有理多様体のソースを表示

{{要改訳}}
[[数学]]では、与えられた[[可換体|体]] K 上で定義された[[代数多様体]]で K 上のある次元の[[射影空間]]と[[双有理幾何学|双有理同値]]な[[代数多様体]]を、'''有理多様体'''(rational variety)と言う。有理多様体は、代数多様体上の[[代数多様体の函数体|函数体]]が、ある[[不定元]]の集合 <math>\{U_1, \dots, U_d\}</math> の[[有理函数]]の体
:<math>K(U_1, \dots , U_d)</math>
に同型であることを意味する。ここの ''d'' は、{{仮リンク|代数多様体の次元|en|dimension of an algebraic variety}}(dimension of an algebraic variety)である。
<!---In [[mathematics]], a '''rational variety''' is an [[algebraic variety]], over a given [[field (mathematics)|field]] ''K'', which is [[birationally equivalent]] to a [[projective space]] of some dimension over ''K''. This means that its [[function field of an algebraic variety|function field]] is isomorphic to
:<math>K(U_1, \dots , U_d),</math>
the field of all [[rational function]]s for some set <math>\{U_1, \dots, U_d\}</math> of [[Indeterminate (variable)|indeterminate]]s, where ''d'' is the [[dimension of an algebraic variety|dimension]] of the variety.-->

==有理性とパラメータ化==

''V'' を <math>K[X_1, \dots , X_n]</math> の素イデアル I=⟨f<sub>1</sub>, ..., f<sub>k</sub>⟩ で定義された次元 ''d'' の[[アフィン多様体|アフィン代数多様体]]とする。''V'' が有理的ならば、<math>K(U_1, \dots , U_d)</math> の ''n''&nbsp;+&nbsp;1 個の多項式 g<sub>0</sub>, ..., g<sub>n</sub> が存在し、<math>f_i(g_1/g_0, \ldots, g_n/g_0)=0 </math>となる。言い換えると、多様体の有理パラメータ化 <math>x_i=\frac{g_i}{g_0}(u_1,\ldots,u_d)</math> が得られる。

逆に、そのような有理パラメータ化があると、<math>K(U_1, \dots , U_d)</math> への V の函数体の体準同型が存在する。しかしこの準同型は、必ずしも'''上への写像'''とは限らない。そのような上へのパラメータ化が存在する場合を、多様体は'''単有理的'''(unirational)という。リューロスの定理（以下を参照）は、単有理的な曲線は有理的であることを意味している。[[有理曲面#カステルヌオボーの定理|カステルヌオボーの定理]]は、標数がゼロのとき、全ての単有理的な曲面は[[有理曲面]]であることを言っている。
<!---==Rationality and parameterization==

Let ''V'' be an [[affine algebraic variety]] of dimension ''d'' defined by a prime ideal ''I''=⟨''f''<sub>1</sub>, ..., ''f''<sub>''k''</sub>⟩  in <math>K[X_1, \dots , X_n]</math>. If ''V'' is rational, then there are ''n''+1  polynomials ''g''<sub>0</sub>, ..., ''g''<sub>''n''</sub> in <math>K(U_1, \dots , U_d)</math> such that <math>f_i(g_1/g_0, \ldots, g_n/g_0)=0. </math> In order words, we have a rational parameterization <math>x_i=\frac{g_i}{g_0}(u_1,\ldots,u_d)</math> of the variety.

Conversely, such a rational parameterization induces a field homomorphism of the field of functions of ''V'' into <math>K(U_1, \dots , U_d),</math>. But this homomorphism is not necessarily onto. If such a parameterization exists, the variety is said '''unirational'''. Lüroth's theorem (see below) implies that unirational curves are rational.  [[Castelnuovo's theorem]] implies also that, in characteristic zero, every unirational surface is rational.-->

==有理性の問題==
'''有理性の問題'''は、有理多様体の上の函数体が（同型を除いて）存在するかという意味で、与えられた[[体の拡大]]が有理的がどうかを問うている。また、そのような体の拡大は[[超越次数|超越的]](transcendental)として記述される。さらに詳しくは、'''有理性の問題'''は[[体の拡大]] <math>K \subset L</math> は、<math>L</math> が[[超越次数]](transcendence degree)により与えられた変数で <math>K</math> 上の[[有理函数|有理函数体]]に[[同型]]かを問うている。

この問題は複数の変数の問題であり、体 <math>K</math> と <math>L</math> を構成する方法があるかどうかを問うことから発生する。
<!---==Rationality questions==
A '''rationality question''' asks whether a given [[field extension]] is ''rational'', in the sense of being (up to isomorphism) the function field of a rational variety; such field extensions are also described as [[purely transcendental]]. More precisely, the '''rationality question''' for the [[field extension]] <math>K \subset L</math> is this: is <math>L</math> [[isomorphic]] to a [[rational function field]] over <math>K</math> in the number of indeterminates given by the [[transcendence degree]]?

There are several different variations of this question, arising from the way in which the fields <math>K</math> and <math>L</math> are constructed.-->

例えば、<math>K</math> を体として、
:<math>\{y_1, \dots, y_n \}</math>
を K 上の変数とし、L をそれらにより生成された K 上の体とする。K 上のこれらの[[不定元|変数シンボル]]を置換する[[有限群]] <math>G</math> を考える。標準的な[[ガロア理論]]によって、この[[群作用]]の[[不動点|固定点]]の集合は <math>L</math> の[[部分体]]となり、典型的には <math>L^G</math> と書く。<math>K \subset L^G</math> の有理性の問題は'''ネターの問題'''(Noether's problem)と言い、固定点が K の純粋に超越拡大か否かを問うている。

[[ガロア理論]]についての論文{{harv|Noether|1918}}で、ネター(Noether)は、与えられたガロア群をもつ方程式のパラメータ化の問題を研究し、｢ネターの問題｣へと帰結させた。（彼女が最初に言及したのは、{{harv|Noether|1913}}であり、そこでは、E. フィッシャー(E. Fischer)の問題へ帰着させていた）彼女は、これが n = 2, 3, 4 の場合、正しいことを示した。{{harvs|first=R. G.|last= Swan|authorlink = Richard Swan|year=1969|txt}} は、ネターの問題の反例を n = 47 で G が位数 47 の巡回群の場合に見つけた。
<!---For example, let <math>K</math> be a field, and let 

:<math>\{y_1, \dots, y_n \}</math>

be indeterminates over ''K'' and let ''L'' be the field generated over ''K'' by them. Consider a [[finite group]] <math>G</math> permuting those [[Indeterminate (variable)|indeterminates]] over ''K''. By standard [[Galois theory]], the set of [[Fixed point (mathematics)|fixed points]] of this [[group action]] is a [[Field extension|subfield]] of <math>L</math>, typically denoted <math>L^G</math>. The rationality question for <math>K \subset L^G</math> is called '''''Noether's problem''''' and asks if this field of fixed points is or is not a purely transcendental extension of ''K''.

In the paper {{harv|Noether|1918}} on [[Galois theory]] she studied the problem of parameterizing the equations with given Galois group, which she reduced  to "Noether's problem". (She first mentioned this problem in {{harv|Noether|1913}} where she attributed the problem to E. Fischer.) She showed this was true for ''n'' = 2, 3, or 4. {{harvs|first=R. G.|last= Swan|authorlink = Richard Swan|year=1969|txt}} found a counter-example to the Noether's problem, with ''n'' = 47 and ''G'' a cyclic group of order 47.-->

==リューローの定理==
{{main|リューローの定理}}
'''リューローの問題'''(Lüroth's problem)は、一つの変数 X の有理函数（体）K(X) 体の拡大 L がどのようなときに存在するかという問題で、19世紀に{{仮リンク|ヤコブ・リューロー|en|Jacob Lüroth}}(Jacob Lüroth)が解き、定理となっている。そのような（有理函数体 K(X) の拡大体 L が存在する）体は K に等しいか、または有理的、すなわち、ある体 F に対し L = K(F) である。幾何学のことばでは、定数写像ではない[[射影直線]](projective line)から曲線 C への{{仮リンク|有理写像|en|rational map}}(rational map)は、C が[[種数]] 0 のときにのみ起きる。この事実は、[[リーマン・フルヴィッツの公式]]から幾何学的に導くことができる。

リューローの定理は非基本的な結果と考えられることもあるが、長きにわたりいくつかの基本的な短い証明が考えられてきた。これらの簡単な証明は、体の基底と原始多項式のガウスの補題のみを使う。（例えば<ref>{{cite journal|first=Michael|last=Bensimhoun|url = https://commons.wikimedia.org/wiki/File%3AAnother_elementary_proof_of_Luroth's_theorem-06.2004.pdf|format=PDF
| title = Another elementary proof of Luroth's theorem|place=Jerusalem|date=May 2004|}}</ref>を参照）
<!---==Lüroth's theorem==
{{main|Lüroth's theorem}}
A celebrated case is '''Lüroth's problem''', which [[Jacob Lüroth]] solved in the nineteenth century. Lüroth's problem concerns subextensions ''L'' of ''K''(''X''), the rational functions in the single indeterminate ''X''. Any such field is either equal to ''K'' or is also rational, i.e. ''L'' = ''K''(''F'') for some rational function ''F''. In geometrical terms this states that a non-constant [[rational map]] from the [[projective line]] to a curve ''C'' can only occur when ''C'' also has [[genus of a curve|genus]] 0. That fact can be read off geometrically from the [[Riemann–Hurwitz formula]].

Even though Lüroth's theorem is often thought as a non elementary result, several elementary short proofs have been discovered for long. These simple proofs use only  the basics of field theory and Gauss's lemma for primitive polynomials (see e.g. <ref>{{cite journal|first=Michael|last=Bensimhoun|url = https://commons.wikimedia.org/wiki/File%3AAnother_elementary_proof_of_Luroth's_theorem-06.2004.pdf|format=PDF
| title = Another elementary proof of Luroth's theorem|place=Jerusalem|date=May 2004|}}</ref>).-->

==単有理性==

体 K 上の'''単有理多様体'''(unirational variety) V は、有理多様体により統制されているので、その函数体 K(V) は有限タイプの超越体である（有限タイプとは K は無限でも K(V) 上は有限次数であるように選ぶことが可能な時を言う）。リューロス問題の解は、代数曲線の場合には、[[有理曲線]]と単有理的な曲線は同じであり、代数曲面の場合は、[[有理曲面|カステルヌオボーの定理]]であり、単有理的な'''複素曲面'''は有理曲面を含んでいることを意味する。何故ならば、どちらの場合も[[小平次元#脚注|算術種数]]と[[小平次元#多重種数|第二多重種数]](second plurigenus)ともゼロとなることにより特徴付けられるからである。ザリスキー(Zariski)は、単有理的であるが有理的ではない例を、標数が p&nbsp;>&nbsp;0 の場合の例（{{仮リンク|ザリスキー曲面|en|Zariski surface}}(Zariski surface)）を見つけた。{{harvtxt|Clemens|Griffiths|1972}}は、3次の{{仮リンク|3次元多様体|en|three-fold}}(three-fold)が、一般には有理多様体ではなく、有理性を持たない単有理的な例となることを示した。これらの仕事は{{仮リンク|中間ヤコビ多様体|en|intermediate Jacobian}}(intermediate Jacobian)を使う。{{harvtxt|Iskovskih|Manin|1971}}は、全ての非特異な{{仮リンク|3次元4次多様体|en|quartic threefold}}(quartic threefold)は有理的ではないことを、それらの例が単有理的であることを使って示した。{{harvtxt|Artin|Mumford|1972}}は、第三コホモロジー群の中に非自明な捩じれ(torsion)をもつ単有理的な例を見つけた。第三コホモロジーの非自明な捩じれをもつことは有理的ではないことを意味する。
<!---=Unirationality==

A '''unirational variety''' ''V'' over a field ''K'' is one dominated by a rational variety, so that its function field ''K''(''V'') lies in a pure transcendental field of finite type (which can be chosen to be of finite degree over ''K''(''V'') if ''K'' is infinite). The solution of Lüroth's problem shows that for algebraic curves, rational and unirational are the same, and [[Castelnuovo's theorem]] implies that for complex surfaces  unirational implies rational, because both are characterized by the vanishing of both the [[arithmetic genus]] and the second [[plurigenus]]. Zariski found some examples ([[Zariski surface]]s) in characteristic ''p''&nbsp;>&nbsp;0 that are unirational but not rational.  {{harvtxt|Clemens|Griffiths|1972}} showed  that a cubic [[three-fold]] is in general not a rational variety, providing an example for three dimensions that unirationality does not imply rationality. Their work used an [[intermediate Jacobian]]. 
{{harvtxt|Iskovskih|Manin|1971}} showed that all non-singular [[quartic threefold]]s are irrational, though some of them are unirational. {{harvtxt|Artin|Mumford|1972}} found some unirational 3-folds with non-trivial torsion in their third cohomology group, which implies that they are not rational.-->

任意の体 K に対し、{{仮リンク|ヤノス・ケラー|en|János Kollár}}(János Kollár)は2000年に、少なくとも次元が 2 の滑らかな{{仮リンク|3次超曲面|en|cubic hypersurface}}(cubic hypersurface)は、K 上に定義された点を持つ場合にあ、単有理的となることを証明した。ケラーのこの結果は、{{仮リンク|3次曲面|en|cubic surface}}(cubic surface)から始まる（代数的閉包である体上の有理多様体である）、多くの古典的な結果の改良である。他の単有理的であることが示されている多様体の他の例は、曲線の[[モジュライ空間]]の多くの場合である。<ref>{{cite journal |author=János Kollár |title=Unirationality of cubic hypersurfaces |year=2002 |journal=Journal of the Institute of Mathematics of Jussieu |volume=1 |issue=3 |pages=467–476 |doi=10.1017/S1474748002000117 |mr=1956057}}</ref>
<!---For any field ''K'', [[János Kollár]] proved in 2000 that a smooth [[cubic hypersurface]] of dimension at least 2 is unirational if it has a point defined over ''K''. This is an improvement of many classical results, beginning with the case of [[cubic surface]]s (which are rational varieties over an algebraic closure). Other examples of varieties that are shown to be unirational are many cases of the [[moduli space]] of curves.<ref>{{cite journal |author=János Kollár |title=Unirationality of cubic hypersurfaces |year=2002 |journal=Journal of the Institute of Mathematics of Jussieu |volume=1 |issue=3 |pages=467–476 |doi=10.1017/S1474748002000117 |mr=1956057}}</ref>-->

==有理連結多様体==
'''有理連結多様体'''(rationally connected variety) V は、代数的閉体上の[[射影多様体|射影代数多様体]]で、任意の 2点に対して[[射影空間]]から V への{{仮リンク|有理写像|en|Regular map (algebraic geometry)}}(regular map)の像となるような代数多様体である。同じことであるが、多様体が有理連結とは、任意の 2点が有理曲線で多様体の中で結びつけることができることを言う。<ref> {{Citation | last1=Kollar | first1=Janos | title=Rational Curves on Algebraic Varieties | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | year=1996}}. </ref>

この定義は、経路の性格が異なっているだけではなく、有理曲線が有理的に連結できる点となっていることで、[[弧状連結]]とは非常に異なっている。

[[射影空間]]を含む全ての'''有理多様体'''は、有理連結であるが、逆は成り立たなく、従って、有理連結多様体のクラスは有理多様体の一般化である。単有理多様体は有理連結であるが、逆が成り立つかどうかは未解決の問題である。
<!---==Rationally connected variety ==
A '''rationally connected variety''' ''V'' is a [[Algebraic variety#Projective variety|projective algebraic variety]] over an algebraically closed field such that through every two points there passes the image of a [[Regular map (algebraic geometry)|regular map]] from the [[projective line]] into ''V''. Equivalently, a variety is rationally connected if every two points are connected by a [[rational curve]] contained in the variety.<ref> {{Citation | last1=Kollár | first1=János | title=Rational Curves on Algebraic Varieties | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | year=1996}}. </ref>

This definition differs form that of [[path connectedness]] only by the nature of the path, but is very different, as the only algebraic curves which are rationally connected are the rational ones.

Every [[rational variety]], including the [[projective space]]s, is rationally connected, but the converse is false. The class of the rationally connected varieties is thus a generalization of the class of the rational varieties.  Unirational varieties are rationally connected, but it is not known if the converse holds.-->

==参照項目==

*[[有理曲線]]
*[[有理曲面]]
*{{仮リンク|セヴィリ・ブラウアー多様体|en|Severi–Brauer variety}}(Severi–Brauer variety)
*[[双有理幾何学]]

==脚注==
{{reflist}}

==参考文献==
*{{Citation | last1=Artin | first1=Michael | author1-link=Michael Artin | last2=Mumford | first2=David | author2-link=David Mumford | title=Some elementary examples of unirational varieties which are not rational | doi=10.1112/plms/s3-25.1.75  |mr=0321934 | year=1972 | journal=Proceedings of the London Mathematical Society. Third Series | issn=0024-6115 | volume=25 | pages=75–95}}
*{{Citation | last1=Clemens | first1=C. Herbert | last2=Griffiths | first2=Phillip A. | title=The intermediate Jacobian of the cubic threefold |mr=0302652 | year=1972 | journal=[[Annals of Mathematics|Annals of Mathematics. Second Series]] | issn=0003-486X | volume=95 | pages=281–356 | doi=10.2307/1970801 | issue=2 | publisher=The Annals of Mathematics, Vol. 95, No. 2 | jstor=1970801}}
*{{Citation | last1=Iskovskih | first1=V. A. | last2=Manin | first2=Ju. I. | title=Three-dimensional quartics and counterexamples to the Lüroth problem | doi= 10.1070/SM1971v015n01ABEH001536 |mr=0291172 | year=1971 | journal=Matematicheskii Sbornik|series=Novaya Seriya | volume=86 | pages=140–166}}
*{{Citation | last1=Kollár | first1=János | last2=Smith | first2=Karen E. | last3=Corti | first3=Alessio | title=Rational and nearly rational varieties | url=http://www.cambridge.org/catalogue/catalogue.asp?isbn=9780521832076 | publisher=[[Cambridge University Press]] | series=Cambridge Studies in Advanced Mathematics | isbn=978-0-521-83207-6 |mr=2062787 | year=2004 | volume=92}}
*{{citation|last=Noether|first=Emmy|title=Rationale Funkionenkorper|journal=J. Ber. D. DMV|volume=22|year=1913|pages=316–319}}.
*{{citation|last=Noether|first=Emmy|title=Gleichungen mit vorgeschriebener Gruppe|journal=[[Mathematische Annalen]] |volume=78|year=1918|pages=221–229|doi=10.1007/BF01457099}}.
*{{citation|first=R. G. |last=Swan| title=Invariant rational functions and a problem of Steenrod|journal=Inventiones Mathematicae |volume=7|year=1969|pages=148–158|doi=10.1007/BF01389798|issue=2}}
*{{Citation | last1=Martinet | first1=J. | title=Séminaire Bourbaki. Vol. 1969/70: Exposés 364–381 | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | series=Lecture Notes in Mathematics |mr=0272580 | year=1971 | volume=189 | chapter=Exp. 372 Un contre-exemple à une conjecture d'E. Noether (d'après R. Swan);}}

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