期待値のソースを表示

{{Expand English|Expected value|date=2024年5月}}
[[確率論]]における'''期待値'''（きたいち、{{lang-en-short|expected value}}）は[[確率変数]]を含む[[関数 (数学)|関数]]の実現値に[[確率]]の重みをつけた[[平均#加重平均|加重平均]]である<ref name=":0">"''確率変数 X，ある関数 g(·) とするとき，g(X) の期待''

''値は次のように定義される。''" Tanizaki. (2018). ''[http://www2.econ.osaka-u.ac.jp/~tanizaki/class/2018/basic_econome/app.pdf 第5章 統計学の基礎：復習]''. 大阪大学 「計量経済基礎」.</ref>。

[[確率変数]] <math>X \sim P_X </math> を引数にとる関数 <math>g(X) </math> の <math>X </math> に関する期待値 <math>E_{P_X}[g(X)] </math> は次で定義される<ref name=":0" />：

: <math>E_{P_X}[g(X)]
= \sum_{x} P_X(x) g(x)
= \int P_X(x) g(x) dx </math>

例えば、[[賭博]]において、期待値を受け取れる賞金の「見込み」の金額とすることがある。ただし、確率変数が期待値を取る確率（または密度関数値）が最大とは限らず、また、期待値が確率変数の値域に含まれているとは限らない。しかし、[[独立同分布]]であれば、[[平均#母平均と標本平均|標本平均]]は期待値に収束することが知られている（[[大数の法則]]）。

== 定義 ==
=== 離散型確率変数 ===
[[確率空間]] {{math|(Ω, ''F'', ''P'')}} において、[[確率変数]] {{mvar|X}} が高々[[可算集合|可算]]個 {{math2|''x''{{sub|1}}, ''x''{{sub|2}}, …}} を取るとき（[[離散確率分布|離散型確率変数]]）、{{mvar|X}} の期待値は
:<math>E[X] = \textstyle\sum\limits_{i=1}^{\infty} x_i P(X = x_i)</math>
で定義される。

=== 連続型確率変数 ===
[[確率空間]] <math>( \Omega ,\mathcal{F} ,P)</math> において、[[確率変数]] {{mvar|X}} が実数などの連続値を取る（非可算無限）であるとき（[[連続型確率変数]]）、可積分な確率変数 {{mvar|X}} の期待値は
:<math>E[X] = \int_{\Omega} X( \omega ) \, dP( \omega )</math>
で定義される。ただし確率変数 {{mvar|X}} が[[可積分系|可積分]]であるとは、
:<math>\int_{\Omega} |X( \omega )|\, dP( \omega )< \infty</math>
を満たすことであり、この[[積分]]は抽象的な[[ルベーグ積分]]である。

[[事象 (確率論)|事象]] <math>A\in \mathcal{F}</math> に対して、
:<math>E[X:A] = E[ 1_A X] = \int_A X( \omega )\, dP( \omega )</math>
と書いて期待値をとる範囲を {{mvar|A}} に制限する。ここで {{math|1{{sub|''A''}}}} は[[指示関数]]である。

=== 日本産業規格 ===
[[日本産業規格]] (JIS) では、値 {{mvar|x{{sub|i}}}} が出現する[[確率]]を {{math2|1=''p{{sub|i}}'' = Pr{{mset|1=''X'' = ''x{{sub|i}}''}}}} とする[[離散確率分布]]に対する期待値と、[[確率密度関数]] {{math|''f''(''x'')}} を持つ[[連続確率分布]]の期待値を定義している。多数回の測定を行い測定値の平均を求めると、期待値に近い値になる。関数 {{math|''g''(''X'')}} の期待値 {{math|''E''[''g''(''X'')]}} も同様に定義している。また、条件付き分布の期待値を[[条件付き期待値]]、{{math2|''X''，''Y''}} の[[同時分布]]に関し、条件 {{math2|''Y'' {{=}} ''y''}} の下での {{mvar|X}} の条件付き期待値が {{mvar|y}} の関数になること、確率変数 {{mvar|X}} の期待値を {{mvar|X}} の母平均ということを紹介している<ref>[http://kikakurui.com/z8/Z8101-1-1999-01.html JIS Z 8101-1 1999 統計−用語と記号−第1部：確率及び一般統計用語]（[[日本規格協会]]）</ref>。

== 性質 ==
期待値は[[総和]]や[[積分]]によって定義されるので、総和や積分のもつ性質をすべて持っている。以下、{{math2|''X'', ''Y''}} を[[確率変数]]、{{math2|''a'', ''b''}} をスカラーとする。
* 線形性
*: <math>E[aX+bY]=aE[X]+bE[Y]</math>
* 単調性
*: <math>X \leq Y \Rightarrow E[X] \leq E[Y]</math>
* [[イェンセンの不等式]]：[[凸関数]] {{mvar|φ}} に対して、
*: <math>\varphi (E[X]) \le E[\varphi (X)]</math>
* [[チェビシェフの不等式]]：{{math|(0, ∞)}} 上で定義された正値[[単調写像|単調増加関数]] {{mvar|φ}} と任意の正の数 {{mvar|ε}} に対して、
*:<math>P(|X|> \varepsilon ) \leq \frac{E[\varphi(X)]}{\varphi ( \varepsilon )}</math>
さらに、2つの[[可積分系|可積分]]な確率変数 {{mvar|X}} と {{mvar|Y}} が[[独立 (確率論)|独立]]の場合は、
:<math>E[XY]=E[X]E[Y]</math>
が成立する。

確率変数を含まない定数項を含むことができ、上記の性質と合わせて次の性質を持つ<ref>"a + bX の期待値は，E(a + bX) = a + bE(X) ... となる。" Tanizaki. (2018). ''[http://www2.econ.osaka-u.ac.jp/~tanizaki/class/2018/basic_econome/app.pdf 第5章 統計学の基礎：復習]''. 大阪大学 「計量経済基礎」.</ref>：

: <math>E_{P_X}[a + b \ g(X)]
= E_{P_X}[a] + b \ E_{P_X}[g(X)]
= a          + b \ E_{P_X}[g(X)]
</math>

== 計算法 ==
連続型確率変数の期待値はルベーグ積分で定義されているので、計算するときには積分の変数変換を行って確率変数の分布で積分するのが普通である。確率変数 {{mvar|X}} の[[確率分布|分布]]を {{mvar|P{{sub|X}}}} とすると、任意の可測関数 {{mvar|f}} に対して
:<math>E[f(X)] = \int_{\Omega} f(X( \omega ))\, dP( \omega ) = \int_{\mathbb{R}} f(x)\, P_X (dx)</math>
となり、さらに {{mvar|P{{sub|X}}}} が[[確率密度関数]] {{mvar|p}} を持つときは
:<math>E[f(X)] = \int_{\mathbb{R}} f(x)p(x)\, dx</math>
により、[[ルベーグ測度]]で計算できるようになる。

== 例 ==
=== サイコロの目の期待値 ===
[[正六面体|6 面体]]の[[サイコロ]]を 1 回振る。ただし出る目の確率はすべて {{sfrac|1|6}} とする。出る目 {{mvar|X}} の期待値は
:<math>E[X] = 1 \times \frac{1}{6} + 2 \times \frac{1}{6} + 3 \times \frac{1}{6} + 4 \times \frac{1}{6} + 5 \times \frac{1}{6} + 6 \times \frac{1}{6} = \frac{21}{6} = 3.5</math>

=== 賞金の期待値 ===
次のようなゲームを考える。
* 100 円支払えば、6 面サイコロ 1 個を 1 回振ることができる。
* サイコロの出た目に応じて次の金額 {{mvar|X}} 円がもらえる。
{|class="wikitable" style="text-align:center"
!出た目!!1!!2!!3!!4!!5!!6
|-
!{{mvar|X}}
|20||50||100||100||150||150
|}
このとき、もらえる金額 {{mvar|X}} の期待値は
:<math>E[X]=20 \times \frac{1}{6} + 50 \times \frac{1}{6} + 100 \times \frac{1}{6} + 100 \times \frac{1}{6} + 150 \times \frac{1}{6} + 150 \times \frac{1}{6} = 95</math>
となり、参加費 100 円より少ない。このことから、このゲームは、試行回数を増やしていくと、平均としては1回あたり5円の損をし、回数を増やすほど損であるといえる（[[大数の法則]]）。

== 脚注 ==
{{Reflist}}

== 参考文献 ==
* {{Cite book|和書 |author=西岡康夫 |year=2013 |title=数学チュートリアル やさしく語る 確率統計 |publisher=[[オーム社]] |isbn=9784274214073}}
* {{Cite book|和書 |author=伏見康治|authorlink=伏見康治 |year=1942 |title=確率論及統計論 |publisher=[[河出書房]] |isbn=9784874720127 |url=http://ebsa.ism.ac.jp/ebooks/ebook/204}}
* {{Cite book|和書 |author=日本数学会|authorlink=日本数学会 |year=2007 |title=数学辞典 |publisher=[[岩波書店]] |isbn=9784000803090}}
* [http://kikakurui.com/z8/Z8101-1-1999-01.html JIS Z 8101-1 1999 統計−用語と記号−第1部：確率及び一般統計用語]（[[日本規格協会]]）

== 関連項目 ==
*[[確率論]]
**[[モーメント (確率論)|モーメント]] - [[分散 (確率論)|分散]]
**[[特性関数 (確率論)|特性関数]]
**[[条件付期待値]]
**[[歪度]]
*[[サンクトペテルブルクのパラドックス]] - 期待値が求められない例
*[[大数の法則]]

{{確率論}}
{{Normdaten}}
{{DEFAULTSORT:きたいち}}
[[Category:確率分布論]]
[[Category:ギャンブル用語]]
[[Category:数学に関する記事]]