明示公式のソースを表示

{{要改訳}}
数学では、'''[[L-函数]]の明示公式'''(explicit formulae for L-function)は、L-函数の複素数の零点を渡る総和と素数冪を渡る総和との関係のことを言い、[[リーマンゼータ函数]]について {{harvtxt|Riemann|1859}} により導入された。明示公式は、{{仮リンク|代数体の判別式|en|discriminant of an algebraic number field}}(discriminant of an algebraic number field)や[[導手]]の境界に関する問題への応用も持っている。
<!--In [[mathematics]], the '''explicit formulae for [[L-function]]s''' are relations between   sums  over the complex number zeroes of an L-function and sums over prime powers, introduced  by {{harvtxt|Riemann|1859}}  for the [[Riemann zeta function]].  Such explicit formulae have been applied also to questions on bounding the [[discriminant of an algebraic number field]], and the [[conductor of a number field]].-->

==リーマンの明示公式==
リーマンは1859年の論文 「[[与えられた数より小さい素数の個数について]] (Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse)」で、
:<math>\pi_0(x) = \frac{1}{2} \lim_{h\to 0} (\pi(x+h) + \pi(x-h))</math>
により、{{仮リンク|素数数え上げ函数|en|prime-counting function}}(prime-counting function)  &pi;<sub>0</sub>(x) を発見した。この函数は、正規化された素数数え上げ函数 π(x) へ関係付けられている。この公式は、関係する函数
:<math>f(x) =\pi(x)+\frac{1}{2}\pi(x^{1/2})+\frac{1}{3}\pi(x^{1/3})+\cdots</math>
の項で与えられた。(リーマンはこのように<math>f(x)</math>と書き表したが、現在では<math>f(x)</math>といえば関数一般のことを指すため、<math>J(x)</math>と書くことが慣例となっている。)この函数がどのように素数の数を数えるかというと、素数 p の 1/n となるように、素数のべき p<sup>n</sup> を数え、不連続点で左からの極限と右からの極限の数論的意味を持つものとして（2つの平均をとることで）、数え上げられる。正規化された素数数え上げ函数は、この函数より
:<math>\pi_0(x) = \sum_n\mu(n)f(x^{1/n})/n = f(x) -\frac{1}{2}f(x^{1/2})-\frac{1}{3}f(x^{1/3}) - \cdots</math>
として得られる。リーマンの公式は
:<math>f(x) = \operatorname{li}(x) - \sum_\rho \operatorname{li}(x^\rho) -\log(2) +\int_x^\infty\frac{dt}{t(t^2-1)\log(t)}</math>
となり、リーマンゼータ函数が非自明な零点を渡る和を意味する。この和は[[絶対収束]]しないが、零点の虚数部の絶対値のオーダーを取ることで、零点を評価できる。最初の項の中の函数 li は、発散積分
:<math>\operatorname{li}(x) = \int_0^x\frac{dt}{\log(t)}</math>
の[[コーシーの主値]]により与えられる[[対数積分]]である。ゼータ函数の零点を意味する項 li(x<sup>ρ</sup>) は、li が 0 と 1 で分岐点を持ち、複素変数 ρ が x > 1 で Re(ρ) > 0 の領域内へ解析接続されることへ注意を払う必要がある。他の項も零点に対応し、主要項 li(x) は s&nbsp;=&nbsp;1 での極から来ていて、多重度 &minus;1 の零点と考えられる。また残る小さな項は自明な零点から来る。この公式は、リーマンゼータ函数の零点が「期待」された点の周囲での素数の振動を制御していることを意味する。（この級数の最初のいくつかの項のグラフは、{{harvnb|Zagier|1977}}を参照）
<!--==Riemann's explicit formula==
In his 1859 paper ''[[On the Number of Primes Less Than a Given Magnitude]]'' Riemann found an explicit formula for the normalized prime-counting function &pi;<sub>0</sub>(''x'') which is related to the [[prime-counting function]] π(''x'') by
:<math>\pi_0(x) = \frac{1}{2} \lim_{h\to 0} (\pi(x+h) + \pi(x-h)).</math>
His formula was given in terms of the related function
:<math>f(x) =\pi(x)+\frac{1}{2}\pi(x^{1/2})+\frac{1}{3}\pi(x^{1/3})+\cdots</math>
which counts primes where a prime power ''p''<sup>''n''</sup> counts as 1/''n'' of a prime and which takes the arithmetic mean of the limit from the left and the limit from the right at discontinuities. The normalized prime-counting function can be recovered from this function by
:<math>\pi_0(x) = \sum_n\mu(n)f(x^{1/n})/n = f(x) -\frac{1}{2}f(x^{1/2})-\frac{1}{3}f(x^{1/3}) - \cdots.</math>
Riemann's formula is then
:<math>f(x) = \operatorname{li}(x) - \sum_\rho \operatorname{li}(x^\rho) -\log(2) +\int_x^\infty\frac{dt}{t(t^2-1)\log(t)}</math>

involving a sum over the non-trivial zeros ρ of the Riemann zeta function. The sum is not [[Absolute convergence|absolutely convergent]], but may be evaluated by taking the zeros in order of the absolute value of their imaginary part. The function li occurring in the first term is the (unoffset) [[logarithmic integral function]] given by the [[Cauchy principal value]] of the divergent integral
:<math>\operatorname{li}(x) = \int_0^x\frac{dt}{\log(t)}.</math>
The terms li(''x''<sup>ρ</sup>) involving the zeros of the zeta function need some care in their definition as li has branch points at 0 and 1, and are defined by analytic continuation in the complex variable ρ in the region  ''x''>1 and Re(ρ)>0. The other terms also correspond to zeros: the dominant term li(''x'') comes from the pole at ''s''&nbsp;=&nbsp;1, considered as a zero of multiplicity &minus;1, and the remaining small terms come from the trivial zeros. This formula says that the zeros of the Riemann zeta function control the oscillations of primes around their "expected" positions. (For graphs of the sums of the first few terms of this series see {{harvnb|Zagier|1977}}.)-->

リーマンの素数の数え上げ函数 π にかえて、[[チェビシェフ函数]] <math>\psi</math> の正規化 <math>\psi_0</math> を使うと、リーマンの公式のより単純な形への変形でき、<ref>Weisstein, Eric W. [http://mathworld.wolfram.com/ExplicitFormula.html  Explicit Formula] on MathWorld.</ref> フォン・マンゴルト(von-Mangoldt)の明示公式
:<math>\psi_0(x) = \dfrac{1}{2\pi i}\int_0^{\infty}\left(-\dfrac{\zeta'(s)}{\zeta(s)}\right)\dfrac{x^s}{s}ds=x-\sum_\rho\frac{x^\rho}{\rho} - \log(2\pi) -\log(1-x^{-2})/2</math>
を得る。ここに非整数 x に対し、ψ(x) は x よりも小さい全ての素数べき p<sup>n</sup> を渡る log(p) の和である。これはリーマン明示公式のフォン・マンゴルトによる証明で重要な役割を果たす。

ここで零点を渡る和は、再び、虚数部の増加するオーダーの中でとる必要がある。<ref name=Ing77>Ingham (1990) p.77</ref>
:<math>\sum_\rho\frac{x^\rho}{\rho} = \lim_{T \rightarrow \infty} S(x,T) \ </math>
ここに、
:<math>S(x,T) = \sum_{\rho:|\Im \rho| \le T} \frac{x^\rho}{\rho}</math>
である。

和を消去することを意味する S(x,T) のエラー項は、オーダーが<ref name=Ing77/>
:<math> x^2 \frac{\log^2 T}{T} + \log x </math>
である。
<!--A simpler variation of Riemann's formula using the normalization <math>\psi_0</math> of [[Chebyshev's function]] ψ rather than π is<ref>Weisstein, Eric W. [http://mathworld.wolfram.com/ExplicitFormula.html  Explicit Formula] on MathWorld.</ref> von-Mangoldt's explicit formula
:<math>\psi_0(x) = \dfrac{1}{2\pi i}\int_0^{\infty}\left(-\dfrac{\zeta'(s)}{\zeta(s)}\right)\dfrac{x^s}{s}ds=x-\sum_\rho\frac{x^\rho}{\rho} - \log(2\pi) -\log(1-x^{-2})/2</math>
where for non-integral ''x'', ψ(''x'') is the sum of log(''p'') over all prime powers  ''p''<sup>''n''</sup> less than ''x''. It plays an important role in von Mangoldt's proof of Riemann's explicit formula.

Here the sum over zeroes should again be taken in increasing order of imaginary part:<ref name=Ing77>Ingham (1990) p.77</ref>

:<math>\sum_\rho\frac{x^\rho}{\rho} = \lim_{T \rightarrow \infty} S(x,T) \ </math>

where

:<math>S(x,T) = \sum_{\rho:|\Im \rho| \le T} \frac{x^\rho}{\rho} \ . </math>

The error involved in truncating the sum to ''S''(''x'',''T'') is of order<ref name=Ing77/>

:<math> x^2 \frac{\log^2 T}{T} + \log x \ . </math>-->

==ヴェイユの明示公式 ==
明示公式の記述の方法にはいくつかの少し異なる方法がある。ヴェィユの明示公式の形は、次の形である。
:<math>
\begin{align}
& {} \quad \Phi(1)+\Phi(0)-\sum_\rho\Phi(\rho) \\
& = \sum_{p,m} \frac{\log(p)}{p^{m/2}} (F(\log(p^m)) + F(-\log(p^m))) - \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty\varphi(t)\Psi(t)\,dt
\end{align}
</math>
ここに、
*ρ はゼータ函数の非自明な零点を渡る。
*p は正の素数を渡る。
*m は正の整数を渡る。
*F はその全ての微分が急減少する滑らかな函数である。
*<math>\varphi</math> は F のフーリエ変換である。
:: <math>\varphi(t) = \int_{-\infty}^\infty F(x)e^{itx}\,dx</math>
*<math>\Phi(1/2 + it) = \varphi(t)</math>
*<math>\Psi(t) = - \log( \pi ) + Re(\psi(1/4 + it/2))</math>  , ここに、<math>\psi</math> は[[ディガンマ函数]] <math>\Gamma'/\Gamma</math> である。
<!--==Weil's explicit formula ==
There are several slightly different ways to state the explicit formula.
Weil's form of the explicit formula states

:<math>
\begin{align}
& {} \quad \Phi(1)+\Phi(0)-\sum_\rho\Phi(\rho) \\
& = \sum_{p,m} \frac{\log(p)}{p^{m/2}} (F(\log(p^m)) + F(-\log(p^m))) - \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty\varphi(t)\Psi(t)\,dt
\end{align}
</math>

where
*''ρ'' runs over the non-trivial zeros of the zeta function
*''p'' runs over positive primes
*''m'' runs over positive integers
*''F'' is a smooth function all of whose derivatives are rapidly decreasing
*<math>\varphi</math> is a Fourier transform of ''F'':
:: <math>\varphi(t) = \int_{-\infty}^\infty F(x)e^{itx}\,dx</math>
*<math>\Phi(1/2 + it) = \varphi(t)</math>
*<math>\Psi(t) = - \log( \pi ) + Re(\psi(1/4 + it/2))</math>, where <math>\psi</math> is the [[digamma function]] Γ<big>''&prime;''</big>/Γ.-->

大まかには、明示公式は、ゼータ函数の零点のフーリエ変換が素数べきの集合にいくつかの基本的要素を加えたものと言うことができる。

公式の中の項は次のように現れる。
*右辺の項は次の対数微分から来る。
:: <math>\zeta^*(s)= \Gamma(s/2)\pi^{-s/2}\prod_p \frac{1}{1-p^{-s}}</math>
:項は p のオイラー要素から来る素数 p へ対応していて、最後の項は &Psi; を意味していてガンマ要素（無限遠点のオイラー要素）から来る。
*左辺は全ての乗法について数え上げられた ζ<sup>&nbsp;*</sup> の全ての零点を渡る和であるので、0 と 1 での極は、オーダー &minus;1 として数え上げられる。
<!--Roughly speaking, the explicit formula says the Fourier transform of the zeros of the zeta function is the set of prime powers plus some elementary factors.

The terms in the formula arise in the following way.
*The terms on the right hand side come from the logarithmic derivative of
:: <math>\zeta^*(s)= \Gamma(s/2)\pi^{-s/2}\prod_p \frac{1}{1-p^{-s}}</math>
:with the terms corresponding to the prime ''p'' coming from the Euler factor of ''p'', and the term at the end involving ''&Psi;'' coming from the gamma factor (the Euler factor at infinity).
*The left-hand side is a sum over all zeros of ''ζ''<sup>&nbsp;*</sup> counted with multiplicities, so the poles at 0 and 1 are counted as zeros of order &minus;1.-->

==一般化==

リーマンゼータ函数は[[ディリクレ指標]] χ の[[ディリクレのL-函数]]により置き換えることができる。従って、素数べきを渡る和は余剰要素 χ(p<sup>&nbsp;m</sup>) と項 Φ(1) を持っていて、L-級数は極を持たないので Φ(0) は 0 となり消える。

さらに一般的には、リーマンゼータ函数や一般のL-函数は、[[デデキントゼータ函数]]を代数体の[[ヘッケ指標|ヘッケのL-級数]]を置き換えることにより得られる。従って、素数を渡る和は、素イデアルを渡る和に置き換えることができる。
<!--==Generalizations==

The Riemann zeta function can be replaced by a [[Dirichlet L-function]] of a [[Dirichlet character]] χ. The sum over prime powers then gets extra
factors of χ(''p''<sup>&nbsp;''m''</sup>), and the terms ''Φ''(0) and ''Φ''(0) disappear because the L-series has no poles.

More generally, the Riemann zeta function and the L-series can be replaced by the [[Dedekind zeta function]] of an algebraic number field or a [[Hecke L-series]]. The sum over primes then gets replaced by a sum over prime ideals.-->

==応用==
明示公式のリーマンによる元々の用途は、与えられた数よりも小さな素数の数を求める完全な公式を与えるためであった。このためには、F(log(y)) を 0&nbsp;≤&nbsp;y&nbsp;≤&nbsp;x に対しては y<sup>1/2</sup>/log(y) であり、そうでない場合は 0 であるとすると、右辺の和の主要項は、x より小さな素数の数である。左辺の主要項は、Φ(1) であり、この式が[[素数定理]]の主要項であることが分かり、ゼータ函数の非自明な零点を渡る和が主要な補正項であることが分かる。（これを使う場合には F が滑らかであるという条件を満たさないという小さな問題がある。）
<!--==Applications==
Riemann's original use of the explicit formula was to give an exact formula for the number of primes less than a given number. To do this, take ''F''(log(''y'')) to be ''y''<sup>1/2</sup>/log(''y'') for 0&nbsp;≤&nbsp;''y''&nbsp;≤&nbsp;''x'' and 0 elsewhere. Then the main term of the sum on the right is the number of primes less than ''x''. The main term on the left is ''Φ''(1); which turns out to be the dominant terms of the [[prime number theorem]], and the main correction is the sum over non-trivial zeros of the zeta function. (There is a minor technical problem in using this case, in that the function ''F'' does not satisfy the smoothness condition.)-->

==ヒルベルト・ポリア予想==
[[ヒルベルト・ポリア予想]]に従うと、複素数の零点 ρ はある[[線型作用素]] T の[[固有値]]であるはずである。明示公式の零点を渡る和は、（少なくとも形式的には、）跡（トレース）
:<math> \sum_\rho F(\rho) = \operatorname{Tr}(F(\widehat T )).\!</math>
により与えられる。

L-函数の広いクラスについての明示公式は、{{harvtxt|Weil|1952}} で発展した。彼は最初に、アイデアを[[合同ゼータ函数|局所ゼータ函数]]へ拡張して、この設定での[[一般化されたリーマン予想]]のバージョンを、[[位相群]]上の[[超函数]]の正値性として定式化した。より最近の[[アラン・コンヌ]](Alain Connes)の仕事は、函数解析的な背景へと大きく進み、そのように一般化されたリーマン予想に等価である跡公式をもたらした。少し異なる観点がラルフ・マイヤー(Ralf Meyer)により、アデール的空間上の調和解析を経由してヴェイユの明示公式が導かれた。
<!--==Hilbert&ndash;Pólya conjecture==
According to the [[Hilbert&ndash;Pólya conjecture]],  the complex zeroes ρ should be the [[eigenvalue]]s of some [[linear operator]] ''T''. The sum over the zeros of the explicit formula is then (at least formally) given by a trace:

:<math> \sum_\rho F(\rho) = \operatorname{Tr}(F(\widehat T )).\!</math>

Development of the explicit formulae for a wide class of L-functions was given by {{harvtxt|Weil|1952}}, who first extended the idea to [[local zeta-function]]s, and formulated a version of a [[generalized Riemann hypothesis]] in this setting, as a positivity statement for a [[generalized function]] on a [[topological group]].  More recent work by [[Alain Connes]] has gone much further into the functional-analytic background, providing a trace formula the validity of which is equivalent to such a generalized Riemann hypothesis. A slightly different point of view was given by Ralf Meyer. Meyer has derived the explicit formula of Weil via harmonic analysis on adelic spaces.-->

==関連項目==
*[[セルバーグ跡公式]]

==参考文献==
{{reflist}}
*{{Citation | authorlink=Albert Ingham | last1=Ingham | first1=A.E. | title=The Distribution of Prime Numbers | publisher=[[Cambridge University Press]] | isbn=978-0-521-39789-6 | mr=1074573 | year=1990 | zbl=0715.11045 | edition=2nd | origyear=1932 | series=Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics | volume=30 | others=reissued with a foreword by [[Robert Charles Vaughan (mathematician)|R. C. Vaughan]] }}
*{{citation | last=Lang | first=Serge | authorlink=Serge Lang | title=Algebraic number theory | edition=2nd ed. | series=Graduate Texts in Mathematics | volume=110 | location=New York, NY | publisher=[[Springer-Verlag]] | year=1994 | isbn=0-387-94225-4 | zbl=0811.11001 }}
*{{Citation | last1=Riemann | first1=Bernhard | title=Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse | url=http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Riemann/Zeta/ | year=1859 | journal=Monatsberichte der Berliner Akademie}}
*{{Citation | last1=Weil | first1=André | author1-link=André Weil | title=Sur les "formules explicites" de la théorie des nombres premiers | mr=0053152 | year=1952 | journal=Comm. Sém. Math. Univ. Lund [Medd. Lunds Univ. Mat. Sem.] Suppl.-band M. Riesz | volume=1952 | pages=252–265 | zbl=0049.03205 | language=French }}
*{{Citation | last1 = Mangoldt | first1 = Hans von | title=Zu Riemanns Abhandlung "Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse" | journal = Journal für die reine und angewandte Mathematik | volume=114 | year=1895 | pages=255–305 | zbl=26.0215.03 | language=German | issn=0075-4102 }}
*{{Citation | last1 = Meyer | first1 = Ralf | title=On a representation of the idele class group related to primes and zeros of ''L''-functions | journal = Duke Math. Journal | volume=127 | number=3 | year=2005 | pages=519–595 | zbl=1079.11044 | issn=0012-7094 }}
*{{citation | last1=Montgomery | first1=Hugh L. | author1-link=Hugh Montgomery (mathematician) | last2=Vaughan | first2=Robert C. | author2-link=Bob Vaughan | title=Multiplicative number theory. I. Classical theory | series=Cambridge Studies in Advanced Mathematics | volume=97 | location=Cambridge | publisher=[[Cambridge University Press]] | year=2007 | isbn=0-521-84903-9 | zbl=1142.11001 }}
*{{citation | last=Patterson | first=S.J. | title=An introduction to the theory of the Riemann zeta-function | series=Cambridge Studies in Advanced Mathematics | volume=14 | location=Cambridge | publisher=[[Cambridge University Press]] | year=1988 | isbn=0-521-33535-3 | zbl=0641.10029 }}

==関連書籍==
* {{citation | last=Edwards | first=H.M. | authorlink=Harold Edwards (mathematician) | title=Riemann's zeta function | series=Pure and Applied Mathematics | volume=58 | location=New York-London |publisher=Academic Press | year=1974 | isbn=0-12-232750-0 | zbl=0315.10035 }} 
* {{citation | last=Riesel | first=Hans | authorlink=Hans Riesel | title=Prime numbers and computer methods for factorization | edition=2nd | series=Progress in Mathematics | volume=126 | location=Boston, MA | publisher=Birkhäuser | year=1994 | isbn=0-8176-3743-5 | zbl=0821.11001 }}

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