有限体のソースを表示

'''有限体'''（ゆうげんたい、[[英語]]：finite field）とは、[[代数学]]において、有限個の[[元 (数学)|元]]からなる[[可換体|体]]、すなわち[[四則演算]]が定義され閉じている有限[[集合]]のことである。主に[[計算機]]関連の分野においては、発見者である[[エヴァリスト・ガロア]]に因んで'''ガロア体'''あるいは'''ガロア域'''（ガロアいき、<span lang=en>Galois field</span>）などとも呼ぶ{{Sfn|van der Waerden|2003|loc=Section 6.7}}。

有限体においては、体の定義における乗法の可換性についての条件の有無は問題にはならない。実際、'''[[ウェダーバーンの小定理]]'''と呼ばれる以下の定理
:「有限[[斜体 (数学)|斜体]]は可換体である」
が成り立つことが知られている。別の言い方をすれば、有限体において乗法の可換性は、体の有限性から導かれるということである。

== 構成例 ==
位数最小の有限体は集合としては '''F'''{{sub|2}} = '''Z'''/2'''Z''' = {0, 1} で、演算は次で定める。
これは2を法とした[[余り]]で加法と乗法を定めていると言ってもよい。
{|class="wikitable" style="text-align:center;width:30%"
|+ '''F'''{{sub|2}} の加法表
! + !! 0 !! 1
|-
! 0
| 0 || 1
|-
! 1
| 1 || 0
|}
{|class="wikitable" style="text-align:center; width:30%"
|+ '''F'''{{sub|2}} の乗法表
! × !! 0 !! 1
|-
! 0
| 0 || 0
|-
! 1
| 0 || 1
|}

同様の構成は一般の[[素数]] ''p'' に対しても成り立つ。整数環 '''Z''' の ''p'' の倍数全体 ''p'''''Z''' は[[素イデアル]]で、整数環が[[単項イデアル整域|PID]]なので、特に[[極大イデアル]]。したがって[[剰余環]] '''F'''{{sub|''p''}} = '''Z'''/''p'''''Z''' は ''p'' 個の元からなる体である。

素数位数とは限らない有限体も存在する。'''F'''{{sub|2}} 係数一変数[[多項式環 ]]'''F'''{{sub|2}}[''x''] を考える。その[[既約多項式]] ''f''(''x'') = ''x''{{sup|2}} + ''x'' + 1 の生成する素イデアル (''f(x)'') は、 '''F'''{{sub|2}}[''x''] がPIDなので、特に極大イデアル。したがって剰余環 '''F'''{{sub|4}} = '''F'''{{sub|2}}[''x'']/(''f''(''x'')) は 4 個の元からなる体である。変数 ''x'' の自然な[[全射]]による像を ω とおくと、'''F'''{{sub|4}} = {0, 1, ω, ω{{sup|2}}} と表せ、その演算は関係式 ω{{sup|2}} + ω + 1 = 0 から定まる。

同様の構成は一般の素数 ''p'' に対して成り立ち、任意の[[拡大次数]] ''d'' をもつ[[拡大体]]が構成できる。そのとき次数 ''d'' の既約多項式としては{{仮リンク|コンウェイ多項式(有限体)|en|Conway polynomial (finite fields)}}を取ればよい。

== 構造 ==
''K'' を有限体とし、その位数を ''q'' とする。''K'' の[[標数#素整域・素体|素体]]の位数も有限であるから、''K'' はある素数 ''p'' に対する有限体 '''F'''{{sub|''p''}} = '''Z'''/''p'''''Z''' を素体として含み、素体 '''F'''{{sub|''p''}} の有限次[[体の拡大|代数拡大]]である。その拡大次数 [''K'' : '''F'''{{sub|''p''}}] が ''n'' ならば、加法群として ''K'' は ''n'' 次元の '''F'''{{sub|''p''}}-[[ベクトル空間]]と同型であるので、''K'' の位数 ''q'' は ''p{{sup|n}}'' に一致する{{Sfn|van der Waerden|2003|loc=Section 6.7}}。また乗法群 ''K''{{sup|×}} は位数 ''q'' &minus; 1 の[[巡回群]]と同型である{{Sfn|van der Waerden|2003|loc=Section 6.7}}。

''K'' を含む '''F'''{{sub|''p''}} の[[代数的閉包|代数閉包]]を ('''F'''{{sub|''p''}}){{sup|^}} とする。このとき ''K'' は、 ('''F'''{{sub|''p''}}){{sup|^}} の元で、重根を持たない方程式 ''x{{sup|q}}'' &minus; ''x'' = 0 を満たすものの全体として特徴付けられる。特に位数が ''p{{sup|n}}'' の有限体は同型を除いて唯一つ存在する{{Sfn|van der Waerden|2003|loc=Section 6.7}}。この一意性により、位数 ''q'' の有限体を '''F'''{{sub|''q''}} または GF(''q'') などと表すことがある。また、有限体 '''F'''{{sub|''q''}} と自然数 ''m'' に対し '''F'''{{sub|''q''}} の ''m'' 次拡大体は唯一つ存在し、'''F'''{{sub|''q{{sup|m}}''}} と同型であるということも分かる。さらに '''F'''{{sub|''q{{sup|m}}''}} の各元の '''F'''{{sub|''q''}} 上の最小多項式は ''x{{sup|q}}{{sup|{{sup|m}]}}'' &minus; ''x''}} を割り切るので、有限体の拡大はすべて[[ガロア拡大#ガロア拡大の特徴づけ|分離的]]である。つまり有限体は[[ガロア拡大#例|完全体]]である。さらに [[フロベニウス写像|''q'' 乗'''フロベニウス写像''']]とよばれる自己同型写像
:<math>\sigma\colon \textbf{F}_{q^m} \to \textbf{F}_{q^m};\ a \mapsto a^q</math>
を考えると、拡大 '''F'''{{sub|''q''{{sup|''m''}}}}/'''F'''{{sub|''q''}} のガロア群
Gal('''F'''{{sub|''q''{{sup|''m''}}}}/'''F'''{{sub|''q''}}) = Aut{{sub|'''F'''{{sub|''q''}}}}('''F'''{{sub|''q''{{sup|''m''}}}})
はフロベニウス写像で生成される。つまり、
:<math>\operatorname{Gal}(\textbf{F}_{q^m}/\textbf{F}_q)
 = \langle \sigma \rangle = \{
  \operatorname{id}_{\textbf{F}_{q^m}}, \sigma, \sigma^2, \ldots, \sigma^{m-1}
 \}
</math>
と表される{{Sfn|Lidl|Niederreiter|1997|loc=Theorem 2.21}}。したがって、有限体の拡大はすべて[[巡回拡大]]である[[ガロア拡大]]である。

有限体は[[代数的閉体]]でありえない。

有限体 '''F'''{{sub|''q{{sup|m}}''}} の元 α, α{{sup|''q''}}, …, α{{sup|''q''{{sup|''m'' &minus; 1}}}} が '''F'''{{sub|''q''}} 上のベクトル空間 '''F'''{{sub|''q{{sup|m}}''}} の基底をなすとき，この基底を'''[[正規基底]]'''という。正規基底は常に存在する{{Sfn|Lidl|Niederreiter|1997|loc=Theorem 2.35}}。

== 応用 ==
* [[リード・ソロモン符号]]など基本的なものを含む多くの[[誤り検出]]・訂正は、GF(2)、GF(2{{sup|2}})、GF(2{{sup|4}})、GF(2{{sup|8}})、GF(2{{sup|16}}) などを使う。
* [[Advanced Encryption Standard|AES]]、[[Camellia]]など、2000年代以降の[[共通鍵暗号]]の多くは、[[Sボックス]]にGF(2{{sup|8}}) を使う。
*[[楕円曲線暗号]]は、きわめて大きな位数の有限体、たとえばGF(2{{sup|400}}) などを使う。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{Reflist|2}}

== 参考文献 ==
* {{Cite book |last=van der Waerden |first=B. L. |year=2003 |title=[https://link.springer.com/book/9780387406244 Algebra] |publisher=Springer-Verlag |volume=I |isbn=0-387-40624-7 |ref=harv}}
* {{Cite book |last1=Lidl |first1=Rudolf |last2=Niederreiter |first2=Harald |year=1997 |title=Finite Fields |edition=2nd |publisher=Cambridge University Press |isbn=0-521-39231-4 |ref=harv |url=https://books.google.co.jp/books?id=xqMqxQTFUkMC&printsec=frontcover&hl=ja&source=gbs_ge_summary_r&cad=0#v=onepage&q&f=false}}
* Igor E. Shparlinski: "Computational and Algorithmic Problems in Finite Fields", Springer (series MASS, Vol.88) (1992). DOI:10.1007/978-94-011-1806-4.
* Jenny Fuseliear et al.: Hypergeometric Functions Over Finite Fields, AMS, Memoirs, No. 1382, (2022).

== 関連項目 ==
* [[標数#素整域・素体]]
* [[可換体]]
* [[CLMUL instruction set]] - 有限体の乗算のための命令
* [[誤り検出訂正]]

== 外部リンク ==
* {{高校数学の美しい物語|1341|有限体（ガロア体）の基本的な話}}
* [https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Galois_field Galois field --- Encyclopedia of Mathematics]{{En icon}}
* [http://www.math.rwth-aachen.de/~Frank.Luebeck/data/ConwayPol/index.html Conway polynomials for finite fields]{{En icon}}
* [https://www.sciencedirect.com/journal/finite-fields-and-their-applications ''Finite Fields and Their Applications'', Science Direct, (Open Access Journal).]

{{Normdaten}}
{{DEFAULTSORT:ゆうけんたい}}
[[Category:有限体|*]]
[[Category:エヴァリスト・ガロア]]
[[Category:数学に関する記事]]