有限変形理論のソースを表示

[[連続体力学]]において、'''有限変形理論'''（ゆうげんへんけいりろん、finite strain theory）は、物体（連続体）のひずみや回転が[[無限小ひずみ理論]]における前提では通用しないような [[変形（力学）|deformations]]である場合を扱う。本理論の対象となるような状態においては、連続体の状態は、変形の前後で大きく異なるので、変形前後を明確に区別する必要がある。対象としては、[[エラストマー]]、[[塑性（物理）|塑性変形]]材料などの[[流体]]、[[生物学]]で見られるような[[軟組織]]ケースである。有限変形理論は、[[物体]]の変形の理論の一つで、[[微小変形理論]]と並立する<ref>{{Cite web|和書|url=http://www.meshman.jp/seminar/10text.pdf|title=1章 非線形解析における応力と歪|author=Insight|accessdate=2022-09-06}}</ref>。微小変形理論と比較して、現実の現象をより忠実に再現しようとする理論である。この理論を用いて行われるモデル化が[[大変形解析]]であり、地盤沈下の解析にこの理論を用いる場合、沈下量が大きくなるほど微小変形理論を用いた場合との差異が大きくなる<ref>{{Cite web|和書|url=https://www.geolab.jp/column/2005/09/flac-006.php|title=有限差分法コードFLAC　第６回　～大変形解析（その１）～|author=中川光雄|date=2005-09|website=GEOSCIENCE RESEARCH LABORATORY|accessdate=2022-09-06}}</ref>。

==変形 (Displacement)==
[[File:Displacement of a continuum.svg|upright=1.35|thumb|Figure 1. 連続体の運動]]

物体の変位は、剛体変位と変形の2つの要素から構成される。
* 剛体変位は、形状や大きさを変えずに、[[並進（物理）]]や回転を組み合わせた変位である。
* 変形は、初期状態（変形していない状態;<math>\kappa_0(\mathcal B)</math>)から現在の状態（変形した状態; <math>\kappa_t(\mathcal B)</math>）へ形状や大きさが変化することを意味する（Figure 1）。

連続体の配置の変化は [[変位場 (力学) | 変位場]] によって記述することができる。[[変位場]]とは、物体中のすべての粒子の変位ベクトルを集めた[[ベクトル場]]であり、変形後の配置と変形前の配置を関連づける。任意の2つの粒子間の距離は、変形が起こった場合にのみ変化する。変形を伴わない変位は剛体変位と呼ばれる。

===物質座標（ラグランジュ表記）===
変数{{mvar|j}}でラベルされた粒子の変位は次のように表すことができる；
変形前の配置<math>P_j</math>と変形後の配置<math>p_j</math>における粒子の位置を結ぶベクトルを[[変位（ベクトル）|displacement vector]]と呼ぶことにする。

<math>P_j</math>の代わりに<math>\mathbf{X}</math>を、<math>p_j</math>の代わりに<math>\mathbf{x}</math>を、いずれも座標系の原点から各点までのベクトルとして用いると、変位ベクトルの[[連続体力学#ラグランジェ記述|ラグランジュ記述]]となる。即ち、

<math display="block">\mathbf u(\mathbf X,t) = u_i \mathbf e_i</math>

ここで、<math>\mathbf e_i</math>は、空間座標系(lab-frame)をなす正規直交基底である。

物質座標で表すと（<math>\mathbf u</math> を、<math>\mathbf X</math>の関数として表すと）、変位場は次のようになる；

<math display="block">\mathbf u(\mathbf X, t) = \mathbf b(t)+\mathbf x(\mathbf X,t) - \mathbf X \qquad \text{or}\qquad u_i = \alpha_{iJ} b_J + x_i - \alpha_{iJ} X_J</math>

ここで、<math>\mathbf b(t)</math>は剛体の並進を表す変位ベクトルである。

変位ベクトルの物質座標に対する[[偏微分]]から物質変形勾配テンソル（''material displacement gradient tensor''）<math>\nabla_{\mathbf X} \mathbf u\,\!</math>、以下のように求まる;
<math display="block">
\nabla_{\mathbf X}\mathbf u = \nabla_{\mathbf X}\mathbf x - \mathbf R = \mathbf F - \mathbf R \qquad \text{or} \qquad \frac{\partial u_i}{\partial X_K} = \frac{\partial x_i}{\partial X_K} - \alpha_{iK} = F_{iK} - \alpha_{iK}</math>

ここで<math>F</math>は変形勾配テンソル（deformation gradient tensor）である。

===空間座標（オイラー表記）===
オイラー表記の連続体力学において、変形前の配置にある粒子<math>P</math>から変形後の配置の位置まで伸びるベクトルを変位ベクトル（displacement vector)と呼ぶ;

<math display="block">\mathbf U(\mathbf x,t) = U_J\mathbf E_J</math>

ここで、<math><\mathbf E_i></math>は物質座標系（ボディフレーム）の基底を定める単位ベクトルの組である。

空間座標で表現すると（つまり、<math>\mathbf U</math> を <math>\mathbf x</math>の関数として）変位場は次のようになる;

<math display="block">\mathbf U(\mathbf x, t) = \mathbf b(t) + \mathbf x - \mathbf X(\mathbf x,t) \qquad \text{or}\qquad U_J = b_J + \alpha_{Ji} x_i - X_J</math>

変位ベクトルを空間座標に関して偏微分すると、''空間変位勾配テンソル''<math>\nabla_{\mathbf x} \mathbf U\,\!</math>が得られる。 

このようにして我々は、以下を得る。
<math display="block">
\nabla_{\mathbf x}\mathbf U = \mathbf R^{T} - \nabla_{\mathbf x}\mathbf X = \mathbf R^{T} -\mathbf F^{-1} \qquad \text{or} \qquad \frac{\partial U_J}{\partial x_k} = \alpha_{Jk} - \frac{\partial X_J}{\partial x_k} = \alpha_{Jk} - F^{-1}_{Jk} \,.</math>

===物質座標系と空間座標系の関係===
<math>\alpha_{Ji}</math> は物質座標系の単位ベクトル<math>\mathbf E_J</math>と
空間座標系の単位ベクトル<math>\mathbf e_i\,\!</math>の間の方向余弦である。即ち、

<math display="block">\mathbf E_J \cdot \mathbf e_i = \alpha_{Ji} = \alpha_{iJ} </math>

<math>u_i</math> と <math>U_J</math> の関係は以下で与えられる。

<math display="block">u_i=\alpha_{iJ}U_J \qquad \text{or} \qquad U_J=\alpha_{Ji} u_i</math>

以下を踏まえると、
<math display="block">\mathbf e_i = \alpha_{iJ} \mathbf E_J</math>
以下を得る。
<math display="block">\mathbf u(\mathbf X, t) = u_i\mathbf e_i = u_i(\alpha_{iJ}\mathbf E_J) = U_J \mathbf E_J = \mathbf U(\mathbf x, t)</math>

===変形した座標系と未変形の座標系を組み合わせる===
変形と未変形の座標系を重ね合わせるのが一般的で、その結果<math>\mathbf b = 0\,\!</math> となり、方向余弦は[[クロネッカーのデルタ]]となる、すなわち、
<math display="block">\mathbf E_J \cdot \mathbf e_i = \delta_{Ji} = \delta_{iJ}</math>

したがって、物質座標（変形していない）では、変位は次のように表すことができる：
<math display="block">\mathbf E_J \cdot \mathbf e_i = \delta_{Ji} = \delta_{iJ}</math>

また、空間座標（変形している）では、変位は次のように表すことができる：
<math display="block">\mathbf U(\mathbf x, t) = \mathbf x - \mathbf X(\mathbf x,t) \qquad \text{or}\qquad U_J = \delta_{Ji} x_i - X_J </math>

==変形勾配テンソル (Deformation gradient tensor)==
[[File:Deformation.png|upright=1.4|thumb|Figure 2. Deformation of a continuum body.]]

変形勾配テンソルは以下の式で表される。
<math display="block">\mathbf F(\mathbf X,t) = F_{jK} \mathbf e_j \otimes \mathbf I_K</math> 
これは、基準の配置(configuration)と現在の配置の両方の単位ベクトル
（<math>\mathbf e_j</math>、<math>\mathbf I_K\,\!</math>）を含むことからもわかるように、この両方に関連している。
従って、''[[two-point tensor]]''である。

<math>\chi(\mathbf X,t)\,\!</math>に対する連続性の仮定により、<math>\mathbf F</math>は、逆関数、即ち<math>\mathbf H = \mathbf F^{-1}\,\!</math>を持つ。この<math>\mathbf H</math>は '' 空間変形勾配テンソル(spatial deformation gradient tensor)'' である。ここで、[[陰関数定理]]
<ref name=Lubliner2008>{{cite book
 |last = Lubliner
 |first = Jacob
 |title = Plasticity Theory
 |publisher = Dover Publications
 |year = 2008
 |url = http://www.ce.berkeley.edu/~coby/plas/pdf/book.pdf
 |isbn = 978-0-486-46290-5
 |url-status = dead
 |archive-url = https://web.archive.org/web/20100331022415/http://www.ce.berkeley.edu/~coby/plas/pdf/book.pdf
 |archive-date = 2010-03-31
|edition = Revised
 }}</ref>よれば、[[ヤコビアン]]（即ち、
<math>|J(\mathbf X,t)|</math>） は[[非退化]](即ち、<math>|J(\mathbf X,t)| = \det \mathbf F(\mathbf X,t) \neq 0</math>）とならねばならない。

''物質変形勾配テンソル''(Material deformation gradient tensor) <math>\mathbf F(\mathbf X,t) = F_{jK} \mathbf e_j\otimes\mathbf I_K</math>は、２階テンソルであり、マッピング関数(mapping function) 
<math>\chi(\mathbf X,t)\,\!</math>の勾配を表す。これは、連続体の運動を記述するものである。
物質変形勾配テンソルは、ある位置ベクトル<math>\mathbf X\,\!</math>で指示された物質上の点の近傍の局所的な変形を特徴付ける。
即ち、マッピング関数<math>\chi(\mathbf X,t)\,\!</math>に連続性を仮定して、その点から発せられる物質線要素を基準配置から現在の配置または変形後の配置に変換（[[線形変換]]）することによって、隣接する点での変形を行う。<math> \mathbf {X} </math> and time <math>t\,\!</math>と時間<math>t\,\!</math>について微分可能性を仮定するが、これは、変形中に亀裂や空隙が開閉しないことを意味する。

このようにして、我々は以下を得る。
<math display="block"> \begin{align}
    d\mathbf{x} &= \frac {\partial \mathbf{x}} {\partial \mathbf {X}}\,d\mathbf{X}
                  \qquad &\text{or}& \qquad
    dx_j =\frac{\partial x_j}{\partial X_K}\,dX_K \\
                &= \nabla \chi(\mathbf X,t) \,d\mathbf{X}
                  \qquad &\text{or}& \qquad
    dx_j =F_{jK}\,dX_K \,. \\
    & = \mathbf F(\mathbf X,t) \,d\mathbf{X}
\end{align}</math>

===相対変位ベクトル===
変形していない構成（図2）において、位置ベクトル<math>\mathbf X = X_I \mathbf I_I</math>を持つ粒子または物質点<math>P</math>を考える。本体の変位後、新しい構成における<math>p</math>で示される粒子の新しい位置は、位置ベクトル<math>\mathbf{x} = x_i \mathbf e_i\,\!</math>で与えられる。このように、変形していない構成と変形した構成の座標系は、便宜上重ね合わせることができる。

ここで、<math>P\,\!</math>に隣接する<math>Q </math>という物質点を考える。Qのいちベクトルは、以下の通り。
<math>\mathbf{X}+ \Delta \mathbf{X} = (X_I+\Delta X_I) \mathbf I_I\,\!</math>. 

変形された構成では、この粒子は、位置ベクトル
<math>\mathbf{x}+ \Delta \mathbf{x}\,\!</math>
によって与えられる新しい位置<math>q</math>を持つ。変形していない状態でも変形した状態でも、粒子<math>P</math>と<math>Q</math>を結ぶ線分<math>\Delta X</math>と<math>\Delta \mathbf x</math>はそれぞれ非常に小さいと仮定すると、<math>d\mathbf X</math>と<math>d\mathbf x\,\!</math>と表すことができる。したがって、図2から、以下を得る。
<math display="block">\begin{align}
\mathbf{x}+ d\mathbf{x}&= \mathbf{X}+d\mathbf{X}+\mathbf{u}(\mathbf{X}+d\mathbf{X}) \\
d\mathbf{x} &= \mathbf{X}-\mathbf{x}+d\mathbf{X}+ \mathbf{u}(\mathbf{X}+d\mathbf{X}) \\
 &= d\mathbf{X}+\mathbf{u}(\mathbf{X}+d\mathbf{X})- \mathbf{u}(\mathbf{X}) \\
 &= d\mathbf{X}+d\mathbf{u} \\
\end{align}</math>

ここで、<math>\mathbf {du}</math>は'''相対変位ベクトル'''であり、変形された構成における<math>P</math>に対する<math>Q</math>の相対変位を表す。

====テイラー近似====
無限小要素<math>d\mathbf X\,\!</math>に対して、変位場に連続性を仮定すると、高次の項を無視して点<math>P\,\!</math>の周りの[[テイラー展開]]を用いて、隣接粒子<math>Q</math>の相対変位ベクトルの成分を次のように近似することができる。

<math display="block">\begin{align}
\mathbf{u}(\mathbf{X}+d\mathbf{X})&=\mathbf{u}(\mathbf{X})+d\mathbf{u} \quad & \text{or} & \quad u_i^* = u_i+du_i \\
&\approx \mathbf{u}(\mathbf{X})+\nabla_{\mathbf X}\mathbf u\cdot d\mathbf X \quad & \text{or} & \quad u_i^* \approx u_i + \frac{\partial u_i}{\partial X_J}dX_J \,.
\end{align}</math>

従って、前述の方程式<math>d\mathbf x = d\mathbf{X} + d\mathbf{u}</math>は次のように書ける。
<math display="block">\begin{align}
d\mathbf x&=d\mathbf X+d\mathbf u \\
&=d\mathbf X+\nabla_{\mathbf X}\mathbf u\cdot d\mathbf X\\
&=\left(\mathbf I + \nabla_{\mathbf X}\mathbf u\right)d\mathbf X\\
&=\mathbf F d\mathbf X
\end{align}</math>

===変形勾配の時間微分 (Time-derivative of the deformation gradient)===
物体の時間依存変形を含む計算では，変形勾配の時間微分を計算する必要がある場合が多い． このような微分を幾何学的に矛盾なく定義するには[[微分幾何学]]に踏み込む必要があるが，この記事ではそのような問題を避ける<ref name=Yavari>A. Yavari, J.E. Marsden, and M. Ortiz, [https://authors.library.caltech.edu/4639/1/YAVjmp06.pdf On spatial and material covariant balance laws in elasticity], Journal of Mathematical Physics, 47, 2006, 042903; pp. 1–53.</ref>．

<math>\mathbf{F}</math>の時間微分は次のようになる。
<math display="block"> \dot{\mathbf{F}} = \frac{\partial \mathbf{F}}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t} \left[\frac{\partial \mathbf{x}(\mathbf{X}, t)}{\partial \mathbf{X}}\right] = \frac{\partial}{\partial \mathbf{X}}\left[\frac{\partial \mathbf{x}(\mathbf{X}, t)}{\partial t}\right] = \frac{\partial}{\partial \mathbf{X}}\left[\mathbf{V}(\mathbf{X}, t)\right] </math>

ここで、<math>mathbf{V}</math>は（物質）速度である。 右辺の導関数は'''物質速度勾配'''を表している。微分の連鎖律を適用して空間勾配に変換するのが一般的である、即ち、
<math display="block">
  \dot{\mathbf{F}} =
  \frac{\partial}{\partial \mathbf{X}}\left[\mathbf{V}(\mathbf{X}, t)\right] =
  \frac{\partial}{\partial \mathbf{X}}\left[\mathbf{v}(\mathbf{x}(\mathbf{X}, t),t)\right] =
  \left.\frac{\partial}{\partial \mathbf{x}}\left[\mathbf{v}(\mathbf{x},t)\right]\right|_{\mathbf{x} = \mathbf{x}(\mathbf{X}, t)} \cdot
    \frac{\partial \mathbf{x}(\mathbf{X}, t)}{\partial \mathbf{X}}
   = \boldsymbol{l}\cdot\mathbf{F}
 </math>

ここで、 <math>\boldsymbol{l}</math>は'''空間速度勾配('spatial velocity gradient)'' であり、<math>\mathbf{v}(\mathbf{x},t) = \mathbf{V}(\mathbf{X},t)</math> は、<math>\mathbf{x} = \mathbf{x}(\mathbf{X}, t)</math>における空間（オイラー）速度である。
空間的な速度勾配が時間的に一定であれば、上式を正確に解くと次のようになる;
<math display="block"> \mathbf{F} = e^{\boldsymbol{l}\, t} </math>
assuming <math>\mathbf{F} = \mathbf{1}</math> at <math>t = 0</math>.  
上記の行列の指数を計算する方法はいくつかある。

連続体力学でよく使われる関連量として、'''変形率テンソル'''と'''スピンテンソル'''があり、それぞれ次のように定義される：
<math display="block">
  \boldsymbol{d} = \tfrac{1}{2} \left(\boldsymbol{l} + \boldsymbol{l}^T\right) \,,~~
  \boldsymbol{w} = \tfrac{1}{2} \left(\boldsymbol{l} - \boldsymbol{l}^T\right) \,.
 </math>
変形率テンソルは線要素の伸び率を与え、スピンテンソルは運動の回転率または[[渦度]]を示す。

有限ひずみを含む解析では、変形勾配の逆数の材料時間微分（基準形状を固定したまま）が必要になることがよくある。 この微分は<math display="block"> \frac{\partial}{\partial t} \left(\mathbf{F}^{-1}\right) = - \mathbf{F}^{-1} \cdot \dot{\mathbf{F}} \cdot \mathbf{F}^{-1} \,. </math>

<math>\mathbf{F}^{-1} \cdot d\mathbf{x} = d\mathbf{X}</math> and noting that <math>\dot{\mathbf{X}} = 0</math>
の物質的時間微分を取ることによって、上記の関係を検証することができる。

==面要素と体積要素の変形==
変形された構成における面積に対して定義される量を、基準構成における面積に対する量に変換するため、あるいはその逆の変換も同様に行うため、
<math display="block"> da~\mathbf{n} = J~dA ~\mathbf{F}^{-T} \cdot \mathbf{N} </math> 
として表されるNansonの関係を使用する。ここで、<math>da</math>は変形配置における領域の面積であり、<math>dA</math>は参照配置における同じ領域の面積である。<math>\mathbf{n}</math>は現構成における領域要素の外向き法線であり、<math>\mathbf{N}</math>は参照構成における外向き法線、<math>\mathbf{F}</math>は[[変形勾配]]であり、また<math>J = \det\mathbf{F}\,\!</math>である。

体積要素の変換に対応する式は次の通りである。
<math display="block"> dv = J~dV </math>

===Nanson's relationの関係式の証明===
see also <ref>{{cite book|last3 = Owens | author1 = Eduardo de Souza Neto | author2 = Djordje Peric | first3 = David | title=Computational methods for plasticity : theory and applications |date=2008 |publisher=Wiley |location=Chichester, West Sussex, UK |isbn=978-0-470-69452-7 |page=65}}</ref>

この式がどのように導き出されるかを見るために、まず、基準コンフィギュレーションと現在のコンフィギュレーションにおける向き付けられた面積要素から始める：
<math display="block"> d\mathbf{A} = dA~\mathbf{N} ~;~~ d\mathbf{a} = da~\mathbf{n} </math>
要素の基準体積と現在の体積は次のとおりである。
<math display="block"> dV = d\mathbf{A}^{T}\cdot d\mathbf{L} ~;~~ dv = d\mathbf{a}^{T} \cdot d\mathbf{l} </math>
ここで、<math>d\mathbf{l} = \mathbf{F}\cdot d\mathbf{L}\,\!</math>.

従って、
<math display="block"> d\mathbf{a}^{T} \cdot d\mathbf{l}= dv = J~dV = J~d\mathbf{A}^{T}\cdot d\mathbf{L}
</math>
or,
<math display="block">d\mathbf{a}^{T} \cdot \mathbf{F}\cdot d\mathbf{L} = dv = J~dV = J~d\mathbf{A}^{T} \cdot d\mathbf{L}</math>
従って,
<math display="block"> d\mathbf{a}^{T} \cdot \mathbf{F} = J~d\mathbf{A}^{T}</math>
以上より、以下を得る
<math display="block"> d\mathbf{a} = J~\mathbf{F}^{-T} \cdot d\mathbf{A} </math>
or,
<math display="block"> da~\mathbf{n} = J~dA~\mathbf{F}^{-T} \cdot \mathbf{N}</math>

==変形勾配テンソルの極分解==
変形勾配テンソルの極分解（Polar decomposition of the deformation gradient tensor)に付いて説明する。
[[File:Polar decomposition of F.png|upright=1.4|thumb|Figure 3. 変形勾配の極性分解（Representation of the polar decomposition of the deformation gradient）]]

変形勾配 <math>\mathbf{F}\,\!</math>は、他の可逆2次テンソルと同様に、極性分解定理(polar decomposition theorem)を用いて2つの2次テンソルの積に分解できる (Truesdell and Noll, 1965): 即ち、<math display="block"> \mathbf{F} = \mathbf{R} \mathbf{U} = \mathbf{V} \mathbf{R}</math>
となる。ここで、 <math>\mathbf{R}</math> は [[proper orthogonal tensor]]である。
即ち
<math>\mathbf R^{-1} = \mathbf R^T</math> 及び <math>\det \mathbf R = +1\,\!</math>, を満たし、回転を表す; 

テンソル <math>\mathbf{U}</math> は ''right stretch tensor''である; 

そして、テンソル <math>\mathbf{V}</math> は ''left stretch tensor''である。ここで、''右''と''左''という用語は、それぞれ、回転テンソル<math>\mathbf{R}\,\!</math>の右と左にあるという意味である。 

<math>\mathbf{U}</math> と <math>\mathbf{V}</math> は、ともに [[positive-definite matrix|positive definite]]である。 即ち、

* <math>\mathbf x \cdot \mathbf U \cdot \mathbf x > 0 </math>,
* <math>\mathbf x\cdot\mathbf V \cdot \mathbf x > 0 </math> (for all non-zero <math>\mathbf x \in \R^3</math>) , で
* [[symmetric tensor]]s, 即ち <math>\mathbf U = \mathbf U^T</math> and <math>\mathbf V = \mathbf V^T\,\!</math>, が二次である。

この分解は、未変形の配置における線要素<math>d\mathbf X</math>の変形が、変形された配置における<math>d\mathbf x</math>に写像されることを意味する。即ち. <math>d\mathbf x = \mathbf F \,d\mathbf X\,\!</math>という結果は、
要素を、なんらかの <math>\mathbf U\,\!</math>でUによって、まず伸ばすという方法で得られ得る、つまり
まず、<math>d\mathbf x' = \mathbf U \,d\mathbf X\,\!</math>という変換を行い、
次に、回転<math>\mathbf R\,\!</math>、即ち <math>d\mathbf x' = \mathbf R \,d\mathbf x\,\!</math>を行う; 
等価な方法として、まず剛体回転 <math>\mathbf R</math>、つまり <math>d\mathbf x' = \mathbf R \, d\mathbf X\,\!</math>を行い、次に、<math>\mathbf V\,\!</math>による伸長、つまり <math>d\mathbf x' = \mathbf V \, d\mathbf x</math> を行う方法もある（図3を参照）.

<math>\mathbf R</math>の直交性のため、<math display="block">\mathbf V = \mathbf R \cdot \mathbf U \cdot \mathbf R^T</math>となる。

その結果、<math>\mathbf U</math>と<math>\mathbf V</math>は同じ「固有値」、「principal directions（主方向）」を持つが、「固有ベクトル」（主方向）は、それぞれ
<math>\mathbf{N}_i</math>および<math>\mathbf{n}_i\,\!</math>
となり、異なる。主方向は以下のように関連している：<math display="block">\mathbf{n}_i = \mathbf{R} \mathbf{N}_i. </math>

この極分解は、<math>\mathbf F</math>が逆行列を持ち、かつ正の行列式を持つため、一意的である。また、この極分解は[[特異値分解]]の帰結である。

==変形テンソル (Deformation tensors)==
{{Further|Deformation tensor}}
機械工学ではいくつかの回転非依存の変形テンソルが使用されている。その中でも固体力学では、
最も一般的なものは右Cauchy-Green変形テンソルと左Cauchy-Green変形テンソルである。

純粋な回転は可変体にひずみを誘起すべきではないため、[[連続体力学]]においては、回転非依存の変形の尺度を使うことがしばしば便利である。回転に続いて逆回転を行うと変化がないため（<math>\mathbf{R}\mathbf{R}^T=\mathbf{R}^T\mathbf{R}=\mathbf{I}\,\!</math>）、変形勾配テンソル<math>\mathbf{F}</math>に対してその[[転置]]を掛けることで回転を除外することができる。

===右コーシー・グリーン変形テンソル===
右コーシー・グリーン変形テンソル（The right Cauchy–Green deformation tensor）について説明する。1839年、[[ジョージ・グリーン (数学者)|ジョージ・グリーン]]は、「右Cauchy–Green変形テンソル」または「グリーンの変形テンソル」として知られる変形テンソルを導入した。これは以下のように定義される：<ref name=note1>The [[IUPAC]] recommends that this tensor be called the Cauchy strain tensor.</ref>
<ref name=IUPAC>{{cite journal|author=A. Kaye, R. F. T. Stepto, W. J. Work, J. V. Aleman (Spain), A. Ya. Malkin|year=1998|title=Definition of terms relating to the non-ultimate mechanical properties of polymers|journal= Pure Appl. Chem.|volume= 70|issue=3|pages=701–754|url=http://old.iupac.org/reports/1998/7003kaye/index.html|doi=10.1351/pac199870030701|doi-access=free}}</ref>

<math display="block">\mathbf C=\mathbf F^T\mathbf F=\mathbf U^2 \qquad \text{or} \qquad C_{IJ}=F_{kI}~F_{kJ} = \frac {\partial x_k} {\partial X_I} \frac {\partial x_k} {\partial X_J}.</math>

物理的には、Cauchy–Greenテンソルは変形による距離の局所的な変化の2乗を表す。つまり、以下のように表される。

<math>d\mathbf x^2=d\mathbf X\cdot\mathbf C \cdot d\mathbf X</math>

<math>\mathbf{C}</math>の不変量は、しばしばひずみエネルギー密度関数の式に使用される。最も一般的に使用される[[テンソルの不変量|不変量]]は、以下の通りである。<math display="block">
  \begin{align}
     I_1^C & := \text{tr}(\mathbf{C}) = C_{II} = \lambda_1^2 + \lambda_2^2 + \lambda_3^2 \\
     I_2^C & := \tfrac{1}{2}\left[(\text{tr}~\mathbf{C})^2 - \text{tr}(\mathbf{C}^2) \right]
       = \tfrac{1}{2}\left[(C_{JJ})^2 - C_{IK}C_{KI}\right] = \lambda_1^2\lambda_2^2 + \lambda_2^2\lambda_3^2 + \lambda_3^2\lambda_1^2 \\
     I_3^C & := \det(\mathbf{C}) = J^2 = \lambda_1^2\lambda_2^2\lambda_3^2.
  \end{align}
</math>
ここで、<math>J:=\det\mathbf{F}</math>は変形勾配<math>\mathbf{F}</math>の行列式（determinant）であり、<math>\lambda_i</math>は単位繊維（unit fibers）の伸び率を示す。これらの繊維は、右（参照）伸びテンソル（right stretch tensor）の固有ベクトル方向に初めは沿って配置されている（一般的にこれらの方向は座標系の三つの軸とは一致しない）。

===フィンガー変形テンソルという用語について=== 
IUPAC（国際純正・応用化学連合）は、右Cauchy–Green変形テンソルの逆行列（この文書ではCauchyテンソルと呼ばれる）である<math>\mathbf C^{-1}</math>を「フィンガー変形テンソル」と呼ぶことを推奨している。ただし、この用語は応用力学全般で普遍的に受け入れられているわけでない。

<math display="block">\mathbf{f}=\mathbf C^{-1}=\mathbf F^{-1}\mathbf F^{-T} \qquad \text{or} \qquad f_{IJ}=\frac {\partial X_I} {\partial x_k} \frac {\partial X_J} {\partial x_k}</math>

===左コーシー・グリーンテンソル（フィンガー変形テンソル）===
左コーシー・グリーンテンソル（フィンガー変形テンソル：The left Cauchy–Green or Finger deformation tensor）について説明する。右のグリーン・コーシー変形テンソルの式の乗算の順序を逆にすると、''左のコーシー・グリーン変形テンソル''となり、次のように定義される：<math display="block">\mathbf B = \mathbf F\mathbf F^T = \mathbf V^2 \qquad \text{or} \qquad B_{ij} = \frac {\partial x_i} {\partial X_K} \frac {\partial x_j} {\partial X_K}</math>

左Cauchy-Green変形テンソルはしばしば''Finger deformation tensor''と呼ばれ、[[Josef Finger]] (1894)にちなんで命名された。<ref name=IUPAC/><ref>Eduardo N. Dvorkin, Marcela B. Goldschmit, 2006 [https://books.google.com/books?id=MVqa05_2QmAC&pg=PA25 Nonlinear Continua], p. 25, Springer {{ISBN|3-540-24985-0}}.</ref><ref name=note2>The [[IUPAC]] recommends that this tensor be called the Green strain tensor.</ref>

また、<math>\mathbf{B}</math>の不変量は[[ひずみエネルギー密度関数]]の式でも使われる。 従来の不変量は次のように定義される<math display="block">
  \begin{align}
  I_1 & := \text{tr}(\mathbf{B}) = B_{ii} = \lambda_1^2 + \lambda_2^2 + \lambda_3^2\\
  I_2 & := \tfrac{1}{2}\left[(\text{tr}~\mathbf{B})^2 - \text{tr}(\mathbf{B}^2)\right]
        = \tfrac{1}{2}\left(B_{ii}^2 - B_{jk}B_{kj}\right) = \lambda_1^2\lambda_2^2 + \lambda_2^2\lambda_3^2 + \lambda_3^2\lambda_1^2 \\
  I_3 & := \det\mathbf{B} = J^2 = \lambda_1^2\lambda_2^2\lambda_3^2
  \end{align}
 </math>
ここで、 <math>J:=\det\mathbf{F}</math>は変形勾配の行列式である。

圧縮可能な材料については、少し異なる不変量のセットが使用される：<math display="block"> (\bar{I}_1 := J^{-2/3} I_1 ~;~~ \bar{I}_2 := J^{-4/3} I_2 ~;~~ J\neq 1) ~. </math>

===コーシの変形テンソル===
コーシの変形テンソル(The Cauchy deformation tensor)について述べる。
1828年の早期には、<ref>Jirásek,Milan; Bažant, Z. P. (2002) [https://books.google.com/books?id=8mz-xPdvH00C&pg=PA463 Inelastic analysis of structures], Wiley, p. 463 {{ISBN|0-471-98716-6}}</ref> [[オーギュスタン＝ルイ・コーシー]]は、左Cauchy–Green変形テンソルの逆行列<math>\mathbf B^{-1}\,\!</math>として定義される変形テンソルを導入した。
 
このテンソルは、流体力学や流体力学の文献では、'''ピオラテンソル'''<ref name=IUPAC />や'''フィンガーテンソル'''<ref name=IUPAC /> <ref>J. N. Reddy, David K. Gartling (2000) [https://books.google.com/books?id=sv0VKLL5lWUC&pg=PA317 The finite element method in heat transfer and fluid dynamics], p. 317, CRC Press {{ISBN|1-4200-8598-0}}.</ref> といわれている。

<math display="block">\mathbf{c}=\mathbf B^{-1}=\mathbf F^{-T}\mathbf F^{-1} \qquad \text{or} \qquad c_{ij}=\frac {\partial X_K} {\partial x_i} \frac {\partial X_K} {\partial x_j}</math>

===スペクトル表現(Spectral representation)===
もし3つの異なる主伸び率(principal stretches) <math>\lambda_i \,\!</math>がある場合、<math>\mathbf{C}</math>および<math>\mathbf{B}</math>の固有分解（スペクトル分解）は以下のように表される。
<math display="block"> \mathbf{C} = \sum_{i=1}^3 \lambda_i^2 \mathbf{N}_i \otimes \mathbf{N}_i \qquad \text{and} \qquad \mathbf{B} = \sum_{i=1}^3 \lambda_i^2 \mathbf{n}_i \otimes \mathbf{n}_i</math>

さらに、

<math display="block"> \mathbf U = \sum_{i=1}^3 \lambda_i \mathbf N_i \otimes \mathbf N_i ~;~~
        \mathbf V = \sum_{i=1}^3 \lambda_i \mathbf n_i \otimes \mathbf n_i </math>
<math display="block"> \mathbf R = \sum_{i=1}^3 \mathbf n_i \otimes \mathbf N_i ~;~~
        \mathbf F = \sum_{i=1}^3 \lambda_i \mathbf n_i \otimes \mathbf N_i </math>

以下のことに注意するべきである。
<math display="block">
  \mathbf{V} = \mathbf{R}~\mathbf{U}~\mathbf{R}^T =
   \sum_{i=1}^3 \lambda_i~\mathbf{R}~(\mathbf{N}_i\otimes\mathbf{N}_i)~\mathbf{R}^T =
   \sum_{i=1}^3 \lambda_i~(\mathbf{R}~\mathbf{N}_i)\otimes(\mathbf{R}~\mathbf{N}_i)
</math>

したがって、スペクトル分解の一意性からも<math> \mathbf{n}_i = \mathbf{R}~\mathbf{N}_i \,\!</math>が導かれる。左伸長(<math>\mathbf{V}\,\!</math>)は、「空間伸長テンソル」と呼ばれ、右伸長(<math>\mathbf{U}\,\!</math>)は「物質伸長テンソル」とも呼ばれている。

変形勾配テンソル<math>\mathbf{F}</math>が<math>\mathbf{N}_i</math>に作用する効果は、ベクトルを<math>\lambda_i</math>倍に伸ばし、新しい方向に回転させることである。
<math display="block"> \mathbf{F}~\mathbf{N}_i = \lambda_i~(\mathbf{R}~\mathbf{N}_i) = \lambda_i~\mathbf{n}_i </math>
同様に、
<math display="block">
  \mathbf{F}^{-T}~\mathbf{N}_i = \cfrac{1}{\lambda_i}~\mathbf{n}_i ~;~~
  \mathbf{F}^T~\mathbf{n}_i = \lambda_i~\mathbf{N}_i ~;~~
  \mathbf{F}^{-1}~\mathbf{n}_i = \cfrac{1}{\lambda_i}~\mathbf{N}_i ~.
</math>

====例====
; 不圧縮材料の一軸伸長
: これは試料が1方向に伸長され、[[伸び率]]が<math>\mathbf{\alpha=\alpha_1}\,\!</math>である場合です。もし体積が一定であれば、他の2つの方向での収縮は<math>\mathbf{\alpha_1 \alpha_2 \alpha_3 =1}</math> or <math>\mathbf{\alpha_2=\alpha_3=\alpha^{-0.5}}\,\!</math>となる。

このとき: <math display="block">\mathbf{F}=\begin{bmatrix}
\alpha & 0 & 0 \\
0 & \alpha^{-0.5} & 0 \\
0 & 0 & \alpha^{-0.5}
\end{bmatrix}</math> <math display="block">\mathbf{B} = \mathbf{C} = \begin{bmatrix}
\alpha^2 & 0 & 0 \\
0 & \alpha^{-1} & 0 \\
0 & 0 & \alpha^{-1}
\end{bmatrix}</math>

; 単純せん断（Simple shear）
:<math display="block">\mathbf{F}=\begin{bmatrix}
1 & \gamma & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}</math> <math display="block">\mathbf{B} = \begin{bmatrix}
1+\gamma^2 & \gamma & 0 \\
\gamma & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}</math> <math display="block">\mathbf{C} = \begin{bmatrix}
1 & \gamma & 0 \\
\gamma & 1+\gamma^2 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}</math>

; 剛体の回転(Rigid body rotation)
:<math display="block">\mathbf{F} = \begin{bmatrix}
\cos \theta & \sin \theta & 0 \\
- \sin \theta & \cos \theta & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}</math> <math display="block">\mathbf{B} = \mathbf{C} = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} = \mathbf{1}</math>

===伸びのテンソル微分 (Derivatives of stretch)===
「右コーシグリーン変形テンソルに関する、伸びのテンソル微分は、多くの固体、特に[[超弾性材料]]における応力-ひずみ関係を導出するために使用される。これらの導関数

<math display="block">
  \cfrac{\partial\lambda_i}{\partial\mathbf{C}} =
       \cfrac{1}{2\lambda_i}~\mathbf{N}_i\otimes\mathbf{N}_i =
       \cfrac{1}{2\lambda_i}~\mathbf{R}^T~(\mathbf{n}_i\otimes\mathbf{n}_i)~\mathbf{R} ~;~~ i=1,2,3
 </math>
は、以下の観察から導かれる。
<math display="block">
   \mathbf{C}:(\mathbf{N}_i\otimes\mathbf{N}_i) = \lambda_i^2 ~;~~~~\cfrac{\partial\mathbf{C}}{\partial\mathbf{C}} = \mathsf{I}^{(s)} ~;~~~~ \mathsf{I}^{(s)}:(\mathbf{N}_i\otimes\mathbf{N}_i)=\mathbf{N}_i\otimes\mathbf{N}_i.
 </math>

===変形テンソルの物理的解釈===
<math>\mathbf{X} = X^i~\boldsymbol{E}_i</math> を変形していない物体上に定義された[[直交曲線座標]]系とし、<math>\mathbf{x} = x^i~\boldsymbol{E}_i</math> を変形した物体上に定義された別の座標系とする。 変形していない物体内の曲線 <math>\mathbf{X}(s)</math> を<math>s \in [0,1]</math> を用いてパラメータ化する。 その変形した物体内の像は <math>\mathbf{x}(\mathbf{X}(s))</math> である。

変形されていない曲線の長さは次の式で与えられる。
<math display="block">
l_X
= \int_0^1 \left| \cfrac{d \mathbf{X}}{d s} \right|~ds
= \int_0^1 \sqrt{ \cfrac{d \mathbf{X}}{d s}\cdot\cfrac{d \mathbf{X}}{d s}}~ds
= \int_0^1 \sqrt{ \cfrac{d \mathbf{X}}{d s}\cdot\boldsymbol{I} \cdot\cfrac{d \mathbf{X}}{d s} }~ds
</math>

変形後の長さは、
<math display="block">
\begin{align}
l_x & = \int_0^1 \left| \cfrac{d \mathbf{x}}{d s} \right|~ds
      = \int_0^1 \sqrt{\cfrac{d \mathbf{x}}{d s}\cdot\cfrac{d \mathbf{x}}{d s}}~ds
      = \int_0^1 \sqrt{
        \left(\cfrac{d \mathbf{x}}{d \mathbf{X}}\cdot\cfrac{d \mathbf{X}}{d s}\right)
        \cdot
        \left(\cfrac{d \mathbf{x}}{d \mathbf{X}}\cdot\cfrac{d \mathbf{X}}{d s}\right)}~ds
\\
      & = \int_0^1 \sqrt{\cfrac{d \mathbf{X}}{d s}\cdot\left[
                        \left(\cfrac{d \mathbf{x}}{d \mathbf{X}}\right)^T\cdot \cfrac{d \mathbf{x}}{d \mathbf{X}}\right]
\cdot\cfrac{d \mathbf{X}}{d s} }~ds
  \end{align}
</math>

右の Cauchy-Green 変形テンソルは次のように定義されることに注意せよ。

<math display="block">
\boldsymbol{C} := \boldsymbol{F}^T\cdot\boldsymbol{F} = \left(\cfrac{d \mathbf{x}}{d \mathbf{X}}\right)^T\cdot \cfrac{d \mathbf{x}}{d \mathbf{X}}
</math>

したがって、
<math display="block">
l_x = \int_0^1 \sqrt{ \cfrac{d \mathbf{X}}{d s}\cdot\boldsymbol{C} \cdot\cfrac{d \mathbf{X}}{d s} }~ds
</math>
これは、長さの変化が<math>\boldsymbol{C}</math>によって特徴付けられることを示している。

==有限ひずみテンソル==
「ひずみ」の概念は、特定の変位が剛体の変位と局所的にどの程度異なるかを評価するために使用される。
<ref name=Lubliner2008/><ref name=BelytschkoLiuMoran2000>{{cite book
| last1 = Belytschko
| first1 = Ted
| last2 = Liu
| first2 = Wing Kam
| last3 = Moran
| first3 = Brian
| title = Nonlinear Finite Elements for Continua and Structures
| publisher = John Wiley & Sons Ltd.
| year = 2000
| edition = reprint with corrections, 2006
| isbn = 978-0-471-98773-4
| pages = 92–94}}</ref><ref>{{Cite journal|last1=Zeidi|first1=Mahdi|last2=Kim|first2=Chun IL|date=2018|title=Mechanics of an elastic solid reinforced with bidirectional fiber in finite plane elastostatics: complete analysis|journal=Continuum Mechanics and Thermodynamics|volume=30|issue=3|pages=573-592|doi=10.1007/s00161-018-0623-0|issn=1432-0959}}</ref> 

大きな変形に対するそのようなひずみの 1 つは、「ラグランジュ有限ひずみテンソル」です。これは、「グリーン ラグランジュひずみテンソル」または「グリーン – セントヴェナントひずみテンソル」とも呼ばれ、次のように定義される。
<math display="block">\mathbf E=\frac{1}{2}(\mathbf C - \mathbf I)\qquad \text{or} \qquad E_{KL}=\frac{1}{2}\left( \frac{\partial x_j}{\partial X_K}\frac{\partial x_j}{\partial X_L}-\delta_{KL}\right)</math>

または変位勾配テンソルの関数として、

<math display="block">\mathbf E =\frac{1}{2}\left[ (\nabla_{\mathbf X}\mathbf u)^T + \nabla_{\mathbf X}\mathbf u + (\nabla_{\mathbf X}\mathbf u)^T \cdot\nabla_{\mathbf X}\mathbf u\right]</math>
or
<math display="block">E_{KL}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial u_K}{\partial X_L}+\frac{\partial u_L}{\partial X_K}+\frac{\partial u_M}{\partial X_K}\frac{\partial u_M}{\partial X_L}\right)</math>

グリーン ラグランジアンひずみテンソルは、<math>\mathbf C</math> が <math>\mathbf I\,\!</math> とどの程度異なるかを示す尺度である。

変形した構成、つまりオイラー記述を参照する「オイラー・アルマンシ有限ひずみテンソル」は、次のように定義されまる。

<math display="block">\mathbf e=\frac{1}{2}(\mathbf I - \mathbf c)=\frac{1}{2}(\mathbf I - \mathbf B ^{-1})
\qquad \text{or} \qquad
e_{rs} = \frac{1}{2} \left(\delta_{rs} - \frac{\partial X_M}{\partial x_r} \frac{\partial X_M}{\partial x_s}\right)</math>

または、我々が持っている変位勾配の関数として、
<math display="block">e_{ij} = \frac{1}{2} \left(\frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} - \frac{\partial u_k}{\partial x_i} \frac{\partial u_k}{\partial x_j}\right)</math>

■ラグランジュおよびオイラーの有限ひずみテンソルの導出<br>
変形の尺度は、変形されていない構成の微分線要素（<math>d\mathbf X\,\!</math> と <math>d\mathbf x\,\!</math> の二乗の差である） の変形された構成 (図 2)。差がゼロでない場合は変形が発生し、そうでない場合は剛体の変位が発生している。したがって、
<math display="block">d\mathbf{x}^2 - d\mathbf{X}^2=d\mathbf x\cdot d\mathbf x-d\mathbf X\cdot d\mathbf X
\qquad \text{or} \qquad
(dx)^2 - (dX)^2=dx_jdx_j-dX_M\,dX_M</math>

ラグランジュ記述では、材料座標を基準枠として使用し、微分線間の線形変換は次のようになる。
<math display="block"> d\mathbf x = \frac {\partial \mathbf x} {\partial \mathbf X}\,d\mathbf X=\mathbf F \,d\mathbf{X} \qquad\text{or} \qquad dx_j=\frac{\partial x_j}{\partial X_M} \,dX_M</math>

それから、
<math display="block">\begin{align}
d\mathbf{x}^2&=d\mathbf x \cdot d\mathbf x \\
&= \mathbf F \cdot d\mathbf X \cdot \mathbf F \cdot d\mathbf X \\
&= d\mathbf X \cdot \mathbf F^T\mathbf F \cdot d\mathbf X \\
&= d\mathbf X\cdot\mathbf C\cdot d\mathbf X
\end{align}
\qquad \text{or} \qquad
\begin{align}
(dx)^2&=dx_j\,dx_j \\
&= \frac{\partial x_j}{\partial X_K}\frac{\partial x_j}{\partial X_L}\,dX_K\,dX_L \\
&= C_{KL}\,dX_K\,dX_L \\
\end{align}</math>

ここで、 <math>C_{KL}</math> は「右 Cauchy–Green 変形テンソル」の成分である。<math>\mathbf C = \mathbf F^T \mathbf F\,\!</math>. 次に、この式を最初の式に置き換えると、
<math display="block">\begin{align}
d\mathbf{x}^2 - d\mathbf{X}^2 &= d\mathbf X\cdot\mathbf C\cdot d\mathbf X-d\mathbf X\cdot d\mathbf X \\
&=d\mathbf X\cdot (\mathbf C - \mathbf I)\cdot d\mathbf X \\
&= d\mathbf X \cdot 2\mathbf E \cdot d\mathbf X \\
\end{align}</math>
or
<math display="block">\begin{align}
(dx)^2 - (dX)^2 &= \frac{\partial x_j}{\partial X_K}\frac{\partial x_j}{\partial X_L}\,dX_K\,dX_L-dX_M\,dX_M \\
&= \left( \frac{\partial x_j}{\partial X_K}\frac{\partial x_j}{\partial X_L}-\delta_{KL}\right)\,dX_K\,dX_L \\
&=2E_{KL}\,dX_K\,dX_L
\end{align}</math>

ここで、 <math>E_{KL}\,\!</math>は、「Green – St-Venant ひずみテンソル」または「ラグランジュ有限ひずみテンソル」と呼ばれる 2 次テンソルの成分である。
<math display="block">\mathbf E=\frac{1}{2}(\mathbf C - \mathbf I)\qquad \text{or} \qquad E_{KL}=\frac{1}{2}\left( \frac{\partial x_j}{\partial X_K}\frac{\partial x_j}{\partial X_L}-\delta_{KL}\right)</math>

オイラー記述では、空間座標を基準枠として使用し、微分線間の線形変換は次のようになる。

<math display="block"> d\mathbf{X} = \frac {\partial \mathbf{X}} {\partial \mathbf {x}}d\mathbf{x}=\mathbf F^{-1} \, d\mathbf{x}=\mathbf{H} \,d\mathbf{x} \qquad \text{or} \qquad dX_M=\frac{\partial X_M}{\partial x_n}\, dx_n</math>
ここで、 <math>\frac{\partial X_M}{\partial x_n}</math> は「空間変形勾配テンソル」の成分である。 <math>\mathbf{H}\,\!</math>. したがって、我々は、

<math display="block">\begin{align}
d\mathbf{X}^2 &= d\mathbf X \cdot d\mathbf X \\
&= \mathbf F^{-1} \cdot d\mathbf x \cdot \mathbf F^{-1} \cdot d\mathbf x \\
&= d\mathbf x \cdot \mathbf F^{-T}\mathbf F^{-1} \cdot d\mathbf x \\
&= d\mathbf x\cdot\mathbf c\cdot d\mathbf x
\end{align}
\qquad \text{or} \qquad
\begin{align}
(dX)^2&=dX_M\,dX_M \\
&= \frac{\partial X_M}{\partial x_r}\frac{\partial X_M}{\partial x_s}\,dx_r\,dx_s \\
&= c_{rs}\,dx_r\,dx_s \\
\end{align}</math>

ここで、2次テンソルは<math>c_{rs}</math>
は「コーシーの変形テンソル」と呼ばれる。<math>\mathbf c=\mathbf F^{-T}\mathbf F^{-1}\,\!</math>. それから、

<math display="block">\begin{align}
d\mathbf{x}^2 - d\mathbf{X}^2 &= d\mathbf x\cdot d\mathbf x-d\mathbf x\cdot\mathbf c\cdot d\mathbf x \\
&=d\mathbf x\cdot (\mathbf I - \mathbf c)\cdot d\mathbf x \\
&= d\mathbf x \cdot 2\mathbf e \cdot d\mathbf x \\
\end{align}</math>
or
<math display="block">\begin{align}
(dx)^2 - (dX)^2 &= dx_j\,dx_j-\frac{\partial X_M}{\partial x_r}\frac{\partial X_M}{\partial x_s}\,dx_r\,dx_s \\
&= \left(\delta_{rs} - \frac{\partial X_M}{\partial x_r}\frac{\partial X_M}{\partial x_s} \right)\,dx_r\,dx_s \\
&=2e_{rs}\,dx_r\,dx_s
\end{align}</math>

ここで、 <math>e_{rs}\,\!</math>、「オイラー アルマンシ有限ひずみテンソル」と呼ばれる 2 次テンソルの成分である。
<math display="block">\mathbf e=\frac{1}{2}(\mathbf I - \mathbf c)
\qquad \text{or} \qquad
e_{rs}=\frac{1}{2}\left(\delta_{rs} - \frac{\partial X_M}{\partial x_r}\frac{\partial X_M}{\partial x_s} \right)</math>

LagrangianおよびEulerian有限ひずみテンソルは、''変位勾配テンソル''を用いて便利に表現することができる。Lagrangianひずみテンソルの場合、まず変位ベクトル <math>\mathbf u(\mathbf X, t)</math> を材料座標 <math>X_M</math> に関して微分して、''材料変位勾配テンソル'' <math>\nabla_{\mathbf X}\mathbf u</math> を得る。

<math display="block">\begin{align}
\mathbf u(\mathbf X,t) &= \mathbf x(\mathbf X,t) - \mathbf X \\
\nabla_{\mathbf X}\mathbf u &= \mathbf F - \mathbf I \\
\mathbf F &= \nabla_{\mathbf X}\mathbf u + \mathbf I \\
\end{align}
\qquad \text{or} \qquad
\begin{align}
u_i& = x_i-\delta_{iJ}X_J \\
\delta_{iJ}U_J &= x_i-\delta_{iJ}X_J \\
x_i&=\delta_{iJ}\left(U_J+X_J\right) \\
\frac{\partial x_i}{\partial X_K}&=\delta_{iJ}\left(\frac{\partial U_J}{\partial X_K}+\delta_{JK}\right) \\
\end{align}
</math>

この方程式をラグランジュ有限ひずみテンソルの式に置き換えると、
<math display="block">\begin{align}
\mathbf E &= \frac{1}{2}\left(\mathbf F^T\mathbf F-\mathbf I\right) \\
&=\frac{1}{2}\left[ \left\{ (\nabla_{\mathbf X}\mathbf u)^T+\mathbf I\right\}\left( \nabla_{\mathbf X}\mathbf u+\mathbf I\right)-\mathbf I\right] \\
&=\frac{1}{2}\left[ (\nabla_{\mathbf X}\mathbf u)^T + \nabla_{\mathbf X}\mathbf u + (\nabla_{\mathbf X}\mathbf u)^T \cdot\nabla_{\mathbf X}\mathbf u\right] \\
\end{align}</math>
or
<math display="block">\begin{align}
E_{KL}&=\frac{1}{2}\left( \frac{\partial x_j}{\partial X_K} \frac{\partial x_j}{\partial X_L} - \delta_{KL}\right) \\
&=\frac{1}{2} \left[\delta_{jM}\left(\frac{\partial U_M}{\partial X_K}+\delta_{MK}\right)\delta_{jN}\left(\frac{\partial U_N}{\partial X_L}+\delta_{NL}\right)-\delta_{KL}\right] \\
&=\frac{1}{2}\left[\delta_{MN}\left(\frac{\partial U_M}{\partial X_K}+\delta_{MK}\right)\left(\frac{\partial U_N}{\partial X_L}+\delta_{NL}\right)-\delta_{KL}\right] \\
&=\frac{1}{2}\left[\left(\frac{\partial U_M}{\partial X_K}+\delta_{MK}\right)\left(\frac{\partial U_M}{\partial X_L}+\delta_{ML}\right)-\delta_{KL}\right] \\
&=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial U_K}{\partial X_L} +\frac{\partial U_L}{\partial X_K} +\frac{\partial U_M}{\partial X_K} \frac{\partial U_M}{\partial X_L}\right)
\end{align}</math>

同様に、オイラー アルマンシ有限ひずみテンソルは次のように表すことができる。

<math display="block">e_{ij} = \frac{1}{2} \left(\frac{\partial u_i}{\partial x_j} +\frac{\partial u_j}{\partial x_i} - \frac{\partial u_k}{\partial x_i} \frac{\partial u_k}{\partial x_j}\right)</math>

===一般化ひずみテンソルの Seth-Hill 族===
[[インド工科大学カラグプル校]]の[[B. R. Seth]]は、グリーンおよびアルマンジひずみテンソルがより一般的な[[変形 (物理学)#ひずみ尺度|ひずみ尺度]]の特別な場合であることを最初に示した。<ref>{{Citation|last=Seth|first=B. R.| year=1961|title=Generalized strain measure with applications to physical problems|journal=MRC Technical Summary Report #248|publisher=Mathematics Research Center, United States Army, University of Wisconsin|pages=1–18|url=http://www.dtic.mil/cgi-bin/GetTRDoc?AD=AD0266913|archive-url=https://web.archive.org/web/20130822233433/http://www.dtic.mil/cgi-bin/GetTRDoc?AD=AD0266913|url-status=dead|archive-date=August 22, 2013}}</ref><ref>{{Citation|last=Seth|first=B. R.|year=1962|title=Generalized strain measure with applications to physical problems|journal=IUTAM Symposium on Second Order Effects in Elasticity, Plasticity and Fluid Mechanics, Haifa, 1962.}}</ref> 
この考えは、1968年に[[Rodney Hill]]によってさらに拡張された<ref>{{Citation|last=Hill|first=R.|year=1968|title=On constitutive inequalities for simple materials—I|journal=Journal of the Mechanics and Physics of Solids|volume=16|number=4|pages=229–242|doi=10.1016/0022-5096(68)90031-8|bibcode = 1968JMPSo..16..229H }}</ref>。Seth-Hill ファミリのひずみ測定 (ドイル-エリクセン テンソルとも呼ばれる)
<ref name="DoyEri56">T.C. Doyle and J.L. Eriksen (1956). "Non-linear elasticity." ''Advances in Applied Mechanics'' 4, 53–115.</ref> は以下のように表現される。

<math display="block">\mathbf E_{(m)}=\frac{1}{2m}(\mathbf U^{2m}- \mathbf I) = \frac{1}{2m}\left[\mathbf{C}^{m} - \mathbf{I}\right]</math>

異なる<math>m</math>の値に対して、次のようなテンソルが得られる：

グリーン-ラグランジュひずみテンソル <math display="block">\mathbf E_{(1)} = \frac{1}{2} (\mathbf U^{2}- \mathbf I) = \frac{1}{2} (\mathbf{C}-\mathbf{I})</math>
ビオひずみテンソル <math display="block"> \mathbf E_{(1/2)} = (\mathbf U - \mathbf I) = \mathbf{C}^{1/2}-\mathbf{I}</math>
対数ひずみ、自然ひずみ、真のひずみ、またはヘンキーひずみ <math display="block">\mathbf E_{(0)} = \ln \mathbf U = \frac{1}{2},\ln\mathbf{C}</math>
アルマンジひずみ <math display="block">\mathbf{E}_{(-1)} = \frac{1}{2}\left[\mathbf{I}-\mathbf{U}^{-2}\right]</math>
これらのテンソルの2次の近似は次のとおりである：
<math display="block">
\mathbf{E}_{(m)} = \boldsymbol{\varepsilon} + {\tfrac 1 2}(\nabla\mathbf{u})^T\cdot\nabla\mathbf{u} - (1 - m) \boldsymbol{\varepsilon}^T\cdot\boldsymbol{\varepsilon}
</math>
ここで、<math>\boldsymbol{\varepsilon}</math>は微小ひずみテンソルである。

テンソル <math>\mathbf{E}</math> の他の多くの異なる定義は、それらがすべて次の条件を満たす場合に許容される。
<ref name="BazCed91">Z.P. Bažant and L. Cedolin (1991). ''Stability of Structures. Elastic, Inelastic, Fracture and Damage Theories.'' Oxford Univ. Press, New York (2nd ed. Dover Publ., New York 2003; 3rd ed., World Scientific 2010).</ref>
*<math>\mathbf{E}</math>はすべての剛体運動に対して消失する
*<math>\mathbf{E}</math>の変位勾配テンソル<math>\nabla\mathbf{u}</math>への依存性は、連続的で、連続的に微分可能であり、単調である
*<math>|\nabla\mathbf{u}| \to 0</math>のときに<math>\mathbf{E}</math>が微小ひずみテンソル<math>\boldsymbol{\varepsilon}</math>に減少することも望まれる。

例はテンソルのセットである。

<math display="block">
  \mathbf{E}^{(n)} = \left({\mathbf U}^n - {\mathbf U}^{-n}\right)/2n
 </math>
セス-ヒルクラスに属さないが、<math>m=0</math>の場合において<math>n</math>の任意の値に対して、セス-ヒル尺度と同じ2次近似を持つものがある。
<ref name="Baz98">Z.P. Bažant (1998). "[http://www.civil.northwestern.edu/people/bazant/PDFs/Backup%20of%20Papers/373.pdf Easy-to-compute tensors with symmetric inverse approximating Hencky finite strain and its rate]." ''Journal of Materials of Technology ASME'', 120 (April), 131–136.</ref>

== 伸長率 ==
'''伸長率'''は、微小な線要素の伸長または法線ひずみの尺度であり、未変形構成または変形構成のいずれかで定義することができる。

未変形構成において、材料点<math>P,!</math>で単位ベクトル<math>\mathbf N</math>の方向に微小要素<math>d\mathbf X = dX \mathbf N</math>（図）の伸長率は、次のように定義される：
<math display="block">\Lambda_{(\mathbf N)} = \frac{dx}{dX}</math>
ここで、<math>dx</math>は変形後の微小要素<math>d\mathbf X,!</math>の大きさである。

同様に、変形構成において、材料点<math>p,!</math>で単位ベクトル<math>\mathbf n</math>の方向に微小要素<math>d\mathbf x = dx\mathbf n</math>（図）の伸長率は、次のように定義される：
<math display="block">\frac{1}{\Lambda_{(\mathbf n)}} = \frac{dX}{dx}.</math>

任意の方向<math>\mathbf N</math>における法線ひずみ<math>e_{\mathbf N}</math>は、伸長率の関数として表される。
<math display="block">e_{(\mathbf N)}= \frac{dx-dX}{dX}=\Lambda_{(\mathbf N)}- 1.</math>

この方程式から、伸長率が1に等しい場合、すなわち変形がない場合には、法線ひずみがゼロであることがわかる。一部の材料、例えばエラストマーは、破壊するまで3または4の伸長率を持続できる一方、コンクリートや鋼などの伝統的な工学材料は、1.1程度の伸長率で破壊する（参考文献？）。

== 有限ひずみテンソルの物理的解釈 ==
ラグランジュの有限ひずみテンソルの対角成分<math>E_{KL}</math>は、法線ひずみと関連しており、例えば以下のようになる：

<math display="block">E_{11}=e_{(\mathbf I_1)}+\frac{1}{2} e_{(\mathbf I_1)}^2</math>

ここで、<math>e_{(\mathbf I_1)}</math>は方向<math>\mathbf I_1,!</math>における法線ひずみまたは工学的ひずみである。

ラグランジュの有限ひずみテンソルの非対角成分<math>E_{KL}</math>は剪断ひずみと関連しており、例えば以下のようになる：

<math display="block">E_{12}=\frac{1}{2}\sqrt{2E_{11}+1}\sqrt{2E_{22}+1}\sin\phi_{12}</math>

ここで、<math>\phi_{12}</math>はもともと直交していた二つの線要素の間の角度の変化であり、それぞれ方向が<math>\mathbf I_1</math>および<math>\mathbf I_2,!</math>であった。

特定の状況下では、つまり小さな変位と小さな変位速度では、ラグランジュの有限ひずみテンソルの成分は[[微小ひずみ理論#微小ひずみテンソル|微小ひずみテンソル]]の成分に近似される場合がある。

■ ラグランジュとオイラーの有限ひずみテンソルの物理的解釈の導出<br>
物質点<math>P,!</math>における単位ベクトル<math>\mathbf N</math>の方向にある微小要素<math>d\mathbf X = dX\mathbf N</math>（図）のためのストレッチ比は、未変形の構成で定義される：

<math display="block">\Lambda_{(\mathbf N)}=\frac{dx}{dX}</math>

ここで、<math>dx</math>は微小要素<math>d\mathbf X,!</math>の変形後の大きさである。

同様に、変形構成で、物質点<math>p,!</math>における単位ベクトル<math>\mathbf n</math>の方向の微小要素<math>d\mathbf x = dx\mathbf n</math>（図）のためのストレッチ比は次のように定義される：

<math display="block">\frac{1}{\Lambda_{(\mathbf n)}} = \frac{dX}{dx}</math>

ストレッチ比の二乗は次のように定義される：

<math display="block">\Lambda_{(\mathbf N)}^2=\left (\frac{dx}{dX}\right )^2</math>

<math display="block">(dx)^2=C_{KL}dX_KdX_L</math>となることを知っているので、以下が成り立ち：

<math display="block">\Lambda_{(\mathbf N)}^2 = C_{KL} N_K N_L</math>

ここで、<math>N_K</math>と<math>N_L</math>は単位ベクトルである。

任意の方向<math>\mathbf N</math>における法線ひずみまたは工学ひずみ<math>e_{\mathbf N}</math>は、ストレッチ比の関数として表すことができる。

<math display="block">e_{(\mathbf N)}=\frac{dx-dX}{dX}=\Lambda_{(\mathbf N)}-1</math>

したがって、物質点<math>P</math>における方向<math>\mathbf I_1</math>の法線ひずみは、ストレッチ比の関数として以下のように表すことができる。

<math display="block">\begin{align}
e_{(\mathbf I_1)}=\frac{dx_1-dX_1}{dX_1}&=\Lambda_{(\mathbf I_1)}-1\\
&=\sqrt {C_{11}} -1=\sqrt{\delta_{11}+2E_{11}}-1\\
&=\sqrt{1+2E_{11}}-1
\end{align}</math>

<math>E_{11}</math>について解くと、我々は以下を得る。
<math display="block"> \begin{align}
2E_{11}&= \frac{(dx_1)^2 - (dX_1)^2}{(dX_1)^2} \\
E_{11}&= \left(\frac{dx_1-dX_1}{dX_1}\right)+ \frac {1}{2} \left(\frac{dx_1-dX_1}{dX_1}\right)^2 \\
&=e_{(\mathbf I_1)}+\frac{1}{2}e_{(\mathbf I_1)}^2
\end{align}</math>

二つの直交している主方向<math>\mathbf I_1</math>および<math>\mathbf I_2</math>に最初に配置された二つの線要素<math>d\mathbf X_1</math>と<math>d\mathbf X_2</math>の間の角度の変化、または ''せん断ひずみ'' もストレッチ比の関数として表現できます。変形した線要素<math>d\mathbf x_1</math>と<math>d\mathbf x_2</math>の内積から、以下を得る。

<math display="block">\begin{align}
d\mathbf x_1 \cdot d\mathbf x_2 &=dx_1 dx_2 \cos\theta_{12} \\
\mathbf F \cdot d\mathbf X_1\cdot \mathbf F\cdot d\mathbf X_2&= \sqrt {d\mathbf X_1 \cdot \mathbf F^T\cdot\mathbf F \cdot d\mathbf X_1}\cdot \sqrt {d\mathbf X_2 \cdot \mathbf F^T\cdot\mathbf F \cdot d\mathbf X_2} \cos\theta_{12} \\
\frac{d\mathbf X_1\cdot \mathbf F^T\cdot\mathbf F\cdot d\mathbf X_2}{dX_1 dX_2} &=\frac{\sqrt {d\mathbf X_1 \cdot \mathbf F^T\cdot\mathbf F \cdot d\mathbf X_1}\cdot \sqrt {d\mathbf X_2 \cdot \mathbf F^T\cdot\mathbf F \cdot d\mathbf X_2}}{dX_1 dX_2} \cos\theta_{12}\\
\mathbf I_1 \cdot \mathbf C \cdot \mathbf I_2&= \Lambda_{\mathbf I_1}\Lambda_{\mathbf I_2}\cos\theta_{12}
\end{align}</math>

ここで、<math>\theta_{12}</math>は変形した線要素<math>d\mathbf x_1</math>と<math>d\mathbf x_2</math>の間の角度を表す。二つの最初に直交していた線要素間の角度の変化、またはせん断ひずみを<math>\phi_{12}</math>と定義すると、次の関係が成り立つ。

<math display="block">\phi_{12}=\frac{\pi}{2}-\theta_{12}</math>
thus,
<math display="block">\cos\theta_{12}=\sin\phi_{12}</math>
then
<math display="block">\mathbf I_1 \cdot \mathbf C \cdot \mathbf I_2= \Lambda_{\mathbf I_1} \Lambda_{\mathbf I_2}\sin\phi_{12}</math>

or

<math display="block">\begin{align}
C_{12}&=\sqrt{C_{11}}\sqrt{C_{22}}\sin\phi_{12}\\
2E_{12}+\delta_{12}&=\sqrt{2E_{11}+1}\sqrt{2E_{22}+1}\sin\phi_{12}\\
E_{12}&=\frac{1}{2}\sqrt{2E_{11}+1}\sqrt{2E_{22}+1}\sin\phi_{12}
\end{align}</math>

==曲線座標系での変形テンソル==
変形テンソルの表現は、非線形シェル理論や大きな塑性変形などの連続体力学の多くの問題にとって有用である。空間内の位置ベクトルを座標<math>(\xi^1,\xi^2,\xi^3)</math>から構築する関数を<math>\mathbf{x} = \mathbf{x}(\xi^1,\xi^2,\xi^3)</math>とする。これらの座標は、連続体内のラグランジュ粒子に対する一対一の写像に対応している場合、「convected（運ばれた）」と言われる。もし座標グリッドが初期構成で物体に「塗られている」場合、このグリッドは変形して物質の運動と共に流れ、変形構成では同じ物質粒子に塗られたままになり、グリッド線がどちらの構成でも同じ物質粒子で交差するようになる。変形された座標グリッド線曲線<math>\xi^i</math>の接ベクトルは、位置<math>\mathbf{x}</math>において以下のように与えられる：

<math display="block">
   \mathbf{g}_i = \frac{\partial \mathbf{x}}{\partial \xi^i}
</math>
位置<math>\mathbf{x}</math>での3つの接ベクトルは、局所基底を形成する。これらのベクトルは、逆基底ベクトルと以下のように関連している：
<math display="block">
   \mathbf{g}_i\cdot\mathbf{g}^j = \delta_i^j
</math>

成分を持つ2階のテンソル場<math>\boldsymbol{g}</math>（メトリックテンソルとも呼ばれる）を定義しよう。
<math display="block">
   g_{ij} := \frac{\partial \mathbf{x}}{\partial \xi^i}\cdot\frac{\partial \mathbf{x}}{\partial \xi^j} = \mathbf{g}_i\cdot\mathbf{g}_j
</math>
第1種のクリストッフェル記号は、以下のように表すことができます。
<math display="block">
   \Gamma_{ijk}
      = \tfrac{1}{2}[(\mathbf{g}_i\cdot\mathbf{g}_k)_{,j} + (\mathbf{g}_j\cdot\mathbf{g}_k)_{,i} - (\mathbf{g}_i\cdot\mathbf{g}_j)_{,k}]
</math>

クリストッフェル記号が右コーシー-グリーン変形テンソルとどのように関連しているかを見るために、変形された格子線に接する基底と、変形前の格子線に接する別の基底を同様に定義してみよう。つまり、
<math display="block">
   \mathbf{G}_i := \frac{\partial \mathbf{X}}{\partial \xi^i} ~;~~ \mathbf{G}_i\cdot\mathbf{G}^j = \delta_i^j ~;~~ \mathbf{g}_i := \frac{\partial \mathbf{x}}{\partial \xi^i} ~;~~ \mathbf{g}_i\cdot\mathbf{g}^j = \delta_i^j
</math>

===曲線座標における変形勾配=== 
曲線座標におけるベクトル場の勾配の定義を用いて、変形勾配は以下のように書くことができる。
<math display="block">
   \boldsymbol{F} = \boldsymbol{\nabla}_{\mathbf{X}}\mathbf{x} = \frac{\partial \mathbf{x}}{\partial \xi^i}\otimes\mathbf{G}^i = \mathbf{g}_i\otimes\mathbf{G}^i
</math>

===曲線座標における右 Cauchy–Green テンソル===
右の Cauchy-Green 変形テンソルは次の式で与えられます。
<math display="block">
   \boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T\cdot\boldsymbol{F} = (\mathbf{G}^i\otimes\mathbf{g}_i)\cdot(\mathbf{g}_j\otimes\mathbf{G}^j)
       = (\mathbf{g}_i\cdot\mathbf{g}_j)(\mathbf{G}^i\otimes\mathbf{G}^j)
</math>
If we express <math>\boldsymbol{C}</math> in terms of components with respect to the basis {<math>\mathbf{G}^i</math>} we have
<math display="block">
   \boldsymbol{C} = C_{ij}~\mathbf{G}^i\otimes\mathbf{G}^j
</math>
Therefore,
<math display="block">
  C_{ij} = \mathbf{g}_i\cdot\mathbf{g}_j = g_{ij}
 </math>

そして、対応する第 1 種クリストッフェル記号は次の形式で書くことができる。
<math display="block">
   \Gamma_{ijk}
      = \tfrac{1}{2}[C_{ik,j} + C_{jk,i} - C_{ij,k}]
      = \tfrac{1}{2}[(\mathbf{G}_i\cdot\boldsymbol{C}\cdot\mathbf{G}_k)_{,j} + (\mathbf{G}_j\cdot\boldsymbol{C}\cdot\mathbf{G}_k)_{,i} - (\mathbf{G}_i\cdot\boldsymbol{C}\cdot\mathbf{G}_j)_{,k}]
</math>

===変形尺度とクリストッフェル記号の間の関係===
<math>\mathbf{X} = {X^1,X^2,X^3}</math>から<math>\mathbf{x} = {x^1,x^2,x^3}</math>への一対一の写像を考え、以下の条件を満たす2つの正定値で対称な2階のテンソル場<math>\boldsymbol{G}</math>と<math>\boldsymbol{g}</math>が存在すると仮定する。
<math display="block">
   G_{ij} = \frac{\partial X^\alpha}{\partial x^i}~\frac{\partial X^\beta}{\partial x^j}~g_{\alpha\beta}
</math>
すると、
<math display="block">
  \frac{\partial G_{ij}}{\partial x^k} = \left(\frac{\partial^2 X^\alpha}{\partial x^i \partial x^k}~\frac{\partial X^\beta}{\partial x^j} +
       \frac{\partial X^\alpha}{\partial x^i}~\frac{\partial^2 X^\beta}{\partial x^j \partial x^k}\right)~g_{\alpha\beta} +
       \frac{\partial X^\alpha}{\partial x^i}~\frac{\partial X^\beta}{\partial x^j}~\frac{\partial g_{\alpha\beta}}{\partial x^k}
</math>
以下に注意すると
<math display="block">
   \frac{\partial g_{\alpha\beta}}{\partial x^k} = \frac{\partial X^\gamma}{\partial x^k}~\frac{\partial g_{\alpha\beta}}{\partial X^\gamma}
</math><br>
<math>g_{\alpha\beta} = g_{\beta\alpha}</math> 

我々は、以下を得る。
<math display="block">
  \begin{align}
  \frac{\partial G_{ij}}{\partial x^k} & = \left(\frac{\partial^2 X^\alpha}{\partial x^i \partial x^k}~\frac{\partial X^\beta}{\partial x^j} +
       \frac{\partial^2 X^\alpha}{\partial x^j \partial x^k}~\frac{\partial X^\beta}{\partial x^i}\right)~g_{\alpha\beta} +
       \frac{\partial X^\alpha}{\partial x^i}~\frac{\partial X^\beta}{\partial x^j}~\frac{\partial X^\gamma}{\partial x^k}~\frac{\partial g_{\alpha\beta}}{\partial X^\gamma} \\
  \frac{\partial G_{ik}}{\partial x^j} & = \left(\frac{\partial^2 X^\alpha}{\partial x^i \partial x^j}~\frac{\partial X^\beta}{\partial x^k} +
       \frac{\partial^2 X^\alpha}{\partial x^j \partial x^k}~\frac{\partial X^\beta}{\partial x^i}\right)~g_{\alpha\beta} +
       \frac{\partial X^\alpha}{\partial x^i}~\frac{\partial X^\beta}{\partial x^k}~\frac{\partial X^\gamma}{\partial x^j}~\frac{\partial g_{\alpha\beta}}{\partial X^\gamma} \\
  \frac{\partial G_{jk}}{\partial x^i} & = \left(\frac{\partial^2 X^\alpha}{\partial x^i \partial x^j}~\frac{\partial X^\beta}{\partial x^k} +
       \frac{\partial^2 X^\alpha}{\partial x^i \partial x^k}~\frac{\partial X^\beta}{\partial x^j}\right)~g_{\alpha\beta} +
       \frac{\partial X^\alpha}{\partial x^j}~\frac{\partial X^\beta}{\partial x^k}~\frac{\partial X^\gamma}{\partial x^i}~\frac{\partial g_{\alpha\beta}}{\partial X^\gamma}
  \end{align}
</math>
以下を定義する。
<math display="block">\begin{align}
   _{(x)}\Gamma_{ijk} & := \frac{1}{2}\left(\frac{\partial G_{ik}}{\partial x^j} + \frac{\partial G_{jk}}{\partial x^i} - \frac{\partial G_{ij}}{\partial x^k}\right) \\
   _{(X)}\Gamma_{\alpha\beta\gamma} & := \frac{1}{2}\left(\frac{\partial g_{\alpha\gamma}}{\partial X^\beta} + \frac{\partial g_{\beta\gamma}}{\partial X^\alpha} - \frac{\partial g_{\alpha\beta}}{\partial X^\gamma}\right) \\
\end{align}</math>
従って、
<math display="block">
  _{(x)}\Gamma_{ijk} = \frac{\partial X^\alpha}{\partial x^i}~\frac{\partial X^\beta}{\partial x^j}~\frac{\partial X^\gamma}{\partial x^k} \,_{(X)}\Gamma_{\alpha\beta\gamma} + \frac{\partial^2 X^\alpha}{\partial x^i \partial x^j}~\frac{\partial X^\beta}{\partial x^k}~g_{\alpha\beta}
</math>
以下を定義する。
<math display="block"> [G^{ij}] = [G_{ij}]^{-1} ~;~~ [g^{\alpha\beta}] = [g_{\alpha\beta}]^{-1}</math>
すると
<math display="block"> G^{ij} = \frac{\partial x^i}{\partial X^\alpha}~\frac{\partial x^j}{\partial X^\beta}~g^{\alpha\beta}</math>
Define the Christoffel symbols of the second kind as
<math display="block">
  _{(x)}\Gamma^m_{ij} := G^{mk} \,_{(x)}\Gamma_{ijk} ~;~~
  _{(X)}\Gamma^\nu_{\alpha\beta} := g^{\nu\gamma} \,_{(X)}\Gamma_{\alpha\beta\gamma}
</math>
すると、
<math display="block"> \begin{align}
  _{(x)}\Gamma^m_{ij} & = G^{mk}~\frac{\partial X^\alpha}{\partial x^i}~\frac{\partial X^\beta}{\partial x^j}~\frac{\partial X^\gamma}{\partial x^k} \,_{(X)}\Gamma_{\alpha\beta\gamma} + G^{mk}~\frac{\partial^2 X^\alpha}{\partial x^i \partial x^j}~\frac{\partial X^\beta}{\partial x^k}~g_{\alpha\beta} \\
   & = \frac{\partial x^m}{\partial X^\nu}~\frac{\partial x^k}{\partial X^\rho}~g^{\nu\rho}~\frac{\partial X^\alpha}{\partial x^i}~\frac{\partial X^\beta}{\partial x^j}~\frac{\partial X^\gamma}{\partial x^k} \,_{(X)}\Gamma_{\alpha\beta\gamma} +
   \frac{\partial x^m}{\partial X^\nu}~\frac{\partial x^k}{\partial X^\rho}~g^{\nu\rho}~\frac{\partial^2 X^\alpha}{\partial x^i \partial x^j}~\frac{\partial X^\beta}{\partial x^k}~g_{\alpha\beta} \\
   & = \frac{\partial x^m}{\partial X^\nu}~\delta^\gamma_\rho~g^{\nu\rho}~\frac{\partial X^\alpha}{\partial x^i}~\frac{\partial X^\beta}{\partial x^j} \,_{(X)}\Gamma_{\alpha\beta\gamma} +
   \frac{\partial x^m}{\partial X^\nu}~\delta^\beta_\rho~g^{\nu\rho}~\frac{\partial^2 X^\alpha}{\partial x^i \partial x^j}~g_{\alpha\beta} \\
   & = \frac{\partial x^m}{\partial X^\nu}~g^{\nu\gamma}~\frac{\partial X^\alpha}{\partial x^i}~\frac{\partial X^\beta}{\partial x^j} \,_{(X)}\Gamma_{\alpha\beta\gamma} +
   \frac{\partial x^m}{\partial X^\nu}~g^{\nu\beta}~\frac{\partial^2 X^\alpha}{\partial x^i \partial x^j}~g_{\alpha\beta} \\
   & = \frac{\partial x^m}{\partial X^\nu}~\frac{\partial X^\alpha}{\partial x^i}~\frac{\partial X^\beta}{\partial x^j} \,_{(X)}\Gamma^\nu_{\alpha\beta} +
   \frac{\partial x^m}{\partial X^\nu}~\delta^{\nu}_{\alpha}~\frac{\partial^2 X^\alpha}{\partial x^i \partial x^j}
\end{align}</math>
従って、
<math display="block"> _{(x)}\Gamma^m_{ij} = \frac{\partial x^m}{\partial X^\nu}~\frac{\partial X^\alpha}{\partial x^i}~\frac{\partial X^\beta}{\partial x^j} \,_{(X)}\Gamma^\nu_{\alpha\beta} +
   \frac{\partial x^m}{\partial X^\alpha}~\frac{\partial^2 X^\alpha}{\partial x^i \partial x^j}</math>
The invertibility of the mapping implies that
<math display="block">\begin{align}
  \frac{\partial X^\mu}{\partial x^m}\,_{(x)}\Gamma^m_{ij} & = \frac{\partial X^\mu}{\partial x^m}~\frac{\partial x^m}{\partial X^\nu}~\frac{\partial X^\alpha}{\partial x^i}~\frac{\partial X^\beta}{\partial x^j} \,_{(X)}\Gamma^\nu_{\alpha\beta} +
   \frac{\partial X^\mu}{\partial x^m}~\frac{\partial x^m}{\partial X^\alpha}~\frac{\partial^2 X^\alpha}{\partial x^i \partial x^j} \\
   & = \delta^\mu_\nu~\frac{\partial X^\alpha}{\partial x^i}~\frac{\partial X^\beta}{\partial x^j} \,_{(X)}\Gamma^\nu_{\alpha\beta} +
   \delta^\mu_\alpha~\frac{\partial^2 X^\alpha}{\partial x^i \partial x^j} \\
   & = \frac{\partial X^\alpha}{\partial x^i}~\frac{\partial X^\beta}{\partial x^j} \,_{(X)}\Gamma^\mu_{\alpha\beta} + \frac{\partial^2 X^\mu}{\partial x^i \partial x^j}
\end{align}</math>
同様の結果を<math>x</math>に関する微分で表すこともできる。したがって、
<math display="block">\begin{align}
\frac{\partial^2 X^\mu}{\partial x^i \partial x^j} & = \frac{\partial X^\mu}{\partial x^m}\,_{(x)}\Gamma^m_{ij} - \frac{\partial X^\alpha}{\partial x^i}~\frac{\partial X^\beta}{\partial x^j} \,_{(X)}\Gamma^\mu_{\alpha\beta} \\
\frac{\partial^2 x^m}{\partial X^\alpha \partial X^\beta} & = \frac{\partial x^m}{\partial X^\mu}\,_{(X)}\Gamma^\mu_{\alpha\beta} - \frac{\partial x^i}{\partial X^\alpha}~\frac{\partial x^j}{\partial X^\beta} \,_{(x)}\Gamma^m_{ij}
\end{align}</math>

== 互換性条件 == 
{{Main|Compatibility (mechanics)}} 連続体力学における互換性の問題は、物体上の許容される単一値連続場の決定を含む。これらの許容条件は、変形後に物体に物理的な隙間や重なりが残らないようにする。ほとんどの場合、これらの条件は単連結な物体に適用されます。多重連結な物体の内部境界には追加の条件が必要である。
=== 変形勾配の互換性 === 
単連結な物体上で互換性のある<math>\boldsymbol{F}</math>場の存在のための必要十分条件は次のとおりである： <math display="block"> \boldsymbol{\nabla}\times\boldsymbol{F} = \boldsymbol{0} </math>

=== 右コーシ・グリーン変形テンソルの互換性 === 
単連結な物体上で互換性のある<math>\boldsymbol{C}</math>場の存在のための必要十分条件は次のとおりである：

<math display="block">
  R^\gamma_{\alpha\beta\rho} :=
   \frac{\partial }{\partial X^\rho}[\,_{(X)}\Gamma^\gamma_{\alpha\beta}] -
   \frac{\partial }{\partial X^\beta}[\,_{(X)}\Gamma^\gamma_{\alpha\rho}] +
  \,_{(X)}\Gamma^\gamma_{\mu\rho}\,_{(X)}\Gamma^\mu_{\alpha\beta} -
  \,_{(X)}\Gamma^\gamma_{\mu\beta}\,_{(X)}\Gamma^\mu_{\alpha\rho} = 0
</math>

これらは、[[リーマン–クリストッフェル曲率テンソル]]の混合成分であることが示される。したがって、<math>\boldsymbol{C}</math>の互換性のための必要条件は、変形のリーマン–クリストッフェル曲率がゼロであることである。

=== 左コーシ・グリーン変形テンソルの互換性 === 
三次元の左カウシー・グリーン変形テンソルについて一般的な十分条件は知られていない。二次元の<math>\boldsymbol{B}</math>場の互換性条件は、Janet Blumeによって見出された<ref name=Blume>{{cite journal|author=Blume, J. A.|year= 1989|title=Compatibility conditions for a left Cauchy–Green strain field|doi=10.1007/BF00045780|journal= Journal of Elasticity|volume=21|issue= 3|pages=271–308|s2cid= 54889553}}</ref><ref name=acharya>{{cite journal|author=Acharya, A.|url=http://imechanica.org/files/B-compatibility.pdf|year=1999|title=On Compatibility Conditions for the Left Cauchy–Green Deformation Field in Three Dimensions|journal=Journal of Elasticity|volume =56 | issue=2 |pages=95–105|doi=10.1023/A:1007653400249|s2cid=116767781}}</ref>。

== 脚注 ==
<references />

==読書案内==
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| publisher = CRC Press
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| last = Lubarda
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| publisher = CRC Press
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| first = G. Thomas
| author2=George E. Mase
| title = Continuum Mechanics for Engineers
| publisher = CRC Press
| year = 1999
| edition= Second
| url = https://books.google.com/books?id=uI1ll0A8B_UC
| isbn = 0-8493-1855-6 }}
*{{cite book
| last = Nemat-Nasser
| first = Sia
| title = Plasticity: A Treatise on Finite Deformation of Heterogeneous Inelastic Materials
| publisher = Cambridge University Press
| year = 2006
| location = Cambridge
| url = https://books.google.com/books?id=5nO78Rt0BtMC
| isbn = 0-521-83979-3}}
*{{Cite book
| last = Rees | first = David
| title = Basic Engineering Plasticity – An Introduction with Engineering and Manufacturing Applications
| publisher = Butterworth-Heinemann
| year = 2006
| url = https://books.google.com/books?id=4KWbmn_1hcYC
| isbn = 0-7506-8025-3}}

==関連項目==
* [[Infinitesimal strain]]
* [[Compatibility (mechanics)]]
* [[Curvilinear coordinates]]
* [[Piola–Kirchhoff stress tensor]], the stress tensor for finite deformations.
* [[Stress measures]]
* [[Strain partitioning]]

==外部リンク==
*[http://www.imechanica.org/node/3786 Prof. Amit Acharya's notes on compatibility on iMechanica]

{{DEFAULTSORT:ゆうけんへんけいりろん}}
[[Category:物理学]]
[[Category:連続体力学]]
[[Category:微分幾何学]]
[[Category:リーマン幾何学]]
{{Physics-stub}}