有理型関数のソースを表示

{{簡易区別|[[有理関数]]（{{lang-en-short|rational function}}）}}
{{出典の明記|date=2015年7月}}
[[File:Gamma abs 3D.png|thumb|right|320px|[[ガンマ関数]]は全複素平面で有理型である。]]
[[複素解析]]において、'''有理型関数'''（ゆうりけいかんすう、ゆうりがたかんすう、{{lang-en-short|meromorphic function}}）あるいは、[[関数 (数学)|関数]]が'''有理型'''（ゆうりけい、{{en|meromorphic}}）であるとは、（[[複素平面|複素数平面]]あるいは連結）[[リーマン面]]のある領域で定義され、その中で[[極 (複素解析)|極]]（仮性特異点）以外の特異点を持たない[[解析関数]]（特異点以外では[[正則関数|正則な関数]]）であって極全体の集合が[[離散集合]]であるような複素関数のことを指す。

有理型関数は[[正則関数]]の[[分数|商]]として表すことができ、その分母となる正則関数の[[零点]]が元の有理型関数の極となる（分母は[[定数関数]] 0 ではない）。

== 例 ==
多項式関数は正則であるから、例えば <math>f(z) = \frac {z^3-2z+1} {z^5+3z-1}</math> のような[[有理関数]]は全て '''C''' 上有理型である。また、関数 <math>f(z) = \frac {\exp z} {z}</math> や <math>f(z) = \frac {\sin z}{(z-1)^2}</math> も '''C''' 上有理型で、[[ガンマ関数]]や[[リーマンゼータ函数|リーマンのゼータ関数]]も同様である。

一方、[[自然対数|対数関数]] <math>f(z) = \log z</math> や <math>f(z) = \exp \left( \frac {1} {z} \right)</math> は '''C''' 上有理型でない。例えば後者は <math>z = 0</math> に[[真性特異点]]を持つ。

== 性質 ==
* 有界閉領域上で定義される 0 でない有理型関数は、零点も極も有限個しか持たない。
* [[解析接続]]を使って[[可除特異点|除きうる特異点]]を解消してやれば、有理型関数同士で四則演算をとったものはやはり有理型である（勿論除法に関して、定数関数 <math>0</math> で除することは除く）。従って、（同じ領域で定義される）有理型関数の全体の成す集合は[[可換体|体]]を成す。この体は[[複素数|複素数体]]の拡大体である。

== 言い換え ==
[[リーマン面]]の言葉で言えば、有理型関数というのは、「[[リーマン球面]]への正則関数であって、常に <math>\infty</math> の値をとる定数関数ではないもの」ということと同じである。このとき有理型関数の極とはリーマン球面の[[無限遠点]] <math>\infty</math> へ移される複素数のことである。

== 関連項目 ==
* [[関数 (数学)]]
* [[正則関数]]

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{{Normdaten}}
{{デフォルトソート:ゆうりけいかんすう}}
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[[Category:関数]]
[[Category:有理型関数|*]]
[[Category:数学に関する記事]]