有限群のソースを表示

{{Groups}}
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[[数学]]および[[抽象代数学]]において、'''有限群'''(ゆうげんぐん、{{lang-en-short|finite group}})とは[[数学的構造|台]]となっている[[集合]] ''G'' が[[有限集合|有限個]]の元しか持たない[[群 (数学)|群]]のことである。[[20世紀]]の間数学者は、特に有限群の{{仮リンク|局所解析|en|local analysis}}や、[[可解群]]や[[冪零群]]の理論などといった、有限群の理論のさまざまな面を深く研究していた。全ての有限群の構造の完全な決定は余りに遠大な目標だった: あり得る構造の数はすぐに圧倒的に大きくなった。しかし、[[単純群]]の完全な分類という目標は達成された。つまり任意の有限群の「組み立て部品」は現在では完全に知られている（任意の有限群は[[組成列]]を持つ）。

20世紀の後半には、[[クロード・シュヴァレー|シュヴァレー]]や{{仮リンク|ロベルト・シュタインベルク|label=シュタインベルク|en|Robert Steinberg}}といった数学者によって{{仮リンク|古典群|en|classical groups}}や関連する群の有限類似<!-- finite analog のよい訳がなかったので「有限類似」にいたしました -->の理解が深まった。それらの群の族の一つには[[有限体]]上の[[一般線型群]]がある。

有限群は、ある数学的・物理的対象の構造を保つ変換が有限個しかない場合に、その対象の[[対称性]]を考えるときに出て来る群である。他方で、"{{仮リンク|連続的対称性|en|continuous symmetry}}"を扱っているようにもみなせる[[リー群]]の理論<!-- このあたりはいい加減な訳になっています -->は、関連する[[ワイル群]]の影響を強く受ける。有限次[[ユークリッド空間]]に作用する[[鏡映]]によって生成される有限群も存在する。それゆえ、有限群の特性は、[[理論物理学]]や[[化学]]などの分野で役目を持つ。<!--play a role-->

==有限群の例==
===置換群===
{{Main|置換群}}

対称群 <math>S_N</math> は、N個の文字の[[置換 (数学)|置換]]全ての集合を表す。 この様な置換は[[階乗|N!]]個存在するので、N!が対称群の位数である。{{仮リンク|ケーリーの定理|en|Cayley's theorem}}によれば、任意の有限群は適当なNについて対称群<math>S_N</math>の部分群として実現できる。[[交代群]]は、[[対称群#互換|偶置換]]のみを集めた部分群であり、<math>A_N</math>と表記される。
===巡回群===
{{Main|巡回群}}

巡回群<math>Z_N</math>は、任意の元がある特定の元''a''のべき乗であり、<math>a^n=a^0=e</math>(''e''は[[単位元]])が成り立っているような群である。巡回群の典型的な例は[[1の冪根]]の群である。aを[[1の原始冪根]]に対応させる写像は<math>Z_N</math>と1の冪根の群の間の[[同型写像]]である。この対応関係は任意の巡回群に対して成り立つ。

===リー型の群===
{{Main|リー型の群}}

==主要な定理==
===ラグランジュの定理===
{{Main|ラグランジュの定理 (群論)}}

任意の有限群''G'' に対して、''G'' の任意の[[部分群]] ''H'' の[[位数]](元の個数)は ''G''の位数を割り切る。この定理は[[ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュ]]にちなんで名付けられた。  

===シローの定理===
{{Main|シローの定理}}

この定理はラグランジュの定理の部分的な逆であり、''G''の部分群の中に与えられた位数の部分群が何個存在するかについての情報を与える。


<!-- Number of groups of a given orderがまだ残っています--->
==与えられた位数を持つ群の個数==
ある[[正の整数]]''n''が与えられたとき、位数 ''n'' の群が([[同型]]なものを1つと数えて)何個存在するかを決定するのに決まったやり方は存在しない<!--it is not at tall a routine manner to determine...の翻訳-->。位数が[[素数]] ''p'' である群は[[巡回群]]である:これは[[ラグランジュの定理 (群論)|ラグランジュの定理]]からわかるように、[[単位元]]でない任意の元は位数が ''p'' であるので、それによって生成される巡回群はそれ自身に一致するためである。
''n'' が素数の2乗である場合には、位数 ''n'' の群は[[同型を除いて]]ちょうど2種類存在するが、どちらも[[アーベル群]]である。''n'' が素数の高い[[冪乗|冪]]の場合は、{{仮リンク|ヒグマン|en|Graham Higman}}や{{仮リンク|チャールズ・シムズ|en|Charles Sims (mathematician)}}が位数 ''n'' の群の(同型を除いた)個数について、漸近的に正しい概算<!--asymptotically correct estimatesを翻訳-->をしている。[[冪乗|冪]]が高くなるにつれて個数は爆発的に増加する。

例えば[[シローの定理]]などの結果から、位数 ''n'' の群の構造には ''n'' の素因数分解に依存してある制限が加わる。例えば素数 ''p'' , ''q'' に対して、 ''q'' < ''p'' かつ ''p'' − 1 が ''q'' で割り切れない場合は、位数 ''pq'' の群は必ず巡回群となる。必要十分条件については{{仮リンク|巡回数 (群論)|en|cyclic number (group theory)}}を参照されたい。 

''n'' に平方因子が存在しない場合、位数 ''n'' の群はすべて[[可解群|可解]]である。群の[[指標理論]]を用いて証明された[[ウィリアム・バーンサイド]]の定理によれば、''n'' が2個以下の素因数でのみ割り切れるのであれば、位数 ''n'' の群はすべて可解である。 {{仮リンク|ファイト-トンプソンの定理|en|Feit–Thompson theorem}}という、証明が長く複雑な定理によると、''n'' が奇数ならば位数 ''n'' の群は可解である。

任意の正の整数 ''n'' について、位数 ''n'' の群のほとんどは[[可解群]]である。特定の位数 ''n'' についてこの事実を確認することはそれほど困難なことではない(例えば位数60の群には、同型を除いて非可解なものが1個、可解なものが12個存在する)。しかし、任意の位数 ''n'' についてこの事実を証明するには[[有限単純群の分類]]を要する。任意の正の整数 ''n'' に対して位数 ''n'' の単純群は最大でも2種類しか存在せず、位数 ''n'' の同型でない単純群が2種類存在するような正の整数 ''n'' は無限に存在する。

===位数 ''n'' の異なる群の個数の表===
{| class="wikitable"
|-----
! 位数 ''n''
! 個数<ref>John F. Humphreys, ''A Course in Group Theory'', Oxford University Press, 1996, pp. 238-242.</ref>
! アーベル群 
! 非アーベル群 
|-----
! 1
| 1
| 1
| 0
|-----
! 2
| 1
| 1
| 0
|-----
! 3
| 1
| 1
| 0 
|-----
! 4
| 2
| 2
| 0
|-----
! 5
| 1
| 1
| 0
|-----
! 6
| 2
| 1
| 1
|-----
! 7 
| 1 
| 1
| 0
|-----
! 8
| 5
| 3
| 2
|-----
! 9
| 2
| 2
| 0
|-----
! 10
| 2
| 1
| 1
|-----
! 11
| 1
| 1
| 0
|-----
! 12
| 5
| 2
| 3
|-----
! 13 
| 1
| 1
| 0
|-----
! 14
| 2
| 1
| 1
|-----
! 15
| 1
| 1
| 0
|-----
! 16
| 14
| 5
| 9
|-----
! 17
| 1
| 1
| 0
|-----
! 18
| 5
| 2
| 3
|-----
! 19
| 1
| 1
| 0
|-----
! 20
| 5
| 2
| 3
|-----
! 21
| 2
| 1
| 1
|-----
! 22
| 2
| 1
| 1
|-----
! 23
| 1
| 1
| 0
|-----
! 24
| 15
| 3
| 12
|-----
! 25
| 2
| 2
| 0
|}

==関連項目==
{{Div col|cols=2}}
*{{仮リンク|アソシエーション・スキーム|en|Association scheme}}
*[[有限単純群の分類]]
*{{仮リンク|有限単純群の一覧|en|List of finite simple groups}}
*[[ラグランジュの定理 (群論)|ラグランジュの定理]]
*[[コーシーの定理 (群論)|コーシーの定理]]
*[[アーベル群]]
*{{仮リンク|非アーベル群|en|Non-abelian group}}
*[[p-群]]
*{{仮リンク|小さい群の一覧|en|List of small groups}}
*{{仮リンク|有限群の表現論|en|Representation theory of finite groups}}
*[[モジュラー表現論]]
*[[モンストラス・ムーンシャイン]]
*[[射有限群]]
*{{仮リンク|無限群論|en|Infinite group theory}}
*{{仮リンク|有限環|en|Finite ring}}
{{Div col end}}

== 注記 ==
<references/>

==外部リンク==
*Number of groups of order n {{OEIS|id=A000001}} (英語)
*A [http://www.bluetulip.org/programs/finitegroups.html classifier] for groups of small order (英語)


{{Normdaten}}
{{DEFAULTSORT:ゆうけんくん}}

[[Category:群論]]
[[Category:数学に関する記事]]