有理点のソースを表示

<!--{{Inline citations|date=January 2012}}-->
数論において'''有理点'''（ゆうりてん、{{lang-en-short|rational point}}）とは、各座標の値が全て有理数であるような空間の点のことである。

例えば、点 (3, &minus;67/4) は 3 も &minus;67/4 も有理数であるため、2次元空間内の有理点である。有理点の特別な場合として{{仮リンク|整数点|en|integer point}}(integer point)があり、これは座標値が全て整数の点である。例えば、(1, &minus;5, 0) は 3次元空間内の整数点である。より一般に ''K'' を任意の体とするとき、''K''-有理点は点の各々の座標値が体 ''K'' に属するような点と定義される。同様に、特別な場合である ''K''-整数点は、各座標値が[[数体]] ''K'' 内の[[代数的整数]]の[[環 (数学)|環]]の元である点と定義される。
<!--{{Inline citations|date=January 2012}}
In [[number theory]], a '''rational point''' is a [[point (geometry)|point]] in space each of whose [[coordinate]]s are rational; that is, the coordinates of the point are elements of the [[Field (mathematics)|field]] of [[rational number]]s, as well as being elements of larger fields that contain the rational numbers, such as the [[real numbers]] and the [[complex numbers]].

For example, {{math|(3, &minus;67/4)}} is a rational point in 2-dimensional space, since 3 and &minus;67/4 are rational numbers. A special case of a rational point is an [[integer point]], that is, a point all of whose coordinates are integers. E.g., {{math|(1, &minus;5, 0)}} is an integral point in 3-dimensional space. On the other hand, more generally, a ''K''-rational point is a point in a space where each coordinate of the point belongs to the field ''K'', as well as being elements of larger fields containing the field ''K''. This is analogous to rational points, which, as stated above, are contained in fields larger than the rationals. A corresponding special case of ''K''-rational points are those that belong to a [[Ring (mathematics)|ring]] of [[algebraic integers]] existing inside the field ''K''.-->

==代数多様体上の有理点や K-有理点==
{{See|{{仮リンク|ディオファントス幾何学|en|Diophantine geometry}} }}

''V'' を体 ''K'' 上の[[代数多様体]]とする。''V'' が[[アフィン多様体]]、つまり ''V'' を係数が ''K'' に属する多項式方程式系 ''f<sub>j</sub>''(''x''<sub>1</sub>, ..., ''x''<sub>n</sub>) = 0, ''j'' = 1, ..., ''m'' の零点集合であるとすると、''V'' の ''K''-有理点 ''P'' は、体 ''K'' に属する数の順序付きの ''n''-個の組 (''x''<sub>1</sub>, ..., ''x<sub>n</sub>'') であり、同時にすべての方程式の共通解となる。一般に ''V'' の ''K''-有理点は、''V'' のアフィン開部分集合の ''K''-有理点である。

''V'' が[[射影空間]] <math>\mathbb P^n</math> の中の[[斉次多項式 (代数幾何学)|斉次多項式]] <math>f_1, \dots, f_m</math> （係数は ''K'' に属する）で定義される射影的な代数多様体の場合は、''V'' の ''K''-有理点は射影空間内の <math>[x_0 : \cdots : x_n]</math> の点のうち、すべての座標が ''K'' に属し、すべての方程式 <math>f_j=0</math> の共通解となっているものである。

混乱がない場合、あるいは体 ''K'' が有理数体の場合には、''K''-有理点を単に有理点と呼ぶことがある。

''K''-有理点と同様に、[[楕円曲線]]のような代数多様体の有理点は、現在の研究の主要な分野となっている。[[アーベル多様体]] A に対し、''K''-有理点は[[群 (数学)|群]]を形成する。''K'' が[[数体]]のとき、[[モーデルの定理|モーデル・ヴェイユの定理]]は ''K'' 上のアーベル多様体の有理点のなす群は[[有限生成群]]であると主張する。

[[ヴェイユ予想]]は、[[有限体]]上の多様体上の有理点の分布に関連していて、多様体が定義される最も小さな部分体が存在し、それへ属する点から有理点が構成されることを意味している。
<!--==Rational or ''K''-rational points on algebraic varieties==
{{See|Diophantine geometry}}

Let ''V'' be an algebraic variety over a field ''K''. When ''V'' is affine, given by a set of equations {{math|''f''<sub>''j''</sub>(''x''<sub>1</sub>, ..., ''x''<sub>''n''</sub>){{=}}0, ''j''{{=}}1, ..., ''m''}},  with coefficients in ''K'',  a ''K''-rational point ''P'' of ''V''
is an ordered [[n-tuple]] {{math|(''x''<sub>1</sub>, ..., ''x''<sub>''n''</sub>)}} of numbers from the field ''K'' that is a solution of all of the equations simultaneously. In the general case, a ''K''-rational point of ''V'' is a ''K''-rational point of some affine open subset of ''V''.

When ''V'' is projective, defined in some projective space <math>\mathbb P^n</math> by homogeneous polynomials <math>f_1, \dots, f_m</math> (with coefficients in ''K''), a ''K''-rational point of ''V'' is a point <math>[x_0 : \cdots : x_n]</math> in the projective space, all of whose coordinates are in ''K'', which is a common solution of all the equations <math>f_j=0</math>.

Sometimes when no confusion is possible (or when ''K'' is the field of the rational numbers), we say rational points instead of ''K''-rational points.

Rational (as well as ''K''-rational) points that lie on an [[algebraic variety]] (such as an [[elliptic curve]]) constitute a major area of current research.
For an [[abelian variety]] ''A'', the ''K''-rational points form a [[Group (mathematics)|group]]. The [[Mordell-Weil theorem]] states that the group of rational points of an abelian variety over ''K'' is finitely generated if ''K'' is a [[number field]].

The [[Weil conjectures]] concern the distribution of rational points on varieties over [[finite field]]s, where 'rational points' are taken to mean points from the smallest subfield of the finite field the variety has been defined over.-->

===例1===
点 (3, &minus;67/4) は、方程式 ''y'' + 67/4 = 2 (''x'' &minus; 3) で与えられる[[直線]]上の有理点の無限集合のひとつの元である。この有理点の集合は、群演算 (''a'', ''b'') + (''r'', ''s'') = (''a'' + ''r'', ''b'' + ''s'' + 91/4) と単位元 (0, &minus;91/4) を持つ[[可換群]]を形成する。この直線上に'''整数点'''は存在しないことを示すことができる。この直線は単純なタイプの代数曲線であり、代数多様体である。有理点を有限個しかもたない、もしくは有理点をまったくもたない代数曲線（たとえば、[[円錐曲線]] ''x''<sup>2</sup> + ''y''<sup>2</sup> + 1 = 0）も存在する。

===例2===
点 ''P'' = (√2, 3) は、方程式 3''x''<sup>2</sup>&minus;2''y'' = 0 により定義される代数多様体（この場合は[[放物線]]）上の点である。座標値 √2 は有理数でないので、''P'' は有理点ではない。しかし、''F'' を ''a'' と ''b'' を任意の有理数として ''a'' + ''b''√2 という形の数がなす体とすると、''P'' は ''F''-有理点となる。これは座標値が √2 = 0 + 1√2 と 3 = 3 + 0√2 であり、数 0, 1, 3 が有理数だからである。

===例3===
{{仮リンク|複素射影平面|en|complex projective plane}}上の点 (''a'', ''b'', ''c'') は、''za'', ''zb'', ''zc'' がすべて[[実数]]となるような[[複素数]] ''z'' が存在するとき、'''R'''-有理点（通常は、実有理点と呼ぶ）である。そうでなければ、複素数の点と呼ぶ。この記述は高次元の[[複素射影空間]]へ一般化される。

==スキームの有理点s==
スキーム論の用語では、スキーム ''X'' の ''K''-有理点は、まさに射 Spec ''K'' → ''X'' のことである。''K''-有理点の集合を通常、''X''(''K'') で表す。

[[可換体|体]] ''k'' 上に定義された[[スキーム]]や多様体 ''X'' に対し、[[剰余体]] ''k''(''x'') が ''k'' に同型であれば、点 ''x'' ∈ ''X'' も'''有理点'''と呼ばれる。
<!--===Example 1===
The point {{math|(3, &minus;67/4)}} is one of the infinite set of rational points on the [[straight line]] given by the equation {{math|''y''+67/4{{=}}2(''x''&minus;3)}}. This set of rational points forms a [[commutative group]] with [[group operation]] {{math|(a, b) "+" (r, s){{=}}(a+r, b+s+91/4)}}, and [[group identity]] {{math|(0, &minus;91/4)}}. It can be shown that there are no '''integral points''' on this particular line. This line is a simple type of an algebraic curve, which in turn is a type of algebraic variety. <br/> It should be pointed out that there are also algebraic curves which contain just finitely many or even no rational points at all (e.g. the conic <math>x^2+y^2+1=0</math>.).

===Example 2===
The point {{math|''P''{{=}}(√2, 3)}} is a point on the algebraic variety (in this case a [[parabola]]) given by the equation {{math|3''x''<sup>2</sup>&minus;2''y''</sup>{{=}}0}}. Although ''P'' is ''not'' a rational point, since the coordinate √2 is not rational, ''P'' ''is'' an ''F''-rational point, if ''F'' is chosen to be the field of numbers of the form {{math|''a''+''b''√2}}, where ''a'' and ''b'' are arbitrary rational numbers. This is because the coordinate {{math|√2{{=}}0+1√2}}, and the coordinate {{math|3{{=}}3+0√2}}, and the numbers 0, 1, and 3 ''are'' rational.

===Example 3===
A point ''(a,b,c)'' in the [[complex projective plane]] is '''R'''-rational (or, as is common to say, real) if there exists a [[complex number]] z such that ''za'', ''zb'' and ''zc'' are all [[real number]]s. Otherwise it is a complex point. This description generalizes to [[complex projective space]] of higher dimension.

==Rational points of schemes==
In the parlance of morphisms of schemes, a ''K''-rational point of a scheme ''X'' is just a morphism Spec {{math|''K''→''X''}}. The set of ''K''-rational points is usually denoted {{math|''X''(''K'')}}.

If a [[scheme (mathematics)|scheme]] or variety ''X'' is defined over a [[field (mathematics)|field]] ''k'', a point {{math|''x''∈''X''}} is also called a '''rational point''' if its [[residue field]] {{math|''k(x)''}} is isomorphic to ''k''.-->

==関連項目==
*[[代数曲線]]
*[[数論力学]]
*[[双有理幾何学|双有理変換]]
*{{仮リンク|単位円の有理点の群|en|Group of rational points on the unit circle}}
*{{仮リンク|点の函手|en|functor of points}}

==参考文献==
{{reflist}}
* {{cite book
    |last1              = Silverman
    |first1             = Joseph H.
    |authorlink1        =
    |last2              = Tate
    |first2             = John
    |authorlink2        = ジョン・テイト
    |year               = 1992
    |title              = Rational Points on Elliptic Curves
    |edition            = 
    |series             = Undergraduate Texts in Mathematics
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    |publisher          = Springer
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}}

{{DEFAULTSORT:ゆうりてん}}
[[Category:代数幾何学]]
[[Category:ディオファントス幾何学]]
[[Category:数学に関する記事]]