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'''有効ポテンシャル'''（[[英語]]: effective potential）または'''有効ポテンシャル・エネルギー'''（'''有効位置エネルギー'''、effective potential energy）は、（相反する可能性のある）複数の効果を単一のポテンシャルにまとめたものである。基本的には、力学系の位置エネルギーと遠心力による位置エネルギーとの和である。

惑星軌道の古典論的・[[ニュートン的決定]]や半古典的な[[原子計算]]に用いられ、複雑な系の問題をより低次にできる場合がある。

== 定義 ==
[[ファイル:Effective_potential.png|サムネイル|有効ポテンシャルのグラフ。''E'' > 0:：双曲線軌道 (周辺中心として A<sub>1</sub> )、''E'' = 0:：放物線軌道 (周辺中心として A<sub>2</sub> )、''E'' < 0：楕円軌道 (周辺中心として ''A''<sub>3</sub>、中心として ''A''<sub>3</sub>')、''E'' = ''E''<sub>min</sub> ：円軌道 (半径として''A''<sub>4 )。</sub>点''A''<sub>1</sub>, ..., ''A''<sub>4</sub>はturning pointと呼ばれる。]]
ポテンシャル <math>U_\text{eff}</math> の基本形は以下の様に定義される。<math display="block"> U_\text{eff}(\mathbf{r}) = \frac{L^2}{2 \mu r^2} + U(\mathbf{r}), </math>ここで、
* ''L'' は、[[角運動量]]
* ''r'' は、二質量間の距離
* ''μ'' は、二物体の[[換算質量]]（一方の質量が他方の質量よりはるかに大きい場合、周回する天体の質量にほぼ等しくなる）
* ''U''(''r'') は、[[ポテンシャル]]の一般形
である。よって、有効力（effective force）は、有効ポテンシャルの負の勾配である。<math display="block"> \begin{align}
\mathbf{F}_\text{eff}
&= -\nabla U_\text{eff}(\mathbf{r}) \\
&= \frac{L^2}{ \mu r^3} \hat{\mathbf{r}} - \nabla U(\mathbf{r})
\end{align}</math>ここで <math>\hat{\mathbf{r}}</math> は半径方向の単位ベクトルを表す。

== 重要な性質 ==
有効ポテンシャルには有用な機能が多くある。たとえば、<math display="block"> U_\text{eff} \leq E .</math>である。円軌道の半径を求めるには、実効ポテンシャルを <math>r</math> に対して最小化する、あるいは正味の力をゼロにして、<math>r_0</math> を解くだけでよい。<math display="block"> \frac{d U_\text{eff}}{dr} = 0 </math><math>r_0</math>を解いた後、これを<math>U_\text{eff}</math>に差し戻すと、有効ポテンシャルの最大値<math>U_\text{eff}^\text{max}</math>が求まる。円軌道は安定か不安定かのどちらかである。不安定な場合は、小さな摂動で軌道が不安定になるが、安定な軌道は平衡に戻る。円軌道の安定性を判断するには、有効ポテンシャルの凹みを判断する。凹みが正であれば、その軌道は安定である。<math display="block"> \frac{d^2 U_\text{eff}}{dr^2} > 0 </math>小さな振動の周波数は、基本的なハミルトン解析を用いると、<math display="block"> \omega = \sqrt{\frac{U_\text{eff}''}{m}} ,</math>ここで、二重プライムは有効ポテンシャルの二階微分を表し、その値は <math>r</math> に関する有効ポテンシャルの二階微分を表し、最小値で評価される。

== 重力ポテンシャル ==
[[ファイル:Restricted_Three-Body_Problem_-_Energy_Potential_Analysis.png|サムネイル|回転する2つの天体の有効ポテンシャルの成分：（上）重力ポテンシャルの合成、（下）重力と回転の合成ポテンシャル]]
質量mの粒子が質量Mのもっと重い物体の周りを回っていると考える。古典力学、非相対論的ニュートン力学を仮定する。エネルギーと角運動量の保存は、2つの定数 ''E'' と ''L'' を与え、その値は、
[[ファイル:Lagrangian_points_equipotential.png|link={{filepath:Lagrangian_points_equipotential.gif}}|サムネイル|Visualisation of the effective potential in a plane containing the orbit (grey rubber-sheet model with purple contours of equal potential), the [[Lagrangian point|Lagrangian points]] (red) and a planet (blue) orbiting a star (yellow)]]
<math display="block">E = \frac{1}{2}m \left(\dot{r}^2 + r^2\dot{\phi}^2\right) - \frac{GmM}{r},</math> <math display="block">L = mr^2\dot{\phi} </math>であり、大きい方の物体の質量の運動が無視できる場合である。ここで、
* <math>\dot{r}</math> は、''r'' の時間微分、
* <math>\dot{\phi}</math> は、''m'' の角速度、
* ''G'' は重力定数、
* ''E'' は全エネルギー、
* ''L'' は角運動量
である。この運動は平面上で起こるので、必要な変数は2つだけである。2番目の式を1番目の式に代入し、並べ替えると次のようになる。<math display="block">m\dot{r}^2 = 2E - \frac{L^2}{mr^2} + \frac{2GmM}{r} = 2E - \frac{1}{r^2} \left(\frac{L^2}{m} - 2GmMr\right),</math><math display="block">\frac{1}{2} m \dot{r}^2 = E - U_\text{eff}(r),</math>ここで、<math display="block">U_\text{eff}(r) = \frac{L^2}{2mr^2} - \frac{GmM}{r} </math>が有効ポテンシャルである<ref group="Note">A similar derivation may be found in José & Saletan, ''Classical Dynamics: A Contemporary Approach'', pgs. 31&#x2013;33</ref>。元の2変数問題は、1変数問題に還元された。例えば、有効ポテンシャルを用いたエネルギー線図から、転回点、安定・不安定[[平衡]]の位置などを求めることができます。同様の方法は、例えば一般相対論的な[[シュワルツシルト計量]]における軌道の決定など、他の用途でも使われることがある。

有効ポテンシャルは、Gauss-core potential (Likos 2002, Baeurle 2004) や Screened Coulomb potential (Likos 2001) など、様々な物性分野で広く用いられている。

== 脚注 ==
<references group="Note" />
== 関連項目 ==
* [[ジオポテンシャル]]

== 参考文献 ==
* {{Cite book|last1=José|first1=JV|last2=Saletan|first2=EJ|year=1998|title=Classical Dynamics: A Contemporary Approach|edition=1st|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-63636-0}}.
* {{cite journal|last=Likos|first=C.N.|last2=Rosenfeldt|first2=S.|last3=Dingenouts|first3=N.|last4=Ballauff|first4=M.|last5=Lindner|first5=P.|last6=Werner|first6=N.|last7=Vögtle|first7=F.|year=2002|title=Gaussian effective interaction between flexible dendrimers of fourth generation: a theoretical and experimental study|url=http://jcp.aip.org/jcpsa6/v117/i4/p1869_s1?isAuthorized=no|journal=J. Chem. Phys.|volume=117|issue=4|pages=1869&ndash;1877|bibcode=2002JChPh.117.1869L|doi=10.1063/1.1486209|authorlink4=Matthias Ballauff|url-status=dead|archiveurl=https://web.archive.org/web/20110719010918/http://jcp.aip.org/jcpsa6/v117/i4/p1869_s1?isAuthorized=no|archivedate=2011-07-19|df=}}
* {{cite journal|last=Baeurle|first=S.A.|year=2004|title=Modeling Effective Interactions of Micellar Aggregates of Ionic Surfactants with the Gauss-Core Potential|journal=J. Math. Chem.|volume=36|issue=4|pages=409&ndash;421|doi=10.1023/B:JOMC.0000044526.22457.bb|author2=Kroener J.}}
* {{cite journal|last=Likos|first=C.N.|year=2001|title=Effective interactions in soft condensed matter physics|journal=Physics Reports|volume=348|issue=4–5|pages=267&ndash;439|bibcode=2001PhR...348..267L|doi=10.1016/S0370-1573(00)00141-1|citeseerx=10.1.1.473.7668}}

{{DEFAULTSORT:ゆうこうほてんしやる}}
[[Category:力学]]
[[Category:ポテンシャルエネルギー]]