最大絶対値の原理のソースを表示

{{混同|最大値の定理|x1=有界閉区間上の実数値連続関数に関する}}
'''最大絶対値の原理'''あるいは'''最大値の原理'''（{{lang-en-short|maximum modulus principle}}）は、[[複素解析]]における[[正則関数]]の性質に関する基本的な定理である。複素関数が[[正則関数|正則]]であるために満たすべき、強い制約条件の１つを示している。

== 定理 ==
複素関数 ''f''(''z'') が(開)[[領域 (解析学)|領域]] ''D'' で[[正則関数|正則]]で、しかも定数でないなら、''D'' で |''f''(''z'')| が最大値を取ることはない。

== 証明 ==
背理法による。
''D'' 内のある点 ''z''<sub>0</sub> で |''f''(''z'')| が最大値を取るものと仮定する。''r'' を正の実数とし、''D<sub>r</sub>'' = {''z'' : | ''z'' &minus; ''z''<sub>0</sub> | < ''r'' } 、 ''C<sub>r</sub>'' = {''z'' : | ''z'' &minus; ''z''<sub>0</sub> | = ''r'' } とする。つまり ''C<sub>r</sub>'' は ''z''<sub>0</sub> を中心とする半径 ''r'' の円、''D<sub>r</sub>'' はその内側の領域である。''r'' の値を適当に小さく選べば、 ''D<sub>r</sub>'' + ''C<sub>r</sub>'' &sub; ''D'' とできる。

[[コーシーの積分公式]]により ''D<sub>r</sub>'' 内の任意の点 ''z'' で、
:<math>f(z)=\frac{1}{2{\pi}i}\oint_{C_r}\frac{f(\zeta)}{\zeta - z}d \zeta</math>
が成り立つ。 ''C<sub>r</sub>'' 上での |''f''(''z'')| の最大値を ''M'' とすれば、
:<math>
\left|f(z_0)\right|
= \left|\frac{1}{2{\pi}i}\oint_{C_r}\frac{f(\zeta)}{(\zeta - z_0)}d\zeta\right|
</math>
:<math>
\le \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\frac{\left|f(\zeta)\right|}{r}\,r d\theta
= \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\left|f(\zeta)\right| d\theta
\le \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi} M d\theta = M
</math>

仮定により  ''M'' &le; |''f''(''z''<sub>0</sub>)| であるから、結局
:<math>
\left|f(z_0)\right| 
= \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\left|f(\zeta)\right| d\theta
= M
</math>
が成立つ。すなわち、''C<sub>r</sub>'' 上の任意の点 ''&zeta;'' で |''f''(''z''<sub>0</sub>)| = |''f''(''&zeta;'')| が成立つことになる。''r'' を任意に小さくして考えても、同じ論法が成立つので、 ''D<sub>r</sub>'' + ''C<sub>r</sub>'' の任意の点 ''z'' で |''f''(''z''<sub>0</sub>)| = |''f''(''z'')| が成立つことになる。 |''f''(''z''<sub>0</sub>)| = 0 であれば、 ''f''(''z'') は ''D<sub>r</sub>'' で恒等的に 0 である。 |''f''(''z''<sub>0</sub>)| が 0 でなければ ''D<sub>r</sub>'' 内の任意の点で |''f''(''z'')| も 0 でないから
:<math>
h(z) = \log f(z) = \log |f(z)| + i \arg f(z)
</math>
を考えることができる。''D<sub>r</sub>'' に含まれるある領域 ''V'' を適当に選ぶと、''V'' 内で ''h''(''z'') を一価正則にできる。

''V'' 内で |''f''(''z'')| は定数であるから ''h''(''z'') の実部 log |''f''(''z'')| も定数である。このため[[コーシー・リーマンの関係式]]から ''V'' 内で
:<math>\frac{dh(z)}{dz} = 0</math>
となり、''h''(''z'') の虚部  arg ''f'' (''z'') も ''V'' 内で定数となる。従って ''V'' 内で ''f''(''z'') は定数である。[[一致の定理]]によって、結局 ''D'' 全体で ''f''(''z'') は定数となり、定理の仮定に反する。

==関連項目==
* [[複素解析]]
* [[正則関数]]
* [[一致の定理]]

== 参考文献 ==
* 遠木幸成・阪井章『関数論』学術図書出版社、1966年

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[[Category:数学の原理]]
[[Category:複素解析の定理]]
[[Category:数学に関する記事]]