曲率形式のソースを表示

{{要改訳}}
[[微分幾何学]]では、'''曲率形式'''(curvature form)は、[[主バンドル]]上の[[接続形式]]の[[曲率]]を記述する。[[リーマン幾何学]]では、曲率形式は、[[リーマン曲率テンソル]]の代行物か一般化と考えることができる。
<!---In [[differential geometry]], the '''curvature form''' describes [[curvature]] of a [[connection form|connection]] on a [[principal bundle]]. It can be considered as an alternative to or generalization of the [[Riemann curvature tensor|curvature tensor]] in [[Riemannian geometry]].-->

==定義==

G を[[リー代数]] <math>\mathfrak g</math> をもつ[[リー群]]とし、P → B を[[主バンドル|主 G-バンドル]]とする。P 上の[[接続 (ファイバー束)|エーレスマン接続]](Ehresmann connection)を ω とする。（エーレスマン接続は、P 上の <math>\mathfrak g</math> に値を持つ [[微分形式|1-形式]]である。）

すると、'''曲率形式'''は P 上の <math>\mathfrak g</math> に値を持つ 2-形式であり、

:<math>\Omega=d\omega +{1\over 2}[\omega,\omega]=D\omega</math>
により定義される。

ここで、<math>d</math> は[[外微分]]を表し、<math>[\cdot,\cdot]</math> は <math>[\alpha \otimes X, \beta \otimes Y] := \alpha \wedge \beta \otimes [X, Y]_\mathfrak{g}</math> により定義され、D は{{仮リンク|共変外微分|en|exterior covariant derivative}}(exterior covariant derivative)である。別な表現をすると、

:<math>\,\Omega(X,Y)=d\omega(X,Y) + [\omega(X),\omega(Y)] </math>
である。
<!---==Definition==

Let ''G'' be a [[Lie group]] with [[Lie algebra]] <math>\mathfrak g</math>, and ''P'' → ''B'' be a [[principal bundle|principal ''G''-bundle]].  Let ω be an [[Ehresmann connection]] on ''P'' (which is a <math>\mathfrak g</math>-valued [[Differential form|one-form]] on ''P''). 

Then the '''curvature form''' is the <math>\mathfrak g</math>-valued 2-form on ''P'' defined by

:<math>\Omega=d\omega +{1\over 2}[\omega,\omega]=D\omega.</math>

Here <math>d</math> stands for [[exterior derivative]], <math>[\cdot,\cdot]</math> is defined by <math>[\alpha \otimes X, \beta \otimes Y] := \alpha \wedge \beta \otimes [X, Y]_\mathfrak{g}</math> and ''D'' denotes the [[exterior covariant derivative]].  In other terms, 

:<math>\,\Omega(X,Y)=d\omega(X,Y) + [\omega(X),\omega(Y)]. </math>-->

===ベクトルバンドルの曲率形式===
E → B をベクトルバンドルとすると、ω を 1-形式の行列とも考えることができるので、上の式は'''{{Anchors|構造方程式}}構造方程式'''
:<math>\,\Omega=d\omega +\omega\wedge \omega </math>
となる。ここに <math>\wedge</math> は[[外積代数|ウェッジ積]]とする。さらに詳しくは、<math>\omega^i_{\ j}</math> と <math>\Omega^i_{\ j}</math> で、それぞれ ω と Ω の成分を表すとすると（各々の <math>\omega^i_{\ j}</math> は通常の 1-形式で、各々の <math>\Omega^i_{\ j}</math> は通常の 2-形式である）、
:<math>\Omega^i_{\ j}=d\omega^i_{\ j} +\sum_k \omega^i_{\ k}\wedge\omega^k_{\ j}</math>
となる。

例えば、[[リーマン多様体]]の[[接バンドル]]に対して、構造群は O(n) であり、Ω は O(n) の[[リー代数]]に値をもつ 2-形式であり、[[交代行列|反対称行列]]である。この場合には、曲率形式 Ω は[[リーマン曲率テンソル|曲率テンソル]]で記述すると、
<math>\,R(X,Y)=\Omega(X,Y),</math>
となる。
<!--===Curvature form in a vector bundle===
If ''E'' → ''B'' is a vector bundle. then one can also think of ω as 
a matrix of 1-forms and the above formula becomes the [[structure equation]]:

:<math>\,\Omega=d\omega +\omega\wedge \omega, </math>

where <math>\wedge</math> is the [[Exterior power|wedge product]]. More precisely, if <math>\omega^i_{\ j}</math> and <math>\Omega^i_{\ j}</math> denote components of ω and Ω correspondingly, (so each <math>\omega^i_{\ j}</math> is a usual 1-form and each <math>\Omega^i_{\ j}</math> is a usual 2-form) then

:<math>\Omega^i_{\ j}=d\omega^i_{\ j} +\sum_k \omega^i_{\ k}\wedge\omega^k_{\ j}.</math>

For example, for the [[tangent bundle]] of a [[Riemannian manifold]], the structure group is O(''n'') and Ω is a 2-form with values in the Lie algebra of O(''n''), i.e. the [[skew-symmetric matrix|antisymmetric matrices]]. In this case the form Ω is an alternative description of the [[Riemann curvature tensor|curvature tensor]], i.e.

:<math>\,R(X,Y)=\Omega(X,Y),</math>

using the standard notation for the Riemannian curvature tensor.-->

==ビアンキ恒等式==

<math>\theta</math> が標構バンドル上のベクトルに値を持つ標準 1-形式であれば、[[接続形式]] <math>\omega</math> の[[接続形式#捩れ|トーション]] <math>\Theta</math> は、ベクトルに値を持つ 2-形式で、次の'''構造方程式'''によって定義される。
:<math>\Theta=d\theta + \omega\wedge\theta = D\theta.</math>
ここに、上記のように、D は{{仮リンク|共変外微分|en|Exterior covariant derivative}}(exterior covariant derivative)である。

第一ビアンキ恒等式は、

:<math>D\Theta=\Omega\wedge\theta</math>

であり、第二ビアンキ恒等式は、

:<math>\, D \Omega = 0 </math>

で、より一般的な[[主バンドル]]のに任意の[[接続形式|接続]]に対して有効である。
<!---==Bianchi identities==

If  <math>\theta</math> is the canonical vector-valued 1-form on the frame bundle, 
the [[Connection form#Torsion|torsion]] <math>\Theta</math> of the [[connection form]]
<math>\omega</math> 
is the vector-valued 2-form defined by the structure equation

:<math>\Theta=d\theta + \omega\wedge\theta = D\theta,</math>

where as above ''D'' denotes the [[Connection form#Exterior covariant derivative|exterior covariant derivative]].

The first Bianchi identity takes the form

:<math>D\Theta=\Omega\wedge\theta.</math>

The second Bianchi identity takes the form

:<math>\, D \Omega = 0 </math>

and is valid more generally for any [[Connection form#Connection|connection]] in a [[principal bundle]].-->

==参考文献==
* [[Shoshichi Kobayashi]] and [[Katsumi Nomizu]] (1963) [[Foundations of Differential Geometry]], Vol.I, Chapter 2.5 Curvature form and structure equation, p 75, [[Wiley Interscience]].

==関連項目==

*[[接続 (主バンドル)]]
*{{仮リンク|曲がった時空の数学への入門|en|Basic introduction to the mathematics of curved spacetime}}
*[[チャーン・サイモンズ形式]]
*{{仮リンク|リーマン多様体の曲率|en|Curvature of Riemannian manifolds}}
*[[ゲージ理論]]

{{Tensors}}

{{デフォルトソート:きよくりつけいしき}}
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[[Category:曲率]]
[[Category:形式]]
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