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'''有限生成アーベル群'''（ゆうげんせいせいアーベルぐん、英：Finitely_generated_abelian_group）とは、[[抽象代数学]]において、[[アーベル群]] (''G'',+) が'''有限生成''' (finitely generated) であるとは、''G'' の有限個の元 ''x''<sub>1</sub>,...,''x''<sub>''s''</sub> が存在して、''G'' のすべての元 ''x'' が ''n''<sub>1</sub>,...,''n''<sub>''s''</sub> を[[整数]]として
:''x'' = ''n''<sub>1</sub>''x''<sub>1</sub> + ''n''<sub>2</sub>''x''<sub>2</sub> + ... + ''n''<sub>''s''</sub>''x''<sub>''s''</sub>
の形に書けるということである。

この場合、集合 {''x''<sub>1</sub>,...,''x''<sub>''s''</sub>} を ''G'' の''[[群の生成系|生成系]]''あるいは''生成集合'' (generating set) といい、 ''x''<sub>1</sub>, ..., ''x''<sub>''s''</sub> は ''G'' を ''生成する'' (generate) という。

明らかに、すべての有限アーベル群は有限生成である。有限生成アーベル群は単純な構造をもっており、以下で説明するように完全に分類することができる。

== 例 ==
* [[整数]]全体の成す加法群 <math>\left(\mathbb{Z},+\right)</math> は有限生成アーベル群である。
* [[合同算術|''n'' を法とする]][[剰余類環|整数の合同類の成す加法群]] <math>(\mathbb{Z}_n,+)</math> は有限生成アーベル群である。
* 有限個の有限生成アーベル群の任意の[[群の直和]]は再び有限生成アーベル群である。
* すべての[[格子 (群)]]は有限生成[[自由アーベル群]]をなす。

（同型を除いて）他の例は存在しない。とくに、[[有理数]]全体の群 <math>(\mathbb{Q},+)</math> は有限生成でない<ref name="Silverman-Tate-1992">{{Harvtxt|Silverman|Tate|1992}}, {{Google books quote|id=mAJei2-JcE4C|page=102|text=not finitely generated|p. 102}}, {{Harvtxt|シルヴァーマン|テイト|2012|p=132}}</ref>： <math>x_1,\ldots,x_n</math> を有理数として、すべての分母と[[互いに素 (整数論)|互いに素]]な[[自然数]] <math>k</math> をとると、<math>1/k</math> は <math>x_1,\ldots,x_n</math> によって生成できない。0 でない有理数全体の群 <math>\left(\mathbb{Q}^*,\cdot\right)</math> もまた有限生成でない<ref name="Silverman-Tate-1992" /><ref>{{Harvtxt|La Harpe|2000}}, {{Google books quote|id=60fTzwfqeQIC|page=46|text=The multiplicative group Q|p. 46}}</ref>。

== 有限生成アーベル群の基本定理 ==
[[単項イデアル整域上の有限生成加群の構造定理]]の特別な場合である'''有限生成アーベル群の基本定理''' (fundamental theorem of finitely generated abelian groups) は（[[単項イデアル整域]]の場合と同様に）2通りに述べることができる。

===準素分解===
準素分解の定式化が述べているのは、すべての有限生成アーベル群 ''G'' は{{仮リンク|準素巡回群|en|Primary cyclic group}}と無限[[巡回群]]の[[群の直和|直和]]に同型である。準素巡回群は[[群の位数|位数]]が[[素数]]のベキであるような群である。つまり、すべての有限生成アーベル群は次の形の群に同型である：
:<math>\mathbb{Z}^n \oplus \mathbb{Z}_{q_1} \oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}_{q_t},</math>
ただし[[アーベル群のランク|''ランク'']] ''n'' ≥ 0 で、数 ''q''<sub>1</sub>, ..., ''q''<sub>''t''</sub> は（異なる必要はない）素数のベキである。とくに、''G'' が有限であることと ''n''&nbsp;=&nbsp;0 は同値である。''n'' と ''q''<sub>1</sub>, ..., ''q''<sub>''t''</sub> の値は（添え字の付け替えを[[違いを除いて|除いて]]）''G'' によって一意的に決定される。

===不変因子分解===
任意の有限生成アーベル群 ''G'' を次の形の直和として書くこともできる：
:<math>\mathbb{Z}^n \oplus \mathbb{Z}_{k_1} \oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}_{k_u},</math>
ただし ''k''<sub>1</sub> は ''k''<sub>2</sub> を[[約数|割り切り]]、''k''<sub>2</sub> は ''k''<sub>3</sub> を割り切り、同様に ''k''<sub>''u''</sub> まで続く。再び、ランク ''n'' と[[不変因子]] ''k''<sub>1</sub>,...,''k''<sub>''u''</sub> は ''G'' によって順序も込めて一意的に決まる。

===同値性===
これらのステートメントは[[中国剰余定理]]によって同値である。ここでそれが述べているのは、<math>\mathbb{Z}_{m}\simeq \mathbb{Z}_{j} \oplus \mathbb{Z}_{k}</math> であることと、''j'' と ''k'' が[[互いに素 (整数論)|互いに素]]で ''m'' = ''jk'' であることは同値である。

===コメント===
有限生成アーベル群は有限の[[階数]]として、上の ''n'' を持つ。一方でこの逆は正しくなく、有限の階数を持つが有限生成でないアーベル群はたくさんある。

この定理によって有限生成なアーベル群、特に位数が有限なアーベル群は完全に分類できる。そのため、これは群論において大変有用な定理である。これに対して、有限生成でないアーベル群に関しては、今でも研究が進められている。特に、階数が無限のアーベル群は非常に複雑になる。

もう少し一般化して、[[単項イデアル整域]]上の有限生成加群に対しても全く同様の定理が証明できる。

=== 系 ===
基本定理を別の言い方をすると、有限生成アーベル群はそれぞれが同型を除いて一意であるような有限[[アーベル群のランク|ランク]]の[[自由アーベル群]]と有限アーベル群の直和である。有限アーベル群はちょうど ''G'' の[[捩れ部分群]]である。''G'' のランクは ''G'' の torsion-free 部分のランクとして定義される。これはちょうど上の公式の数 ''n'' である。

基本定理の[[系 (数学)|系]]は、すべての{{仮リンク|ねじれのないアーベル群|label=ねじれのない|en|torsion-free abelian group}}有限生成アーベル群は自由アーベル群であるというものである。有限生成の条件はここで本質的である： <math>\mathbb{Q}</math> はねじれがないが自由アーベルでない。

有限生成アーベル群のすべての[[部分群]]と[[商群]]は再び有限生成アーベル群である。[[群準同型]]とともに有限生成アーベル群は、[[アーベル群の圏]]の[[部分圏|セール部分圏]]である[[アーベル圏]]をなす。

== 有限生成でないアーベル群 ==
有限ランクのすべてのアーベル群が有限生成というわけではないことに注意せよ。ランク 1 の群 <math>\mathbb{Q}</math> は1つの反例であり、<math>\mathbb{Z}_{2}</math> の[[無限集合|可算無限個の]]コピーの直和によって与えられるランク 0 の群は別の例である。

== 関連項目 ==
* [[ジョルダン-ヘルダーの定理]] - 非アーベルへの一般化

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{Reflist}}

== 参考文献 ==
* {{Citation |last1=Silverman |first1=Joseph H. |authorlink1= |last2=Tate |first2=John Torrence |authorlink2=ジョン・テイト |title=Rational points on elliptic curves |url= |edition= |series=Undergraduate texts in mathematics |volume= |year=1992 |publisher=[[シュプリンガー・サイエンス・アンド・ビジネス・メディア|Springer]] |location= |isbn=978-0-387-97825-3 |id= }}
**{{Cite book|和書
|first=J.H.
|last=シルヴァーマン
|first2=J.
|last2=テイト
|authorlink2=ジョン・テイト
|translator=[[足立恒雄]]・木田雅成・小松啓一・田谷久雄
|origdate=1995-11
|date=2012-07
|title=楕円曲線論入門
|publisher=[[丸善出版]]
|isbn=978-4-621-06453-5
|ref={{Harvid|シルヴァーマン|テイト|2012}}
}}
* {{Citation |last1=La Harpe |first1=Pierre de |authorlink1= |last2= |first2= |authorlink2= |title=Topics in geometric group theory |url= |edition= |series=Chicago lectures in mathematics |volume= |year=2000 |publisher=[[University of Chicago Press]] |location= |isbn=978-0-226-31721-2 |id= }}

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