有界入力有界出力安定性のソースを表示

'''有界入力有界出力安定性'''（ゆうかいにゅうりょくゆうかいしゅつりょくあんていせい、{{lang-en-short|Bounded-Input Bounded-Output Stability}}）または'''BIBO安定性'''（{{lang-en-short|BIBO Stability}}）は、[[信号処理]]や[[制御理論]]における[[信号 (電気工学)|信号]]やシステムの安定性の一形態である。システムがBIBO安定であるとは、有限な入力を与えられたとき、常に有限な出力となることをいう。

ある有限値 <math>B > 0</math> があり、信号の振幅が <math>B</math> を決して超えない場合、その信号は有限（[[有界]]）である。すなわち、
*離散時間信号では <math>\ |h[n]| \leq B \quad \forall n \in \mathbb{Z}</math> であり、
*連続時間信号では <math>\ |h(t)| \leq B \quad \forall t \in \mathbb{R}</math> である。

== LTIシステムの時間領域条件 ==
=== 連続時間の必要十分条件 ===
[[連続 (数学)|連続時間]]では、BIBO安定性の条件は[[インパルス応答]]が可積分であること、すなわちその[[ノルム|L<sup>1</sup>ノルム]]が存在することである。

{{Indent|<math>\ \int_{-\infty}^{\infty}{\left|h(t)\right|dt} = \| h \|_{1} < \infty</math>}}

=== 離散時間の必要十分条件 ===
[[離散時間]]では、BIBO安定性の条件は[[インパルス応答]]が可[[総和]]であること、すなわちその <math>\ell^1</math> [[ノルム]]が存在することである。

{{Indent|<math>\ \sum_{n=-\infty}^{\infty}{\left|h[n]\right|} = \| h \|_{1} < \infty</math>}}

=== 十分性の証明 ===
[[インパルス応答]] <math>\ h[n]</math> の離散な[[LTIシステム理論|線型時不変系]]があるとき、入力 <math>\ x[n]</math> と出力 <math>\ y[n]</math> の関係は次のように表される。

{{Indent|<math>\ y[n] = h[n] * x[n]</math>}}

ここで、<math>*</math> は[[畳み込み]]を意味する。したがって、畳み込みの定義から次が導かれる。

{{Indent|<math>\ y[n] = \sum_{k=-\infty}^{\infty}{h[k] x[n-k]}</math>}}

<math>\| x \|_{\infty}</math> を <math>\ |x[n]|</math> の最大値（無限大ノルム）とする。

{{Indent|<math>\left|y[n]\right| = \left|\sum_{k=-\infty}^{\infty}{h[n-k] x[k]}\right|</math>
{{Indent|
<math>\le \sum_{k=-\infty}^{\infty}{\left|h[n-k]\right| \left|x[k]\right|}</math> （[[三角不等式]]による）

<math>\le \sum_{k=-\infty}^{\infty}{\left|h[n-k]\right| \| x \|_{\infty}}</math>

<math>= \| x \|_{\infty} \sum_{k=-\infty}^{\infty}{\left|h[n-k]\right|}</math>

<math>= \| x \|_{\infty} \sum_{k=-\infty}^{\infty}{\left|h[k]\right|}</math>
}}}}
もし <math>h[n]</math> がBIBO安定なら、<math>\sum_{k=-\infty}^{\infty}{\left|h[k]\right|} = \| h \|_1  < \infty</math> となり

{{Indent|<math>\| x \|_{\infty} \sum_{k=-\infty}^{\infty}{\left|h[k]\right|} = \| x \|_{\infty} \| h \|_1</math>}}

したがって、<math>\| x \|_{\infty} < \infty</math> なら（有界なら）、<math>\| x \|_{\infty} \| h \|_1 < \infty</math> であるため、<math>\left|y[n]\right|</math> も有界である。

連続時間の場合の証明も同じ論法である。

== LTIシステムの周波数領域条件 ==
=== 連続時間信号 ===
因果性の[[有理関数|有理]][[連続 (数学)|連続時間系]]での安定性の条件は、[[ラプラス変換]]の[[収束半径]]（ROC）が[[複素数|虚軸]]を含むことである。系が因果性であれば、ROCは[[直交座標系|X軸]]が最大の極の実部であるような垂直線の右への[[開集合|開領域]]である。ここでいう「最大」とは、その極の実部がその系の他の全ての極よりも大きな実部を持つことを意味する。ROCを定義する最大の極の実部を収束座標（abscissa of convergence）と呼ぶ。したがって、BIBO安定性を持つには、そのシステムの全極が必ず[[s平面]]の左半分になければならない。

この安定性条件は上述の時間領域の条件から以下のように導出できる。
{{Indent|
<math>\int_{-\infty}^{\infty}{\left|h(t)\right| dt}</math>
{{Indent|
<math> = \int_{-\infty}^{\infty}{\left|h(t)\right| \left| e^{-j \omega t} \right| dt}</math>

<math>= \int_{-\infty}^{\infty}{\left|h(t) (1 \cdot e)^{-j \omega t} \right| dt}</math>

<math> = \int_{-\infty}^{\infty}{\left|h(t) (e^{\sigma + j \omega})^{- t} \right| dt}</math>

<math>= \int_{-\infty}^{\infty}{\left|h(t) e^{-s t} \right| dt}</math>
}}}}
ここで <math>s = \sigma + j \omega</math> であり、かつ <math>\mbox{Re}(s) = \sigma = 0</math> である。

従って、[[収束半径]]には[[複素数|虚軸]]が含まれなければならない。

=== 離散時間信号 ===
因果性の有理[[離散信号|離散時間系]]での安定性の条件は、[[Z変換]]の[[収束半径]]（ROC）が[[単位円]]を含むことである。系が因果性であれば、ROCは絶対値が最大の極の絶対値を半径とする円の外の[[開集合|開領域]]である。したがって、BIBO安定性を持つには、全ての極がz平面上の[[単位円]]内になければならない。

この安定性条件は、連続時間の場合とよく似た手法で導出できる。
{{Indent|
<math>\sum_{n = -\infty}^{\infty}{\left|h[n]\right|}

= \sum_{n = -\infty}^{\infty}{\left|h[n]\right| \left| e^{-j \omega n} \right|}</math>
{{Indent|
<math>= \sum_{n = -\infty}^{\infty}{\left|h[n] (1 \cdot e)^{-j \omega n} \right|}</math>

<math>=\sum_{n = -\infty}^{\infty}{\left|h[n] (r e^{j \omega})^{-n} \right|}</math>

<math>= \sum_{n = -\infty}^{\infty}{\left|h[n] z^{- n} \right|}</math>
}}}}
ここで <math>z = r e^{j \omega}</math> であり、かつ <math>r = |z| = 1</math> である。

したがって、[[収束半径]]には[[単位円]]が含まれなければならない。

== 関連項目 ==
* [[LTIシステム理論]]
* [[有限インパルス応答]]
* [[無限インパルス応答]]

== 参考文献 ==
*Gordon E. Carlson ''Signal and Linear Systems Analysis with Matlab'' second edition, Wiley, 1998, ISBN 0-471-12465-6
*John G. Proakis and Dimitris G. Manolakis ''Digital Signal Processing Principals, Algorithms and Applications'' third edition, Prentice Hall, 1996, ISBN 0133737624
*D. Ronald Fannin, William H. Tranter, and Rodger E. Ziemer ''Signals & Systems Continuous and Discrete'' fourth edition, Prentice Hall, 1998, ISBN 0-13-496456-X
*[http://cnx.org/content/m12319/latest/ BIBO Stability] Connexions

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[[Category:制御理論]]
[[Category:信号処理]]