math>
から分かる（群の他の元についても同様である）。

=== 直可約および直既約表現 ===
表現が'''直可約''' (decomposable) であるとは、その表現の任意の行列を[[対角化]]する相似行列 ''P'' による[[行列の相似|相似変換]]<ref name="Wigner p 73">{{cite book| author=E.P. Wigner|title=Group theory and its application to the quantum mechanics of atomic spectra|year=1959|series=Pure and applied physics|page=73|publisher=Academic press|isbn=}}</ref>
: <math> D(a) \mapsto P^{-1} D(a) P</math>
によって表現の各行列が同じパターンの対角ブロックに写されることを言う（各ブロックが互いに独立な群の表現を与える）。表現行列 ''D''(''a'') と ''P''<sup>−1</sup>''D''(''a'')''P'' は'''同値な表現'''であるという<ref>{{cite book|author= W.K. Tung|title=Group Theory in Physics|page=32|publisher=World Scientific|year=1985|url=https://books.google.co.uk/books?id=O89tgpOBO04C&printsec=frontcover&dq=group+theory+in+physics&hl=en&sa=X&ei=Xsd-UdmjONKg0wW96ICwBg&redir_esc=y#v=onepage&q=group%20theory%20in%20physics&f=false|isbn=997-1966-565}}</ref>。表現行列が ''k'' 個の{{仮リンク|行列の直和|en|direct sum of matrices}}
: <math>D(a) = \begin{pmatrix} 
D^{(1)}(a) & 0 & \cdots & 0 \\
0 & D^{(2)}(a) & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & D^{(k)}(a) \\
\end{pmatrix} = D^{(1)}(a) \oplus D^{(2)}(a) \oplus \cdots \oplus D^{(k)}(a) </math>
に分解できるとき（つまり ''D''(''a'') が'''直可約'''のとき）、各直和因子行列には ''D''<sup>(''n'')</sup>(''a'') (''n'' = 1, 2, …, ''k'') のように普通は上付きの添字を括弧書きするが、括弧を付けないで書く文献もある。

''D''(a) の次元は、各ブロックの次元の総和
: <math> \mathrm{dim}[D(a)] = \mathrm{dim}[D^{(1)}(a)] + \mathrm{dim}[D^{(2)}(a)] + \ldots + \mathrm{dim}[D^{(k)}(a)] </math>
に一致する。

表現行列がこのようなブロック対角行列にできないとき、その表現は'''直既約''' (indecomposable) であると言う<ref name="Wigner p 73"/><ref name="Tung 33">{{cite book|author= W.K. Tung|title=Group Theory in Physics
|page=33|publisher=World Scientific|year=1985|url=https://books.google.co.uk/books?id=O89tgpOBO04C&printsec=frontcover&dq=group+theory+in+physics&hl=en&sa=X&ei=Xsd-UdmjONKg0wW96ICwBg&redir_esc=y#v=onepage&q=group%20theory%20in%20physics&f=false|isbn=997-1966-565}}</ref>。

== リー群 ==
{{main|リー群の表現}}

===ローレンツ群===
{{main|{{仮リンク|ローレンツ群の表現論|en|Representation theory of the Lorentz group}} }}

'''J''' を回転の生成系、'''K''' を励起の生成系としたとき、{{nowrap|D('''K''')}} と {{nowrap|D('''J''')}} の既約表現はローレンツ群のスピン表現を作ることに使うことができる。なぜならば、量子力学のスピン行列と関係しているからである。このことから{{仮リンク|相対論的波動方程式|en|relativistic wave equation}}を導出することができる。<ref>{{cite news
 | author = T. Jaroszewicz, P.S Kurzepa
 | year = 1992
 | location = California, USA
 | publisher = 
 | title = Geometry of spacetime propagation of spinning particles
 | journal = Annals of Physics
 | arxiv = 
 | url = http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/000349169290176M
}}</ref>

== 関連項目 ==
=== 結合代数 ===
*[[単純加群]]
*[[直既約加群]]
*[[結合代数の表現]]

=== リー群 ===
* [[リー代数の表現|リー代数の表現論]]
* {{仮リンク|SU(2)の表現論|en|Representation theory of SU(2)}}
* {{仮リンク|SL(2)の表現論|en|Representation theory of SL2(R)}} 
* {{仮リンク|ガリレイ群の表現論|en|Representation theory of the Galilean group}}
* {{仮リンク|微分同相群の表現論|en|Representation theory of diffeomorphism groups}}
* {{仮リンク|ポアンカレ群の表現論|en|Representation theory of the Poincaré group}}

== 参考文献 ==
{{reflist}}

=== 図書 ===
*{{cite book|author=[[Hermann Weyl|H. Weyl]]|title=The theory of groups and quantum mechanics|page=203|publisher=Courier Dover Publications|year=1950|url=https://books.google.co.uk/books?id=jQbEcDDqGb8C&pg=PA203&dq=magnetic+moments+in+relativistic+quantum+mechanics&hl=en&sa=X&ei=X1h4Uc79Dcb40gWI1YDwCg&redir_esc=y#v=onepage&q=magnetic%20moments%20in%20relativistic%20quantum%20mechanics&f=false}}
*{{cite book|author=A. D. Boardman, D. E. O'Conner, P. A. Young|title=Symmetry and its applications in science|page=|publisher=McGraw Hill|year=1973|isbn=0-07-084011-3}}
*{{cite book|author=V. Heine|title=Group theory in quantum mechanics: an introduction to its present usage|page=|publisher=Dover|year=republished: 2007 original: 1960|url=https://archive.org/details/GroupTheoryInQuantumMechanics|isbn=0-07-084011-3}}
*{{cite book|author=V. Heine|title=Group Theory in Quantum Mechanics: An Introduction to Its Present Usage
|page=|publisher=Courier Dover Publications|year=1993|url=https://books.google.co.uk/books?id=NayFD34uEu0C&pg=PA363&dq=lorentz+group+in+relativistic+quantum+mechanics&hl=en&sa=X&ei=8MZ-Ua-uNqaK0AX57YGYCA#v=onepage&q=lorentz%20group%20in%20relativistic%20quantum%20mechanics&f=false|isbn=048-6675-858}}
*{{cite book|title=Quantum Mechanics|author=E. Abers|publisher=Addison Wesley|year=2004|page=425|isbn=978-0-13-146100-0}}
*{{cite book| author=B. R. Martin, G.Shaw|title=Particle Physics|edition=3rd|publisher=Manchester Physics Series, John Wiley & Sons|pages=3|isbn=978-0-470-03294-7}}
*{{citation
 |last = Weinberg
 |first = S
 |year = 1995 
 |title = The Quantum Theory of Fields
 |pages=230–231
 |volume = 1
 |publisher=Cambridge university press
 |isbn = 0-521-55001-7
}}
*{{citation
 | last = Weinberg
 | first = S
 | year = 1996
 | month = 8
 | title = The Quantum Theory of Fields
 | volume = 2
 |publisher=Cambridge university press
 |isbn = 0-521-58555-4
}}
*{{citation
 | last = Weinberg
 | first = S
 | year = 2000
 | title = The Quantum Theory of Fields
 | volume = 3
 |publisher=Cambridge university press
 |isbn = 0-521-66000-9
}}
*{{cite book |author=R. Penrose| title=[[The Road to Reality]]| publisher= Vintage books|page=| year=2007 | isbn=0-679-77631-1}}
*{{cite book|title=Molecular Quantum Mechanics (Parts 1 and 2): An introduction to quantum chemistry|volume=1|pages=125–126|author=P. W. Atkins|publisher=Oxford University Press|year=1970|isbn=0-19-855129-0}}

=== 論文 ===
*{{cite journal|author1=Bargmann, V.|author2=Wigner, E. P.|title=Group theoretical discussion of relativistic wave equations|year=1948|journal=Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A.|volume=34|pages=211–23|url=http://www.pnas.org/cgi/content/citation/34/5/211|issue=5}}
*{{cite journal
 | author = E. Wigner
 | year = 1937
 | title = On Unitary Representations Of The Inhomogeneous Lorentz Group
 | journal = Annals of Mathematics
 | location = 
 | volume = 40
 | number = 1
 | page = 149
 | publisher = 
 | url = http://courses.theophys.kth.se/SI2390/wigner_1939.pdf
}}

=== 関連文献 ===
*{{cite web|last=Artin|first=Michael|title=Noncommutative Rings|url=http://math.mit.edu/~etingof/artinnotes.pdf|year=1999|location=Chapter V |accessdate=2013-12-11}}

== 外部リンク ==
*[http://www.crystallography.fr/mathcryst/pdf/nancy2010/Aroyo_reps2010.pdf (2010) ''Commission on Mathematical and Theoretical Crystallography, Summer Schools on Mathematical Crystallography'']
*[http://cft.fis.uc.pt/eef/evbgroups.pdf ''Some notes on group theory'']
*[http://math.berkeley.edu/~teleman/math/RepThry.pdf ''Representation Theory'']
*[http://panda.unm.edu/Courses/Finley/p467/handouts/YoungTableauxSubs.pdf ''Some Notes on Young Tableaux as useful for irreps of su(n)'']
*[http://www.huntresearchgroup.org.uk/teaching/teaching_MOs_year2/L2_Addn_Symm_Labels.pdf ''Irreducible Representation (IR) Symmetry Labels'']
*[http://www.physics.indiana.edu/~dermisek/QFT_08/qft-I-14-4p.pdf ''Representations of Lorentz Group'']
*[http://einrichtungen.ph.tum.de/T30f/lec/QFT/groups.pdf ''Representations of Lorentz and Poincaré groups'']
*[http://www.math.columbia.edu/~woit/QM/lorentzrep.pdf ''Quantum Mechanics for Mathematicians: Representations of the Lorentz Group'']
*[http://pages.cs.wisc.edu/~guild/symmetrycompsproject.pdf ''Representations of the Symmetry Group of Spacetime'']
*[http://panda.unm.edu/Courses/Finley/P495/handouts/PoincareLieAlgebra.pdf ''Lie Algebra for the Poincaré, and Lorentz, Groups'']
*[http://arxiv.org/pdf/hep-th/0611263.pdf ''The unitary representations of the Poincaré group in any spacetime dimension'']
*{{cite web|title=McGraw-Hill dictionary of scientific and technical terms|url=http://www.answers.com/topic/irreducible-representation-of-a-group |accessdate=2013-12-11}}

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