有理標準形のソースを表示

[[線形代数学]]において、[[体 (数学)|体]] {{mvar|F}} の元を成分とする[[正方行列]] {{mvar|A}} の'''有理標準形'''（ゆうりひょうじゅんけい、{{lang-en-short|rational (canonical) form}}）あるいは'''フロベニウス標準形'''（ふろべにうすひょうじゅんけい、{{lang-en-short|Frobenius normal form}}）とは、体 {{mvar|F}} 上で[[行列の相似|相似]]な行列の[[標準形]]である。この標準形は、自然に作用する[[ベクトル空間]]の行列 {{mvar|A}} に関して[[巡回加群|巡回的]]な（つまり、あるベクトル {{mvar|v}} と {{mvar|A}} の冪による[[像 (数学)|像]] {{mvar|Av}}, {{math|''A''{{sup|2}}''v''}}, &hellip; により[[線型包|生成]]される）[[部分ベクトル空間|部分空間]]への極小分解を反映したものである。所与の正方行列からは唯一つの標準形しか得られず（それゆえ〈標準的〉で）、また正方行列 {{mvar|A}}, {{mvar|B}} が互いに相似となるのは {{mvar|A}}, {{mvar|B}} の有理標準形が一致するとき、かつそのときに限る{{sfn|Hoffman|Kunze|1971|loc=Theorem 5|p=238}}。また、この標準形は行列成分の[[有理演算]]のみに依って（それゆえ〈有理的〉に）見つけることができる{{sfn|Hoffman|Kunze|1971|p=239}}。とりわけ[[ジョルダン標準形]]とは異なり多項式の分解を必要とせず、これは行列の相似性が[[体の拡大]]に関して不変であることを示している。この標準形の名前はドイツの数学者[[ゲオルク・フロベニウス]]に因む。
<!-- 日本語版への訳出は不要か
Some authors use the term rational canonical form for a somewhat different form that is more properly called the '''primary rational canonical form'''. Instead of decomposing into a minimal number of cyclic subspaces, the primary form decomposes into a maximal number of cyclic subspaces. It is also defined over ''F'', but has somewhat different properties: finding the form requires [[factorization of polynomials]], and as a consequence the primary rational canonical form may change when the same matrix is considered over an extension field of ''F''. This article mainly deals with the form that does not require factorization, and explicitly mentions "primary" when the form using factorization is meant.
-->

== 動機 ==
正方行列 {{mvar|A}}, {{mvar|B}} が互いに相似かどうか調べたいとしよう。考えられる方法のひとつは、それぞれについて自然に作用するベクトル空間を[[不変部分空間]]の[[直和]]に可能な限り分解し、これらの部分空間上のそれぞれの作用を比較することである。たとえば両者が共に[[対角化可能]]であれば、[[固有空間]]分解をして、[[固有値]]とその重複度を比較することによって相似性は決定可能である。実際これは非常に有力な方法であることが多いが、一般的な方法としては様々な欠点がある。第一に、すべての固有値を（たとえば[[固有多項式]]の根として）見つける必要がある。しかし、それらを陽に表示することができるとは限らない{{efn|たとえば五次行列 <math>\scriptstyle\begin{bmatrix} & & & & 1 \\ 1 & & & & 1 \\ & 1 & & & \\ & & 1 & & \\ & & & 1 & \end{bmatrix}</math> は複素行列として対角化可能であるが、固有方程式 {{math|''x''{{sup|5}} &minus; ''x'' &minus; 1 {{=}} 0}} は[[アーベル-ルフィニの定理|代数的に解けない]]ので、固有値を代数的に求めることはできない。}}。第二に、固有値は拡大体の中にしか存在しないかもしれない。このとき基礎体に関する相似性の証明は得られない{{efn|たとえば二次行列 <math>\scriptstyle\begin{bmatrix} & -1 \\ 1 & \end{bmatrix}</math>, <math>\scriptstyle\begin{bmatrix} & 1 \\ -1 & \end{bmatrix}</math> の有理行列としての相似性を示すのに複素対角行列 <math>\scriptstyle\begin{bmatrix} i & \\ & -i \end{bmatrix}</math> は直接の役には立たない。}}。最後に、行列 {{mvar|A}}, {{mvar|B}} は、そもそも拡大体においてさえ対角化できないかもしれない。このような場合には[[広義固有空間]]への分解や、ジョルダン細胞への分解を代わりに使わなければならない。

しかしながら、上のように精密な分解を得ることは行列の相似性決定には必要ではない。有理標準形は、可能な限り大きな不変部分空間への直和分解に基づいているが、一方でそれぞれの作用を非常に単純な記述できる。これらの部分空間はゼロでないベクトル {{mvar|v}} と行列の冪による像により生成される。これらは明らかに不変部分空間であり、巡回部分空間と呼ばれる。このような部分空間の[[基底]]は {{mvar|v}} と[[線型独立]]な限りその連続する冪による像とによって得られる。この基底に関する線形変換の[[表現行列]]は[[モニック多項式]]の[[同伴行列]]であり、この多項式（線形変換の部分空間への[[制限写像|制限]]の[[最小多項式]]）は線形変換の巡回部分空間への作用を同型を除いて決定し、部分空間を生成するベクトル {{mvar|v}} の選び方に依らない。

巡回部分空間による直和分解は常に存在し、それを見つけるのは多項式の分解を必要としない。しかしながら、巡回部分空間はより小さな巡回部分空間の直和へと分解されるかもしれない（本質的には[[中国剰余定理]]による）。したがって、単に巡回部分空間への分解を求め、対応する最小多項式を知るだけでは相似性を決定するには十分でない。相似な行列に対し同じ巡回部分空間への分解が得られるように付加的な条件を課す必要がある：対応する最小多項式の列は、各多項式が次の多項式を整除しなくてはならない（そして {{math|0}} 次元の自明な巡回部分空間を除外するために定数多項式 {{math|1}} も許さない）。このようにして得られる多項式の列は行列の[[単因子]]と呼ばれ、行列が互いに相似であるのは、同一の単因子をもつとき、かつそのときに限る。行列 {{mvar|A}} の有理標準形は対応する最小多項式が {{mvar|A}} の単因子となるような巡回部分空間への分解に沿った基底の表現行列として得られる。行列が互いに相似であるのは、同一の有理標準形をもつとき、かつそのときに限る。
<!--
== Example ==
Consider the following matrix A, over '''Q''':

:<math>\scriptstyle A=\begin{pmatrix}
     -1& 3&-1& 0&-2& 0& 0&-2 \\
     -1&-1& 1& 1&-2&-1& 0&-1 \\
     -2&-6& 4& 3&-8&-4&-2& 1 \\
     -1& 8&-3&-1& 5& 2& 3&-3 \\
      0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1 \\
      0& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0 \\
      1& 0& 0& 0& 2& 0& 0& 0 \\
      0& 0& 0& 0& 4& 0& 1& 0 \end{pmatrix}.</math>

''A'' has [[minimal polynomial (linear algebra)|minimal polynomial]] <math>\mu=X^6-4X^4-2X^3+4X^2+4X+1</math>, so that the dimension of a subspace generated by the repeated images of a single vector is at most 6. The [[characteristic polynomial]] is <math>\chi=X^8-X^7-5X^6+2X^5+10X^4+2X^3-7X^2-5X-1</math>, which is a multiple of the minimal polynomial by a factor <math>X^2-X-1</math>. There always exist vectors such that the cyclic subspace that they generate has the same minimal polynomial as the operator has on the whole space; indeed most vectors will have this property, and in this case the first standard basis vector <math>e_1</math> does so: the vectors <math>A^k(e_1)</math> for <math>k=0,1,\ldots,5</math> are linearly independent and span a cyclic subspace with minimal polynomial <math>\mu</math>. There exist complementary stable subspaces (of dimension 2) to this cyclic subspace, and the space generated by vectors <math>v=(3,4,8,0,-1,0,2,-1)^\top</math> and <math>w=(5,4,5,9,-1,1,1,-2)^\top</math> is an example. In fact one has <math>A\cdot v=w</math>, so the complementary subspace is a cyclic subspace generated by <math>v</math>; it has minimal polynomial <math>X^2-X-1</math>. Since <math>\mu</math> is the minimal polynomial of the whole space, it is clear that <math>X^2-X-1</math> must divide <math>\mu</math> (and it is easily checked that it does), and we have found the invariant factors <math>X^2-X-1</math> and <math>\mu=X^6-4X^4-2X^3+4X^2+4X+1</math> of ''A''. Then the rational canonical form of ''A'' is the block diagonal matrix with the corresponding companion matrices as diagonal blocks, namely
:<math>\scriptstyle C=\begin{pmatrix}
      0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0 \\
      1& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0 \\
      0& 0& 0& 0& 0& 0& 0&-1 \\
      0& 0& 1& 0& 0& 0& 0&-4 \\
      0& 0& 0& 1& 0& 0& 0&-4 \\
      0& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 2 \\
      0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 4 \\
      0& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0 \end{pmatrix}.</math>
A basis on which this form is attained is formed by the vectors <math>v,w</math> above, followed by <math>A^k(e_1)</math> for <math>k=0,1,\ldots,5</math>; explicitly this means that for
:<math>\scriptstyle P=\begin{pmatrix}
      3& 5& 1&-1& 0& 0& -4& 0\\
      4& 4& 0&-1&-1&-2& -3&-5\\
      8& 5& 0&-2&-5&-2&-11&-6\\
      0& 9& 0&-1& 3&-2&  0& 0\\
     -1&-1& 0& 0& 0& 1& -1& 4\\
      0& 1& 0& 0& 0& 0& -1& 1\\
      2& 1& 0& 1&-1& 0&  2&-6\\
     -1&-2& 0& 0& 1&-1&  4&-2 \end{pmatrix}</math>,

one has <math>A=PCP^{-1}.</math>
-->
== 理論 ==
'''定理'''　体 {{mvar|F}} 上の有限次元ベクトル空間 {{mvar|V}} と {{mvar|V}} 上の線形変換 {{mvar|&alpha;}} をとる。不定元 {{mvar|x}} の作用を {{mvar|&alpha;}} により定め、線形に拡張することにより {{mvar|V}} 上の [[多項式環|{{math|''F''[''x'']}}]] [[環上の加群|加群]]構造を定める。このとき {{math|''F''[''x'']}} に属する単数でないモニック多項式 {{math|''a''{{sub|1}}}}, &hellip;, {{math|''a''{{sub|''n''}}}} であって
* <math> V \cong F[x]/(a_1) \oplus \dotsb \oplus F[x]/(a_n) </math>
* <math> a_1 \mid \dotsb \mid a_n </math>
を満たすものが一意的に存在する。ただし {{math|''a'' {{!}} ''b''}} は {{mvar|a}} が {{mvar|b}} を整除することを表す。

'''証明の概略'''　[[単項イデアル整域上の有限生成加群の構造定理]]を {{math|''F''[''x'']}} 加群 {{mvar|V}} に適用する。このとき {{math|''F''[''x'']}} 上の自由加群は {{mvar|F}} 上無限次元なので、有限次元である {{mvar|V}} の直和分解には自由な直和因子は現れないので、捻れ巡回加群の直和であることが従う。ここで単因子が単数倍の違いを除いて一意的に決定されることはあらかじめ別に示す必要がある。このとき一意性はモニック性より従う。詳細は {{harvtxt|Dummit|Foote|2004|loc=12.1 The Rational Canonical Form}} を参照のこと。概略終。

各単因子 {{math|''a''{{sub|''i''}}}} は {{math|''F''[''x'']}} に属する多項式なので、{{math|''a''{{sub|''i''}}}} の[[同伴行列]] {{math|''C''{{sub|''i''}}}} は体 {{mvar|F}} の元を成分とする行列であり、これは線形変換 {{mvar|&alpha;}} の巡回加群 {{math|''F''[''x'']/(''a''{{sub|''i''}})}} に相当する直和因子における表現行列になる。これらの行列の直和を単因子に渡って取ることで線形変換 {{mvar|&alpha;}} の表現行列 {{mvar|A}} の有理標準形
:<math>\begin{bmatrix}
C_1 &        &     \\
    & \ddots &     \\
    &        & C_n 
\end{bmatrix}</math>
が得られる。アルゴリズムは {{harvtxt|Dummit|Foote|2004|pp=481f}} に詳しい。

<!-- == A rational normal form generalizing the Jordan normal form == --><!-- Primary rational canonical form -->
<!--
The Frobenius normal form does not reflect any form of factorization of the characteristic polynomial, even if it does exist over the ground field ''F''. This implies that it is invariant when ''F'' is replaced by a different field (as long as it contains the entries of the original matrix ''A''). On the other hand, this makes the Frobenius normal form rather different from other normal forms that do depend on factoring the characteristic polynomial, notably the [[diagonal matrix|diagonal form]] (if ''A'' is diagonalizable) or more generally the [[Jordan normal form]] (if the characteristic polynomial splits into linear factors). For instance, the Frobenius normal form of a diagonal matrix with distinct diagonal entries is just the companion matrix of its characteristic polynomial.

There is another way to define a normal form, that, like the Frobenius normal form, is always defined over the same field ''F'' as ''A'', but that does reflect a possible factorization of the characteristic polynomial (or equivalently the minimal polynomial) into irreducible factors over ''F'', and which reduces to the Jordan normal form when this factorization only contains linear factors (corresponding to [[eigenvalue]]s). This form<ref>Phani Bhushan Bhattacharya, Surender Kumar Jain, S. R. Nagpaul, ''Basic abstract algebra'', Theorem 5.4, [https://books.google.com/books?id=hiQ8e0b48swC&lpg=PA423&dq=%22generalized%20Jordan%20block%22&hl=en&pg=PA423#v=onepage&q&f=false p.423]</ref> is sometimes called the '''generalized Jordan normal form''', or '''primary rational canonical form'''. It is based on the fact that the vector space can be canonically decomposed into a direct sum of stable subspaces corresponding to the ''distinct'' irreducible factors ''P'' of the characteristic polynomial (as stated by the {{Interlanguage link multi|lemme des noyaux|fr}}<ref>Xavier  Gourdon, ''Les maths en tête, Mathématiques pour M', Algèbre'', 1998, Ellipses, Th. 1 p. 173</ref>), where the characteristic polynomial of each summand is a power of the corresponding ''P''. These summands can be further decomposed, non-canonically, as a direct sum of cyclic ''F''[''x'']-modules (like is done for the Frobenius normal form above), where the characteristic polynomial of each summand is still a (generally smaller) power of ''P''. The primary rational canonical form is a [[Block matrix#Block diagonal matrices|block diagonal matrix]] corresponding to such a decomposition into cyclic modules, with a particular form called ''generalized Jordan block'' in the diagonal blocks, corresponding to a particular choice of a basis for the cyclic modules. This generalized Jordan block is itself a [[block matrix]] of the form

:<math>\scriptstyle\begin{pmatrix}C&0&\cdots&0\\U&C&\cdots&0\\\vdots&\ddots&\ddots&\vdots\\0&\cdots&U&C\end{pmatrix}</math>

where ''C'' is the companion matrix of the irreducible polynomial {{math|''P''}}, and {{math|''U''}} is a matrix whose sole nonzero entry is a 1 in the upper right hand corner. For the case of a linear irreducible factor {{math|''P'' {{=}} ''x'' − ''λ''}}, these blocks are reduced to single entries  {{math|''C'' {{=}} ''λ''}} and {{math|''U'' {{=}} 1}} and, one finds a (transposed) [[Jordan block]]. In any generalized Jordan block, all entries immediately below the main diagonal are 1. A basis of the cyclic module giving rise to this form is obtained by choosing a generating vector {{math|''v''}} (one that is not annihilated by {{math|''P''<sup>''k''−1</sup>(''A'')}} where the minimal polynomial of the cyclic module is {{math|''P''<sup>''k''</sup>}}), and taking as basis
: <math>v,A(v),A^2(v),\ldots,A^{d-1}(v), ~
        P(A)(v), A(P(A)(v)),\ldots,A^{d-1}(P(A)(v)), ~
        P^2(A)(v),\ldots, ~
        P^{k-1}(A)(v),\ldots,A^{d-1}(P^{k-1}(A)(v))</math>
where {{math|''d'' {{=}} deg(''P'')}}.
-->
== 脚注 ==
=== 注釈 ===
{{notelist}}
=== 出典 ===
{{reflist|2}}

== 参考文献 ==
* {{cite book
|last1 = Dummit
|first1 = D. S.
|last2 = Foote
|first2 = R. M.
|title = Abstract Algebra
|edition = Third
|year = 2004
|publisher = Wiley
|isbn = 0-471-43334-9
|mr = 2286236
|zbl = 1037.00003
|ref = harv
}} 
* {{cite book
|last1 = Hoffman
|first1 = K.
|last2 = Kunze
|first2 = R.
|title = Linear Algebra
|edition = Second
|year = 1971
|publisher = Prentice-Hall
|mr = 0276251
|zbl = 0212.36601
|ref = harv
}}

== 関連項目 ==
* [[ジョルダン標準形]]
* [[スミス標準形]]

== 外部リンク ==
* {{MathWorld|title=Rational Canonical Form|urlname=RationalCanonicalForm}}

=== アルゴリズム ===
* [https://archive.is/20001011163112/http://www-lmc.imag.fr/cathode2/Cirm/abstract/abs_storjohann/abs_storjohann.html An O(''n''<sup>3</sup>) Algorithm for Frobenius Normal Form]
* [http://portal.acm.org/ft_gateway.cfm?id=281570&type=pdf An Algorithm for the Frobenius Normal Form (pdf)]
* [http://www.numbertheory.org/pdfs/canonical.pdf A rational canonical form Algorithm (pdf)]

{{Linear algebra}}

{{DEFAULTSORT:ゆうりひようしゆんけい}}
[[Category:線型代数学]]
[[Category:行列]]
[[Category:数学に関する記事]]