有界逆写像定理のソースを表示

[[数学]]の分野における'''有界逆写像定理'''（ゆうかいぎゃくしゃぞうていり、{{Lang-en|''Bounded inverse theorem''}}）は、[[バナッハ空間]]上の[[有界線形作用素]]の理論における一つの結果で、あるバナッハ空間から別のバナッハ空間への[[全単射]]な有界線形作用素 ''T'' には有界な[[逆写像|逆]] ''T''<sup>&minus;1</sup> が存在する、ということを述べた定理である。[[開写像定理 (関数解析)|開写像定理]]や[[閉グラフ定理]]と同値である。

ここで考える空間はバナッハ空間でなければならない。反例として、ゼロでない成分が有限個であるような[[数列]] ''x''&nbsp;:&nbsp;'''N'''&nbsp;&rarr;&nbsp;'''R''' からなる空間 ''X'' を考える（その[[ノルム]]は[[上限ノルム]]で与えられるものとする）。作用素 ''T''&nbsp;:&nbsp;''X''&nbsp;&rarr;&nbsp;''X'' を

:<math>T x = \left( x_{1}, \frac{x_{2}}{2}, \frac{x_{3}}{3}, \dots \right)</math>

で定義すると、これは有界、線形、可逆であるが ''T''<sup>&minus;1</sup> は非有界となる。しかしこれは有界逆写像定理とは矛盾しない。なぜならば ''X'' は[[完備]]でなく、したがってバナッハ空間ではないからである。実際に完備でないことを確かめるために、

:<math>x^{(n)} = \left( 1, \frac1{2}, \dots, \frac1{n}, 0, 0, \dots \right)</math>

によって与えられる数列 ''x''<sup>(''n'')</sup>&nbsp;&isin;&nbsp;''X'' からなる列を考える。それは ''n''&nbsp;&rarr;&nbsp;&infin; に対して数列

:<math>x^{(\infty)} = \left( 1, \frac1{2}, \dots, \frac1{n}, \dots \right),</math>

へと収束するが、この（無限個の）全ての成分がゼロでないため、これは ''X'' には含まれない。したがって ''X'' は完備ではない。

''X'' の完備化は、ゼロに収束するような全ての数列からなる空間 <math>c_0</math> である（この空間は、全ての有界数列からなるような[[Lp空間|ℓ<sub>''p''</sub>空間]] ℓ<sub>&infin;</sub>('''N''') の（閉）部分空間である）。この場合、作用素 ''T'' が全射でなく、したがって全単射ではない。このことを確かめるための簡単な例を挙げる。数列

:<math>x = \left( 1, \frac12, \frac13, \dots \right),</math>

は <math>c_0</math> の元であるが、<math>T:c_0\to c_0</math> の値域には含まれない。したがって ''T'' は全射ではない。

==参考文献==

* {{cite book
|   author = Renardy, Michael and Rogers, Robert C.
|    title = An introduction to partial differential equations
|   series = Texts in Applied Mathematics 13
|  edition = Second edition
|publisher = Springer-Verlag
| location = New York
|     year = 2004
|    pages = 356
|     isbn = 0-387-00444-0
}} (Section 8.2)

{{DEFAULTSORT:ゆうかいきやくしやそうていり}}
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