有界函数のソースを表示

{{Unreferenced|date=April 2013}}
[[Image:Bounded and unbounded functions.svg|right|thumb|
有界函数（赤）と非有界函数（青）の図。直感的に、有界函数のグラフは水平軸に平行な帯の間にとどまるが、非有界函数のグラフはそうならないことが分かる。]]

[[数学]]の分野において、ある[[集合]] ''X'' 上で定義される[[実数]]あるいは[[複素数]]値の[[函数]] ''f'' が'''有界函数'''（ゆうかいかんすう、{{Lang-en-short|bounded function}}）であるとは、その値からなる集合が[[有界集合]]であることを言う。言い換えると、''X'' 内のすべての ''x'' に対して
:<math>|f(x)|\le M</math>
が成り立つような、''x'' ''に依らない''実数 ''M'' が存在することを言う。

しばしば、''X'' 内のすべての ''x'' に対して <math>f(x)\le A</math> が成立するとき、その函数は'''上界''' ''A'' によって'''上から抑えられる'''（{{en|bounded above}}）と言い、そのような ''A'' が存在するときその函数は'''上に有界'''であるという。それと対照的に、''X'' 内のすべての ''x'' に対して <math>f(x)\ge B</math> が成立するとき、その函数は'''下界''' ''B'' によって'''下から抑えられる'''（{{en|bounded below}}）と言い、そのような ''B'' が存在するときその函数は'''下に有界'''であるという。

（しばしば、函数・写像・作用素などが同意語として扱われることもあるけれども）この概念は、[[有界作用素]]のそれと混同しないように注意するべきである。

有界函数の概念の重要で特別な場合として、''X'' を[[自然数]]全体の集合 '''N''' と取って'''有界数列'''（{{en|bounded sequence}}）が考えられる。すなわち、ある[[数列]] (''a''<sub>0</sub>, ''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub> , ...) が有界であるとは、ある実数 ''M'' が存在して、すべての自然数 ''n'' に対して
:<math>|a_n|\le M</math>
が成立することを言う。有界数列すべてからなる集合（に[[ベクトル空間]]の構造を入れたもの）は[[数列空間]]を成す。

この定義は、[[距離空間]] ''Y'' に値を取る函数へと拡張することが出来る。ある集合 ''X'' 上で定義される函数 ''f'' が有界であるとは、''Y'' 内のある ''a'' に対して適当な実数 ''M'' を取れば、距離函数 ''d'' で測った ''a'' と ''f''(''x'') との距離が ''M'' 以下にできること、すなわち
:<math>d(f(x), a)\le M</math>
が ''X'' 内のすべての ''x'' に対して成立することを言う。この場合、''a'' を他の任意の点に取り換えても、[[三角不等式]]により、同様な性質を持つ ''M'' を取ることができる。

== 例 ==
* 実函数 ''f'': '''R''' &rarr; '''R''' として[[正弦函数]] ''f'' (''x'' ) = sin ''x'' を定義するならば、これは有界である。一方、この函数をガウス平面全体で定義された複素函数と考えるならば、もはや有界でない。
* &minus;1 と 1 を除くすべての実数 ''x'' に対して定義される函数
*::<math>f(x)=\frac{1}{x^2-1}</math>
*:は、非有界である。なぜならば、''x'' が &minus;1 あるいは 1 へと近付くにつれて、この函数の絶対値はいくらでも大きくなるからである。しかし、例えば定義域を [2, &infin;) あるいは (&minus;&infin;, -2] としたときは、この函数は有界となる。
* すべての実数 ''x'' に対して定義される函数
*::<math>f(x)=\frac{1}{x^2+1}</math>
*:は、有界である。
* ''f'' : [0,1] &rarr; '''R''' のような[[連続函数]]はすべて有界である。これは特殊な例であり、より一般的な次の事実が知られている：[[コンパクト空間]]から距離空間への連続関数はすべて有界である。
* [[有理数]]の ''x'' に対しては 0 となり、[[無理数]]の ''x'' に対しては 1 となるような函数 ''f'' は、有界である。したがって、函数が有界であるためには必ずしもそれが「良い」ものでなくてもよい。[0,1] 上で定義されるすべての有界函数の集合は、その区間上で定義されるすべての[[連続函数]]の集合よりも、大きい。

== 関連項目 ==
* [[一様有界性]]

{{DEFAULTSORT:ゆうかいかんすう}}
[[Category:関数]]
[[Category:関数の種類]]
[[Category:解析学]]
[[Category:数学に関する記事]]