有限単純群の分類のソースを表示

{{Expand English|Classification of finite simple groups|date=2019-11}}
{{Groups}}
'''有限単純群の分類''' ({{En|classification of the finite simple groups}}) とは、[[数学]]において全ての[[単純群#有限単純群|有限単純群]]を4つの大まかなクラスへと分類する定理である。
これらの[[群 (数学)|群]]は、全ての[[有限群]]を構成する基本的な要素として見ることが出来る。
<!--
このことは[[素数]]が[[自然数]]の基本要素であることを思い起こさせる。
[[組成列|ジョルダン・ヘルダーの定理]]は、有限群についてのこの主張をより詳細に述べる。
しかし[[素因数分解]]との印象的な違いは、そのような「基本要素」が群を一意に決める必要が無いということである。
なぜなら同一の[[組成列]]を持つ多くの非[[群同型|同型]]な群が存在するからであり、これは[[群の拡大#拡大問題|拡大問題]]がユニークな解を持たないことを意味する。
-->

この分類定理の証明は、主に1955年から2004年にわたり出版された、100以上の著者により数百の学術誌において書かれた、計'''1万5000ページ以上'''もの成果の集大成である。[[ダニエル・ゴーレンシュタイン]] (d.1992) と{{仮リンク|リチャード・ライアン (数学者)|label=ライアン|en|Richard Lyons (mathematician)}}、{{仮リンク|ロナルド・ソロモン|label=ソロモン|en|Ronald Solomon}}らは、この証明を整理し見通しよく改訂した「第2世代の証明」の出版を開始している。{{Sfn|オーンズ|2015}}
(有限単純群の分類問題のあらすじ解説 <ref>{{cite web
|url  = https://niigata-u.repo.nii.ac.jp/records/33655
|title  = P141 9. 有限単純群の分類問題について 田中康彦（大分大学）構成的ガロア逆問題と不変体の有理性問題（第27回整数論サマースクール報告集）2019年
|date  = 2019-09-06
|accessdate = 2024-07-03
}}</ref>)
==分類定理の主張==
{{Main|en:List of finite simple groups}}
{{math_theorem|分類定理|全ての有限[[単純群]]は以下の群のいずれかと[[群同型|同型]]である:
* 以下3つの無限個クラスの群:
** 素数位数の[[巡回群]] {{mvar|C{{sub|p}}}}
** 次数5以上の[[交代群]] {{mvar|A{{sub|n}}}}
** [[リー群|リー型の単純群]]
* 26の{{仮リンク|散在型単純群|en|sporadic groups}}
* {{仮リンク|ティッツ群|en|Tits group}} {{math|{{sup|2}}''F''{{sub|4}}(2)&prime;}} - リー型の群や27番目の散在型単純群に分けられることもある
}}

分類定理は数学の多くの分野において応用がある。
[[有限群]]（また他の[[数学的対象]]に対するそれらの[[群作用|作用]]）の構造についての疑問は、有限単純群のそれへと簡約することが出来る。
分類定理のお陰で、そのような疑問は単純群や散在群の族をチェックすることで答えることが出来る。

1983年に[[ダニエル・ゴーレンシュタイン]]は有限単純群が完全な分類が成されたと発表した。
しかしこれは{{仮リンク|準薄群|en|quasithin group}}の分類の証明についての錯誤があったため尚早であった。
欠けていた準薄のケースについての1221ページにも及ぶ証明がアシュバッハーとスミスにより出版された後に、
分類定理の証明の完成が {{harvtxt|Aschbacher|2004}} によりアナウンスされた。

== 有限単純群の一覧 ==
以下の表において、nは自然数、pは素数、qは素数の冪を意味する。
{| class="wikitable"
|-
! クラス !! 表記 !! 位数 !! 例外 !! 重複
|-
|素数位数の[[巡回群]]|| C<sub>''p''</sub>, Z<sub>''p''</sub>||''p''|| {{n/a|なし}} || {{n/a|なし}}
|-
|[[交代群]]|| A<sub>''n''</sub><br>(''n'' > 4)
|<math>\frac{n!}{2}</math>
| {{n/a|なし}}
|{{unbulleted list
 | A<sub>5</sub> ≃ ''A''<sub>1</sub>(4) ≃ ''A''<sub>1</sub>(5)
 | A<sub>6</sub> ≃ ''A''<sub>1</sub>(9)
 | A<sub>8</sub> ≃ ''A''<sub>3</sub>(2)
 }}
|-
! colspan="5" |リー型の群
|-
!クラス
!表記
!位数
!例外
!重複
|-
| rowspan="4" | 古典的[[シュヴァレー群]]
|''A''<sub>''n''</sub>(''q'')
|<math>\frac{q^{\frac{1}{2} n(n + 1)}}{(n + 1, q - 1)} \prod_{i=1}^n \left(q^{i+1} - 1\right)</math>
|''A''<sub>1</sub>(2)<ref group="注釈">3次の対称群S<sub>3</sub>と同型。</ref>, ''A''<sub>1</sub>(3)<ref group="注釈">4次の交代群A<sub>4</sub>と同型。</ref>
|{{unbulleted list
 | ''A''<sub>1</sub>(4) ≃ ''A''<sub>1</sub>(5) ≃ A<sub>5</sub>
 | ''A''<sub>1</sub>(7) ≃ ''A''<sub>2</sub>(2)
 | ''A''<sub>1</sub>(9) ≃ A<sub>6</sub>
 | ''A''<sub>3</sub>(2) ≃ A<sub>8</sub>
 }}
|-
|''B''<sub>''n''</sub>(''q'')<br>(''n'' > 1)
|<math>\frac{q^{n^2}}{(2, q - 1)}\prod_{i=1}^n \left(q^{2i} - 1\right)</math>
|''B''<sub>2</sub>(2)<ref group="注釈">6次の対称群S<sub>6</sub>と同型。</ref>
|{{unbulleted list
 | ''B<sub>n</sub>''(2<sup>''m''</sup>) ≃ ''C<sub>n</sub>''(2<sup>''m''</sup>)
 | ''B''<sub>2</sub>(3) ≃ <sup>2</sup>''A''<sub>3</sub>(2<sup>2</sup>)
 }}
|-
|''C''<sub>''n''</sub>(''q'')<br>(''n'' > 2)
|<math>\frac{q^{n^2}}{(2, q - 1)}\prod_{i=1}^n \left(q^{2i} - 1\right)</math>
| {{n/a|なし}}
|''C<sub>n</sub>''(2<sup>''m''</sup>) ≃ ''B<sub>n</sub>''(2<sup>''m''</sup>)
|-
|''D''<sub>''n''</sub>(''q'')<br>(''n'' > 3)
|<math>\frac{q^{n(n - 1)}(q^n - 1)}{(4, q^n - 1)}\prod_{i=1}^{n-1} \left(q^{2i} - 1\right)</math>
| {{n/a|なし}}
| {{n/a|なし}}
|-
| rowspan="5" | 例外的シュヴァレー群
|''E''<sub>6</sub>(''q'')
|<math>\frac{q^{36}}{(3, q - 1)}\prod_{i\in\{2, 5, 6, 8, 9, 12\} } \left(q^i - 1\right)</math>
| {{n/a|なし}}
| {{n/a|なし}}
|-
|''E''<sub>7</sub>(''q'')
|<math>\frac{q^{63}}{(2, q - 1)}\prod_{i\in\{2, 6, 8, 10, 12, 14, 18\} } \left(q^i - 1\right)</math>
| {{n/a|なし}}
| {{n/a|なし}}
|-
|''E''<sub>8</sub>(''q'')
|<math>q^{120} \prod_{i\in\{2, 8, 12, 14, 18, 20, 24, 30\} } \left(q^i - 1\right)</math>
| {{n/a|なし}}
| {{n/a|なし}}
|-
|''F''<sub>4</sub>(''q'')
|<math>q^{24} \prod_{i\in\{2, 6, 8, 12\} } \left(q^i - 1\right)</math>
| {{n/a|なし}}
| {{n/a|なし}}
|-
|''G''<sub>2</sub>(''q'')
|<math>q^6 \prod_{i\in\{2, 6\} } \left(q^i - 1\right)</math>
|''G''<sub>2</sub>(2)<ref group="注釈">スタインバーグ群<sup>2</sup>''A''<sub>2</sub>(9)と同型な指数2の正規部分群を持つ。</ref>
| {{n/a|なし}}
|-
| rowspan="2" | 古典的[[スタインバーグ群]]
|<sup>2</sup>''A''<sub>''n''</sub>(''q''<sup>2</sup>)<br>(''n'' > 1)
|<math>\frac{q^{\frac{1}{2} n(n + 1)}}{(n + 1, q + 1)}\prod_{i=1}^n \left(q^{i+1} - (-1)^{i+1}\right)</math>
|<sup>2</sup>''A''<sub>2</sub>(2<sup>2</sup>)<ref group="注釈">位数8の四元数群Q<sub>8</sub>の、位数9の基本アーベル群C<sub>3</sub>×C<sub>3</sub>による拡大の一つと同型。</ref>
|<sup>2</sup>''A''<sub>3</sub>(2<sup>2</sup>) ≃ ''B''<sub>2</sub>(3)
|-
|<sup>2</sup>''D<sub>n</sub>''(''q''<sup>2</sup>)<br>(''n'' > 3)
|<math>\frac{q^{n(n - 1)}}{(4, q^n + 1)}\left(q^n + 1\right)\prod_{i=1}^{n-1} \left(q^{2i} - 1\right)</math>
| {{n/a|なし}}
| {{n/a|なし}}
|-
| rowspan="2" | 例外的スタインバーグ群
|<sup>2</sup>''E<sub>6</sub>''(''q''<sup>2</sup>)
|<math>\frac{q^{36}}{(3, q + 1)}\prod_{i\in\{2, 5, 6, 8, 9, 12\} } \left(q^i - (-1)^i\right)</math>
| {{n/a|なし}}
| {{n/a|なし}}
|-
|<sup>3</sup>''D<sub>4</sub>''(''q''<sup>3</sup>)
|<math>q^{12}\left(q^8 + q^4 + 1\right)\left(q^6 - 1\right)\left(q^2 - 1\right)</math>
| {{n/a|なし}}
| {{n/a|なし}}
|-
|[[鈴木群]]
|<sup>2</sup>''B''<sub>2</sub>(''q'')<br>''q'' = 2<sup>2''n'' + 1</sup><br>n&ge; 1
|<math>q^2\left(q^2 + 1\right)\left(q - 1\right)</math>
| {{n/a|なし}}
| {{n/a|なし}}
|-
| rowspan="2" |[[李群|リー群]]
|<sup>2</sup>''F''<sub>4</sub>(''q'')<br>''q'' = 2<sup>2''n'' + 1</sup><br>n&ge; 1
|<math>q^{12}\left(q^6 + 1\right)\left(q^4 - 1\right)\left(q^3 + 1\right)\left(q - 1\right)</math>
|<sup>2</sup>''F''<sub>4</sub>(2)<ref group="注釈">ティッツ群<sup>2</sup>''F''<sub>4</sub>(2)'と同型な指数2の正規部分群を持つ。</ref>
| {{n/a|なし}}
|-
|<sup>2</sup>''G''<sub>2</sub>(''q'')<br>''q'' = 3<sup>2''n'' + 1</sup><br>n&ge; 1
|<math>q^3\left(q^3 + 1\right)\left(q - 1\right)</math>
| {{n/a|なし}}
| {{n/a|なし}}
|-
| colspan="5" |
|-
|[[ティッツ群]]<ref group="注釈">李群の系列の例外<sup>2</sup>''F''<sub>4</sub>(2)の正規部分群として得られる群であり、無限系列ではない。</ref>
|<sup>2</sup>''F''<sub>4</sub>(2)'
| colspan="3" |2<sup>12</sup>(2<sup>6</sup> + 1)(2<sup>4</sup> − 1)(2<sup>3</sup> + 1)(2 − 1)/2 = {{val|17971200}}
|-
! colspan="5" |散在型の群
|-
!クラス
!表記
! colspan="3" |位数
|-
| rowspan="5" |[[マシュー群]]
| M<sub>11</sub>
| colspan="3" |{{val|7920}}
|-
| M<sub>12</sub>
| colspan="3" |{{val|95040}}
|-
| M<sub>22</sub>
| colspan="3" |{{val|443520}}
|-
| M<sub>23</sub>
| colspan="3" |{{val|10200960}}
|-
| M<sub>24</sub>
| colspan="3" |{{val|244823040}}
|-
| rowspan="4" |[[ヤンコ群]]
| J<sub>1</sub>
| colspan="3" |{{val|175560}}
|-
| J<sub>2</sub>
| colspan="3" |{{val|604800}}
|-
| J<sub>3</sub>
| colspan="3" |{{val|50232960}}
|-
| J<sub>4</sub>
| colspan="3" |{{val|86775571046077562880}}
|-
| rowspan="3" |[[コンウェイ群]]
| Co<sub>3</sub>
| colspan="3" |{{val|495766656000}}
|-
| Co<sub>2</sub>
| colspan="3" |{{val|42305421312000}}
|-
| Co<sub>1</sub>
| colspan="3" |{{val|4157776806543360000}}
|-
| rowspan="3" |[[フィッシャー群]]
| Fi<sub>22</sub>
| colspan="3" |{{val|64561751654400}}
|-
| Fi<sub>23</sub>
| colspan="3" |{{val|4089470473293004800}}
|-
| Fi<sub>24</sub>'
| colspan="3" |{{val|1255205709190661721292800}}
|-
|[[ヒグマン＝シムズ群]]
| HS
| colspan="3" |{{val|44352000}}
|-
|[[マクラハラン群]]
| McL
| colspan="3" |{{val|898128000}}
|-
|[[ヘルド群]]
| He
| colspan="3" |{{val|4030387200}}
|-
|[[ルドヴァリス群]]
| Ru
| colspan="3" |{{val|145926144000}}
|-
|[[鈴木散在型群|散在型鈴木群]]
| Suz
| colspan="3" |{{val|448345497600}}
|-
|[[オナン群]]
| O'N
| colspan="3" |{{val|460815505920}}
|-
|[[原田＝ノートン群]]
| HN
| colspan="3" |{{val|273030912000000}}
|-
|[[ライオンズ群]]
| Ly
| colspan="3" |{{val|51765179004000000}}
|-
|[[トンプソン群 (有限群)|トンプソン群]]
| Th
| colspan="3" |{{val|90745943887872000}}
|-
|[[ベビーモンスター群]]
| B
| colspan="3" |{{val|4154781481226426191177580544000000}}
|-
|[[モンスター群]]
<small>（フィッシャー＝グリース・モンスター群）</small>
| M
| colspan="3" |{{val|808017424794512875886459904961710757005754368000000000}}
|}

=== 位数の小さな非可換有限単純群の一覧 ===
位数の小さなものから20個を以下に列挙する。<ref>{{Cite web |url=http://www.madore.org/~david/math/simplegroups.html |title=Orders of non abelian simple groups |accessdate=2018-07-19}}</ref>
{| class="wikitable"
!群
!位数
|-
|[[五次の交代群|A<sub>5</sub>]]
|60
|-
|[[PSL(2, 7)|''A''<sub>1</sub>(7)]]
|168
|-
|[[六次の交代群|A<sub>6</sub>]]
|360
|-
|[[PSL(2, 8)|''A''<sub>1</sub>(8)]]
|504
|-
|[[PSL(2, 11)|''A''<sub>1</sub>(11)]]
|660
|-
|[[PSL(2, 13)|''A''<sub>1</sub>(13)]]
|1092
|-
|[[PSL(2, 17)|''A''<sub>1</sub>(17)]]
|2448
|-
|[[七次の交代群|A<sub>7</sub>]]
|2520
|-
|[[PSL(2, 19)|''A''<sub>1</sub>(19)]]
|3420
|-
|[[PSL(2, 16)|''A''<sub>1</sub>(16)]]
|4080
|-
|[[PSL(3, 3)|''A''<sub>2</sub>(3)]]
|5616
|-
|[[PSU(3, 3)|<sup>2</sup>''A''<sub>2</sub>(9)]]
|6048
|-
|[[PSL(2, 23)|''A''<sub>1</sub>(23)]]
|6072
|-
|[[PSL(2, 25)|''A''<sub>1</sub>(25)]]
|7800
|-
|[[マシュー群|M<sub>11</sub>]]
|7920
|-
|[[PSL(2, 27)|''A''<sub>1</sub>(27)]]
|9828
|-
|[[PSL(2, 29)|''A''<sub>1</sub>(29)]]
|12180
|-
|[[PSL(2, 31)|''A''<sub>1</sub>(31)]]
|14880
|-
|[[八次の交代群|A<sub>8</sub>]]
| rowspan="2" |20160
|-
|[[PSL(3, 4)|''A''<sub>2</sub>(4)]]
|}

== 分類定理の概観 ==
{{harvs|txt|last=Gorenstein|year1=1982|year2=1983}} は2巻からなる証明の低{{仮リンク|群の階数|label=階数|en|Rank of a group}}および奇数[[標数]]パートの要点を著し、
{{harvs|txt|
|last1 = Aschbacher
|first1 = Michael
|author1-link = :en:Michael Aschbacher
|last2 = Lyons
|first2 = Richard
|last3 = Smith
|first3 = Stephen D.
|last4 = Solomon
|first4 = Ronald
|title = The Classification of Finite Simple Groups: Groups of Characteristic 2 Type
|url  = http://www.ams.org/bookstore?fn=20&ikey=SURV-172
|series = Mathematical Surveys and Monographs
|isbn = 978-0-8218-5336-8
|year = 2011
|volume = 172
}} は残る標数2のケースを補う第3巻を著した。
この証明は以下の幾つかの主要な部分へと分けることが出来る:

=== 小さな階数2の群 ===
{{節stub}}

=== 成分型の群 ===
{{節stub}}

=== 標数2型の群 ===
{{節stub}}

=== 単純群の存在と一意性 ===
{{節stub}}

== 証明の歴史 ==
=== ゴーレンシュタインの問題 ===
{{節stub}}

=== 証明のタイムライン ===
以下のリストは多くが {{harvtxt|Solomon|2001}} より取られている。
年は一般に結果の完全な証明が成された出版日とする。<ref group="注釈">よって結果の証明や最初のアナウンスより後の年となっている項目もあるが、それは「間違った」順序で現れる。</ref>

{|style="vertical-align:top !important;"
|-
!style="white-space: nowrap;"|出版年
!
|-
|1832
| [[エヴァリスト・ガロア|ガロア]]が[[正規部分群]]を導入し、{{math|A{{sub|''n''}} (''n'' &ge; 5)}} と {{math|PSL{{sub|2}} ('''F'''{{sub|''p''}}) (''p'' ≥ 5)}} が[[単純群]]であることを発見する。
|-
|1854
|[[アーサー・ケイリー|ケイリー]]が[[抽象群]]を定義する。
|-
|1861
|{{仮リンク|エミール・レオナール・マシュー|label=マシュー|en|Émile Léonard Mathieu}}が最初の2つの{{仮リンク|マシュー群|en|Mathieu group}} {{math|''M''{{sub|11}}}} と {{math|''M''{{sub|12}}}} を発見し、また {{math|''M''{{sub|24}}}} の存在も報告している。
|-
|1870
|[[カミーユ・ジョルダン|ジョルダン]]が幾つかの単純群を列挙した: 交代・射影特殊線型群。そして単純群の重要さを強調した。
|-
|1872
|[[ルートヴィヒ・シロー|シロー]]が[[シローの定理]]を証明した。
|-
|1873
|マシューが更に3つのマシュー群 {{math|''M''{{sub|22}}}}, {{math|''M''{{sub|23}}}}, {{math|''M''{{sub|24}}}} を導入した。
|-
|1892
|[[オットー・ヘルダー]]が、任意の非可換有限単純群の位数が少なくとも4つの（互いに異なるとは限らない）素数の積となることを証明した。また有限単純群の分類について問うた。
|-
|1893
|[[フランク・ネルソン・コール|コール]]が位数660までの単純群を分類する。
|-
|1896
|[[フェルディナント・ゲオルク・フロベニウス|フロベニウス]]と[[ウィリアム・バーンサイド|バーンサイド]]が有限群の[[指標理論]]の研究を開始した。
|-
|1899
|バーンサイドが、全ての[[対合]]の[[中心化群と正規化群|中心化群]]が非自明な[[基本アーベル群|基本アーベル2-群]]であるような単純群の分類を行った。
|-
|1901
|フロベニウスが、{{仮リンク|フロベニウス群|en|Frobenius group}}がフロベニウス核を持ち、それ故に単純群でないことを証明した。
|-
|1901
|[[レオナード・E・ディクソン|ディクソン]]が、任意の[[有限体]]上の{{仮リンク|古典群|en|Classical group}}および、標数が奇数の体上の{{math|''G''{{sub|2}}}}型の例外群を定義した。
|-
|1901
|ディクソンが {{math|''E''{{sub|6}}}} 型の例外有限単純群を導入した。
|-
|1904
|バーンサイドが[[指標理論]]を用いて、非可換な有限単純群の位数は少なくとも3つの異なる素数によって割り切れるという[[バーンサイドの定理]]を証明した。
|-
|1905
|ディクソンが偶数標数の体上の{{math|''G''{{sub|2}}}}型の単純群を導入した。
|-
|1911
|バーンサイドが全ての非可換有限単純群は偶数の位数を持つのではないかと推測した。
|-
|1928
|{{仮リンク|フィリップ・ホール|label=ホール|en|Philip Hall}}が、可解群の[[ホール部分群]]の存在を証明した。
|-
|1933
|ホールが[[p-群|{{mvar|p}}-群]]の研究を開始した。
|-
|1935
|{{仮リンク|リチャード・ブラウアー|label=ブラウアー|en|Richard Brauer}}が[[モジュラー表現論|モジュラー指標]]の研究を開始した。
|-
|1936
|{{仮リンク|ハンス・ザッセンハウス|label=ザッセンハウス|en|Hans Zassenhaus}}が有限強3重可移置換群<!-- finite sharply 3-transitive permutation groups -->を分類した。
<!-- 大山 豪『有限置換群 (基礎数学選書 26)』で「sharply t-transitive groups」が「強 t-重可移群」と訳されていたので-->
|-
|1938
|{{仮リンク|ハンス・フィッティング|label=フィッティング|en|Hans Fitting}}が[[フィッティング部分群]]を導入し、可解群において、フィッティング部分群がその中心化群を含んでいるというフィッティングの定理の証明を行った。
|-
|1942
|ブラウアーがある素数の1乗でちょうど割り切れる群のモジュラー指標を記述した。
|-
|1954
|ブラウアーが {{math|GL{{sub|2}} ('''F'''{{sub|''q''}})}} を対合の中心化群としてもつ単純群を分類した。
|-
|1955
|{{仮リンク|ブラウアー・ファウラーの定理|en|Brauer–Fowler theorem}}が与えられた対合の中心化群を持つ有限単純群は有限個であることを示し、このことから対合の中心化群を用いて群の分類を進められることが提案される。
|-
|1955
|[[クロード・シュヴァレー|シュヴァレー]]が{{仮リンク|シュヴァレー群|en|Chevalley groups}}を導入し、{{math|''F''{{sub|4}}}}, {{math|''E''{{sub|7}}}}, {{math|''E''{{sub|8}}}} 型の例外単純群を与えた。
|-
|1956
|{{仮リンク|ホール・ヒグマンの定理|en|Hall–Higman theorem}}
|-
|1957
|[[鈴木通夫]]が、奇数位数の全ての有限単純{{仮リンク|CA群|en|CA group}}は[[巡回群|巡回的]]であることを示した。
|-
|1958
|{{仮リンク|ブラウアー・鈴木・ウォールの定理|en|Brauer–Suzuki–Wall theorem}}がランク1の[[射影線型群|射影特殊線型群]]を特徴付け、単純CA群の分類を行う。
|-
|1959
|{{仮リンク|ロバート・スタインバーグ|label=スタインバーグ|en|Robert Steinberg}}が{{仮リンク|スタインバーグ群 (リー群論)|label=スタインバーグ群|en|Group_of_Lie_type#Steinberg_groups}}を導入し、{{math|{{sup|3}}''D''{{sub|4}}}}, {{math|{{sup|2}}''E''{{sub|6}}}} 型の新しい有限単純群を与えた（後者は[[ジャック・ティッツ]]によっても独立に発見されている）。
|-
|1959
|[[ブラウアー・鈴木の定理]]により、特に[[一般四元数群]]をシロー2部分群にもつ群は単純ではないことが示された。
|-
|1960
|[[ジョン・G・トンプソン|トンプソン]]が、素数位数の固定点のない自己同型をもつ群が[[冪零群|巾零]]であることを証明した。
|-
|1960
|{{仮リンク|ウォルター・ファイト|label=ファイト|en|Walter Feit}}とホールとトンプソンが、全ての奇数位数の有限単純{{仮リンク|CN群|en|CN-group}}が巡回的であることを示した。
|-
|1960
|鈴木が{{仮リンク|鈴木群|en|Suzuki groups}}を導入した、これは {{math|''B''{{sub|2}}}} 型を持つ。
|-
|1961
|{{仮リンク|李林學|en|Rimhak Ree}}<!-- イ・リムハク -->が{{仮リンク|李群|en|Ree group}}を導入した、これは {{math|{{sup|2}}''F''{{sub|4}}}}, {{math|{{sup|2}}''G''{{sub|2}}}} 型を持つ。
|-
|1963
|ファイトとトンプソンが{{仮リンク|ファイト・トンプソンの定理|label=ファイト・トンプソンの定理（奇数位数定理）|en|odd order theorem}}を証明した。
|-
|1964
|ティッツがリー型の群について[[ティッツ系|BN対]]を導入し、{{仮リンク|ティッツ群|en|Tits group}}を発見した。
|-
|1965
|{{仮リンク|ゴーレンシュタイン・ウォルターの定理|en|Gorenstein–Walter theorem}}により2面体シロー2部分群をもつ群が分類される。
|-
|1966
|{{仮リンク|ジョージ・グラウバーマン|label=グラウバーマン|en|George Glauberman}}が{{仮リンク|Z*定理|en|Z* theorem}}を証明する。
|-
|1966
|{{仮リンク|ズボニミール・ヤンコ|label=ヤンコ|en|Zvonimir Janko}}が{{仮リンク|ヤンコ群 J1|en|Janko group J1}}を導入する。これは20世紀になって初めての新しい散在型単純群の発見であった。
|-
|1968
|グラウバーマンが{{仮リンク|ZJ定理|en|ZJ theorem}}を証明する。
|-
|1968
|{{仮リンク|グラハム・ヒグマン|label=ヒグマン|en|Graham Higman}}と{{仮リンク|チャールズ・シムス|label=シムス|en|Charles Sims (mathematician)}}が{{仮リンク|ヒグマン・シムス群|en|Higman–Sims group}}を導入する。
|-
|1968
|[[ジョン・ホートン・コンウェイ|コンウェイ]]が{{仮リンク|コンウェイ群|en|Conway groups}}を導入する。
|-
|1969
|{{仮リンク|ウォルターの定理|en|Walter's theorem}}により、可換シロー2部分群をもつ群が分類される。
|-
|1969
|{{仮リンク|散在型鈴木群|en|Suzuki sporadic group}}・{{仮リンク|ヤンコ群 J2|en|Janko group J2}}・{{仮リンク|ヤンコ群 J3|label=同J3|en|Janko group J3}}・{{仮リンク|マクラハン群|en|McLaughlin group (mathematics)}}・{{仮リンク|ヘルド群|en|Held group}}が導入された。<!-- 『シンメトリーとモンスター』では「McLaughlin」は「マクラハラン」と訳されていた -->
|-
|1969
|ゴーレンシュタインがトンプソンのアイディアに基づき、{{仮リンク|信号関手|en|signalizer functor}}を導入する。
|-
|1970
|MacWilliams が、ランク3の正規可換部分群をもつ2群は多くとも4つの sectional 2ランクを持つことを示した。（後者の条件を満たすシロー部分群をもつ単純群は、後にゴーレンシュタインと[[原田耕一郎]]により分類される）
|-
|1970
|{{仮リンク|ヘルムート・ベンダー|de|Helmut Bender}}が{{仮リンク|一般化フィッティング部分群|en|generalized Fitting subgroup}}を導入する。
|-
|1970
|{{仮リンク|アルペリン・ブラウアー・ゴーレンシュタインの定理|en|Alperin–Brauer–Gorenstein theorem}}により、準2面体や wreathed なシロー2部分群をもつ群が分類される。これにより、最大でもランク2の単純群の分類が完成する。
|-
|1971
|{{仮リンク|ベルント・フィッシャー|label=フィッシャー|en|Bernd Fischer (mathematician)}}が{{仮リンク|フィッシャー群|en|Fischer groups}}を導入する。
|-
|1971
|トンプソンが{{仮リンク|2次対|label=2次対 ?|en|quadratic pair}}を導入する。
|-
|1971
|ベンダーが{{仮リンク|強く埋め込まれた部分群|en|strongly embedded subgroup}}をもつ群を分類する。
|-
|1972
|ゴーレンシュタインが有限単純群を分類するための16ステップのプログラムを提案する。最終的に得られた分類も、このアウトラインにとてもよく沿っている。
|-
|1972
|{{仮リンク|リチャード・ライアン (数学者)|label=ライアン|en|Richard Lyons (mathematician)}}が{{仮リンク|ライアン群|en|Lyons group}}を導入する。
|-
|1973
|{{仮リンク|アルナス・ラドヴァリス|label=ラドヴァリス|en|Arunas Rudvalis}}が{{仮リンク|ラドヴァリス群|en|Rudvalis group}}を導入する。
|-
|1973
|フィッシャーが{{仮リンク|ベビーモンスター群|en|baby monster group}}を発見する（未出版）。これはフィッシャーと{{仮リンク|ロバート・グライス|label=グライス|en|Robert Griess}}が[[モンスター群]]を発見するために用いたものである。またモンスター群は、トンプソンを{{仮リンク|トンプソン散在群|en|Thompson sporadic group}}へと、そして{{仮リンク|サイモン・P・ノートン|label=ノートン|en|Simon P. Norton}}を{{仮リンク|原田・ノートン群|en|Harada–Norton group}}へと（ただしこれは原田により異なる手法で既に発見されていた）導いた。
|-
|1974
|トンプソンが{{仮リンク|N群|en|N-group (finite group theory)}}（可解な局所部分群をもつ群）を分類する。
|-
|1974
|{{仮リンク|ゴーレンシュタイン・原田の定理|en|Gorenstein–Harada theorem}}により、sectional 2-rank at most 4 の単純群が分類された。その結果、残る有限単純群は成分型か指標2型の群へと分類される。
|-
|1974
|ティッツが、最低でもランク3の[[ティッツ系|BN対]]をもつ群がリー型の群であることを示す。
|-
|1974
|アシュバッハーが {{En|proper [[:en:2-generated core|2-generated core]]}} をもつ群を分類した。
|-
|1975
|ゴーレンシュタインとウォルターが [[:en:L-balance theorem|L-balance theorem]] を証明する。
|-
|1976
|グラウバーマンが可解な信号関手定理を証明する。
|-
|1976
|アシュバッハーが {{En|[[:en:component theorem|component theorem]]}} を証明する。これは大ざっぱに言うと、幾つかの条件を満たす奇数型の群が標準形において成分を持つと言うことを示している。標準形の成分をもつ群は、多くの著者による論文の巨大なコレクションにおいて分類が成されている。
|-
|1976
|{{仮リンク|マイケル・オナン|label=オナン|en|Michael O'Nan}}が{{仮リンク|オナン群|en|O'Nan group}}を導入する。
|-
|1976
|ヤンコが{{仮リンク|ヤンコ群 J4|en|Janko group J4}}を導入する。これが最後に発見された散在型単純群である。
|-
|1977
|アシュバッハーが奇数標数をもつリー型の群を、彼の{{仮リンク|古典対合定理|en|classical involution theorem}}を基に特徴付ける。単純群の「ほとんど」を扱うこの定理により、分類の終わりが間近に迫ってきたと広く感じられるようになった。
|-
|1978
|[[:de:Franz Georg Timmesfeld|Timmesfeld]]が {{math|O{{sub|2}}}} extra-special 定理を証明した。このことで、{{仮リンク|GF(2)型の群|label={{math|GF(2)}} 型の群|en|groups of GF(2)-type}}の分類が、幾つかの小さな問題へと分割された。
|-
|1978
|アシュバッハーが{{仮リンク|薄い群|en|Thin group (finite group theory)}}、すなわち偶数標数の体上のリー型のランク1の群を分類した。
|-
|1981
|[[エンリコ・ボンビエリ|ボンビエリ]]が{{仮リンク|消去定理|en|elimination theory}}を用いて李群の特徴付けにおけるトンプソンの仕事を完成させた。これは分類における最も困難なステップの一つであった。
|-
|1982
|Patrick P. McBride がすべての有限群について信号関手定理を証明した。
|-
|1982
|グライスが手作業により[[モンスター群]]を構成した。
|-
|1983
|{{仮リンク|ギルマン・グライスの定理|en|Gilman–Griess theorem}}により、標数2型かつ標準成分をもつ少なくともランク4の群が、{{仮リンク|3分法定理|en|trichotomy theorem}}の3つのケースのどれか一つに分類される。
|-
|1983
|アシュバッハーが {{En|[[:en:uniqueness case|uniqueness case]]}} の仮説を満足する有限群が存在しないことを証明した。{{En|uniqueness case}} とは、標数2型の群についての3分法定理が与える3つのケースの内の1つである、
|-
|1983
|ゴーレンシュタインとライアンが、標数2型かつ少なくともランク4の群について3分法定理を証明する。一方アシュバッハーはランク3の群について証明した。
このことでこれらの群は、3つの小ケースに分割された：すなわち、{{En|uniqueness case}}・{{math|GF(2)}} 型の群・標準成分をもつ群である。
|-
|1983
|ゴーレンシュタインが、分類の証明が完了したとアナウンスした。しかし{{仮リンク|準薄群|label=準薄|en|quasithin group}}ケースの証明が不完全であったため、これは尚早であった。
|-
|1994
|ゴーレンシュタイン、ライアン、{{仮リンク|ロナルド・ソロモン|label=ソロモン|en|Ronald Solomon}}が、改訂された分類の出版を開始した。
|-
|2004
|アシュバッハーと{{仮リンク|ステファン・D・スミス|label=スミス|de|Stephen D. Smith}}が準薄群（すなわち偶数標数の体上の多くともランク2のリー型の群）について彼らの仕事を出版し、この時点で知られている分類の最後のギャップが埋められた。
|-
|2008
|原田とソロモンが{{仮リンク|マシュー群 M22|label=マシュー群 {{math|M{{sub|22}}}}|en|Mathieu group M22}} をカバーする、標準成分をもつ群についての分類の小さなギャップを埋めた。これは {{math|M{{sub|22}}}} の{{仮リンク|シューア乗数|en|Schur multiplier}}についての計算において、誤って証明に欠落が生じていたためである。<!-- 「Schur multiplier」は『有限群の表現 (数学選書 8)』p.409では「乗法因子群」と訳されている -->
|-
|2012
|{{仮リンク|ジョルジュ・ゴンティエ|en|Georges Gonthier}}とその共同研究者達が、証明支援言語[[Coq]]を用いたファイト・トンプソンの定理の機械的チェックの成功をアナウンスした。<ref>{{cite web
|url  = http://www.msr-inria.fr/news/feit-thomson-proved-in-coq/
|title  = Feit-Thompson theorem has been totally checked in Coq
|publisher = Msr-inria.inria.fr
|date  = 2012-09-20
|accessdate = 2012-09-25
}}</ref>
|}

== 第2世代の分類 ==
{{節stub}}

=== 何故この証明はこんなにも長いのか？ ===

ゴーレンシュタインは、なぜ分類の証明が[[コンパクト群#コンパクトリー群|コンパクトリー群]]の分類のように短くならないのかについて、幾つかの理由を議論している。

* 最も明らかな理由は、単純群の一覧が完全に複雑だからである：すなわち、26の散在型単純群についてのように、どんな証明にも多くの特別なケースを考慮に入れなくてはならない。そのため、[[ディンキン図形]]を用いたコンパクトリー群のパラメーター化に似た、有限単純群のスッキリとした規則的な説明を誰も発見できていない。
* [[マイケル・アティヤ|アティヤ]]などは、この分類は、幾何学的対象上の群の作用を構築し、それらの幾何学的構造を分類することにより単純化されるだろうと提案している。この問題は、単純群と関連するような幾何学的構造を発見するための簡単な方法を、誰も与えられるようにはなっていないということである。[[ティッツ系|BN対]]のような幾何学的構造を発見することによりこの分類は機能する。しかしそれが叶うのは、有限単純群の構造のとても長く困難な解析の果てになるだろう。
* 証明の簡略化ため、[[群の表現論]]をより一層利用しようという提案もある。しかし表現論は、群の部分群についてとてもタイトなコントロールを必要とすると言う問題がある。低い階数の群については、そのようなコントロールと表現論はとてもよく働く。しかし高い階数をもつ群については、表現論を用いて分類を単純化することには誰も成功しない。分類作業の初期においては、表現論を用いた努力も相当なされた。しかし高い階数においては、その試みは決して成功しなかった。

== 分類の結論 ==
この説では、有限単純群の分類を用いて証明された結果を並べる。

* {{仮リンク|シュライエル予想|en|Schreier conjecture}}
* {{仮リンク|信号関手定理|en|Signalizer functor theorem}}
* {{仮リンク|B予想|en|B conjecture}}
* 全ての群に関する{{仮リンク|シューア・ザッセンハウスの定理|en|Schur–Zassenhaus theorem}}（これはファイト・トンプソンの定理のみを用いて）
* 1より多くの元をもつ有限集合上の可移置換群が、素数位数の固定点自由な元を持つこと。
* {{仮リンク|多重可移性|label=2重可移置換群|en|multiple transitivity}}の分類
* {{仮リンク|階数3置換群|en|rank 3 permutation group}}の分類
* [[シムス予想]] ({{En|Sims conjecture}})
* {{math|''x''{{sup|''n''}}{{=}}1}} の解の個数における{{仮リンク|フロベニウス予想|en|Frobenius's theorem (group theory)}}

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
=== 注釈 ===
{{Notelist}}
=== 出典 ===
{{Reflist}}

== 参考文献 ==
* {{cite news
| first = Michael
| last = Aschbacher
| authorlink = :en:Michael Aschbacher
| year = 2004
| url = http://www.ams.org/notices/200407/fea-aschbacher.pdf
| title = The Status of the Classification of the Finite Simple Groups
| journal = [[Notices of the American Mathematical Society]]
| volume = 51
| issue = 7
| pages = 736–740
| ref=harv
}}
*{{Citation
| last1=Aschbacher
| first1=Michael
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| last2=Lyons
| first2=Richard
| last3=Smith
| first3=Stephen D.
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| title=The Classification of Finite Simple Groups: Groups of Characteristic 2 Type
| url=http://www.ams.org/bookstore?fn=20&ikey=SURV-172
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| isbn=978-0-8218-5336-8
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| first1=John Horton
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| last3=Norton
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| last4=Parker
| first4=Richard A
| authorlink4= :en:Richard A. Parker
| last5=Wilson
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| authorlink5= :en:Robert Arnott Wilson
| title=[[:en:ATLAS of Finite Groups|Atlas of Finite Groups]]: Maximal Subgroups and Ordinary Characters for Simple Groups
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*{{Citation
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==関連項目==
* [[:en:O'Nan–Scott theorem]]

== 外部リンク ==
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* {{citation|和書| doi= 10.11429/sugaku1947.53.46 | url= https://doi.org/10.11429/sugaku1947.53.46 | title= 有限群論の成果と課題 | last= 原田 | first= 耕一郎 | journal= 数学 | volume=
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* [http://brauer.maths.qmul.ac.uk/Atlas/v3/ ATLAS of Finite Group Representations.] - 多くの有限単純群について、[[群の表現]]などの情報を集めた、検索可能なデータベース
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* http://mathoverflow.net/questions/180355/in-what-sense-is-the-classification-of-all-finite-groups-impossible

{{DEFAULTSORT:ゆうけんたんしゆんくんのふんるい}}
[[Category:群論]]
<!-- [[Category:散在群|*]] -->
[[Category:有限群]]
[[Category:代数学の定理]]
[[Category:2004年の科学]]
[[Category:数学史]]
[[Category:数学に関する記事]]