最大値原理のソースを表示

{{otheruses|偏微分方程式論における最大値原理|複素解析における最大値原理|最大絶対値の原理|最適制御理論における最大値原理|:en:Pontryagin's minimum principle}}
[[数学]]における'''最大値原理'''（さいだいちげんり、{{Lang-en-short|maximum principle}}）とは、特定の[[楕円型偏微分方程式|楕円型]]および[[放物型偏微分方程式|放物型]]の偏微分方程式の解が持つある性質のことを言う。大雑把に言うと、ある[[領域 (解析学)|領域]]内でのある関数の[[最大と最小|最大値]]は、その領域の境界上に存在する、ということがこの原理では述べられている。特に、ある関数が領域の内部で最大値を取るのなら、その関数は一様に定数である、ということについて述べた原理は「強最大値原理」と呼ばれる。関数の最大値は領域の境界上で取られるが、領域の内部でも同様に起こり得る、ということについて述べた原理は「弱最大値原理」と呼ばれる。他に、ある関数をその最大に関して単純に境界で制限するような、さらに弱い最大値原理も存在する。

[[凸最適化]]における最大値原理では、[[コンパクト空間|コンパクト]][[凸集合]]上の[[凸関数]]の最大はその[[境界 (位相空間論)|境界]]上で達成される、ということについて述べられている<ref>[[:en:R. Tyrrell Rockafellar|Rockafellar]] (1970) の32章を参照。</ref>。

==古典的な例==
[[調和関数]]は、強最大値原理の適用される古典的な例である。正式に言えば、''f'' が調和関数であるなら、その定義域の内部で ''f'' が[[極大値]]を取ることはない。すなわち、''f'' は[[定数関数]]であるか、あるいはその定義域の内部の任意の点 <math>x_0\,</math> に対して、その点での ''f'' の値よりもより大きい値を ''f'' が取るような、その点に任意に近い点が存在する<ref>Berenstein and Gay を参照。</ref>。

''f'' を、[[ユークリッド空間]] '''R'''<sup>''n''</sup> 内のある[[連結空間|連結]][[開集合|開]][[部分集合]] ''D'' 上で定義される調和関数とする。<math>x_0\,</math> が、そのある[[近傍 (位相空間論)|近傍]]に含まれるすべての ''x'' に対して
:<math>f(x_0)\ge f(x) \, </math> 
が成り立つような ''D'' 内の点であるなら、関数 ''f'' は ''D'' 上で定数である。

「最大値」を「最小値」に、「より大きい」を「より小さい」に置き換えることで、調和関数に対する「最小値原理」（minimum principle）を同様に得ることが出来る。

より一般的な[[劣調和関数]]に対しても、最大値原理は成り立つ。一方、[[優調和関数]]は、最小値原理を満たす<ref>Evans を参照。</ref>。

=== 証明の概要 ===
調和関数に対する「弱最大値原理」は、単純な計算による事実の帰結である。証明において重要となるのは、調和関数の定義から、''f'' の[[ラプラシアン]]がゼロであるという事実である。<math>x_0\,</math> が ''f''(''x'') の非退化な[[臨界点 (数学)|臨界点]]であるなら、[[鞍点]]が存在する。実際、もしそうでないなら、''f'' の二階微分の和がゼロとなることがなくなるからである。これはもちろん、証明としては完全ではなく、<math>x_0\,</math> が退化点である場合も残されているが、本質的な証明のアイデアである。

「強最大値原理」は{{仮リンク|ホップの補題|en|Hopf lemma}}に依るものであり、これはまたさらに複雑である。

== 関連項目 ==
* [[最大絶対値の原理]]
* [[ホップの最大値原理]]

== 脚注 ==
{{reflist}}

== 参考文献 ==
*{{cite book |title=Complex Variables: An Introduction|last=Berenstein |first=Carlos A. |coauthors=Roger Gay| year=1997|publisher=Springer (Graduate Texts in Mathematics)| isbn=0-387-97349-4}}
*{{cite book |title=Fully Nonlinear Elliptic Equations |last=Caffarelli |first=Luis A. |authorlink=:en:Luis Caffarelli |coauthors=Xavier Cabre |year=1995 |publisher=American Mathematical Society |location=Providence, Rhode Island |pages=31–41 |isbn=0-8218-0437-5}}
*{{cite book |title=Partial Differential Equations |last=Evans |first=Lawrence C. |authorlink=:en:Lawrence C. Evans|year=1998|publisher=American Mathematical Society|location=Providence, Rhode Island|isbn=0-8218-0772-2}}
* {{cite book
  | last = Rockafellar
  | first = R. T.|authorlink=:en:R. Tyrrell Rockafellar
  | title = Convex analysis
  | publisher = Princeton University Press
  | date = 1970
  | location = Princeton
}}
*{{Cite book|first1=D.|last=Gilbarg|first2=Neil|last2=Trudinger|authorlink2=:en:Neil Trudinger|title=Elliptic Partial Differential Equations of Second Order|publisher=Springer|publication-place=New York|year=1983|isbn=3-540-41160-7}}.

{{DEFAULTSORT:さいたいちけんり}}
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