条件付き確率分布のソースを表示

{{Expand English|Conditional probability distribution|date=2024年5月}}
[[確率論]]において、'''条件付き確率分布'''（じょうけんつきかくりつぶんぷ、{{lang-en-short|conditional probability distribution}}）とは、[[確率変数]] ''X'' と ''Y'' があり、''X'' の値が特定の値であることを知ったときの ''Y'' の[[確率分布]]のことである。

条件付き累積分布関数・条件付き確率質量関数・条件付き確率密度関数などから、[[条件付き確率]]・[[条件付き期待値]]などが計算できる。

== 条件付き累積分布関数 ==
確率変数 ''X'' と事象 ''A'' が与えられたときに <math>P(A) > 0</math> の時に'''条件付き[[累積分布関数]]'''（conditional cumulative distribution function）は以下のように定義する<ref name=KunIlPark>{{cite book | author=Park,Kun Il| title=Fundamentals of Probability and Stochastic Processes with Applications to Communications| publisher=Springer | year=2018 | isbn=978-3-319-68074-3}}</ref>{{rp|p. 97}}。

: <math>F_{X|A}(x) \triangleq \frac{P(X \leq x \cap A)}{P(A)}.</math>

== 条件付き離散確率分布 ==
離散確率変数の場合、'''条件付き[[確率質量関数]]'''（conditional probability mass function）は <math>P(X=x)>0</math> の時に以下のように定義する。
: <math>p_{Y|X}(y \mid x) \triangleq P(Y = y \mid X = x) = \frac{P(X=x\ \cap Y=y)}{P(X=x)}</math>

== 条件付き連続確率分布 ==
連続確率変数で[[連続確率分布]]の場合、'''条件付き[[確率密度関数]]'''（conditional probability density function）は <math>f_X(x)>0</math> の時に以下のように定義する。
: <math>f_Y(y \mid X=x) = \frac{f_{X, Y}(x, y)}{f_X(x)}</math>

<math>f_{X,Y}(x,y)</math> は X と Y の[[同時分布]]で、<math>f_X(x)</math> は[[周辺分布]]である。

X と Y の確率密度関数は以下の関係が成立する。
: <math> f_Y(y \mid X=x)f_X(x) = f_{X,Y}(x, y) = f_X(x \mid Y=y)f_Y(y) </math>

連続確率分布の条件付き分布の概念は見た目よりも直観的では無い。<math>f_X(x)=0</math> の時、{{仮リンク|ボレル-コルモゴロフのパラドックス|en|Borel–Kolmogorov paradox}}は座標変換に対して確率密度関数が必ずしも不変では無いことを示している。

== 写像の条件付き確率分布表現 ==
条件付き確率分布 <math>Y_{|X} \sim f(Y|X)</math> は確率論的（{{lang-en-short|stochastic}}）な <math>X</math> と <math>Y</math> の対応付けを表現する<ref>"''stochastic ... mapping from input X to a novel representation Y ... mappings q(Y|X)''" Vincent. (2010). ''[https://www.jmlr.org/papers/volume11/vincent10a/vincent10a.pdf Stacked Denoising Autoencoders: Learning Useful Representations in a Deep Network with a Local Denoising Criterion]''.</ref>。一方で[[写像]] <math>Y = f(X)</math> は決定論的（{{lang-en-short|deterministic}}）に（一意な）<math>X</math> と <math>Y</math> の対応付けを表現する。この写像は条件付き確率分布でも以下のように表現できる<ref>"a deterministic mapping from X to Y, that is, representation Y is to be computed by ... q(Y|X;θ) = δ(Y − fθ(X)) (where δ denotes Dirac-delta)" Vincent. (2010). ''[https://www.jmlr.org/papers/volume11/vincent10a/vincent10a.pdf Stacked Denoising Autoencoders: Learning Useful Representations in a Deep Network with a Local Denoising Criterion]''.</ref>：

: <math>Y_{|X} \sim f(Y|X) = \delta(Y - f_\theta(X))</math>
すなわち[[ディラックのデルタ関数]] <math>\delta()</math> を用いた <math>Y = f_\theta(X)</math> 点でのみ非ゼロの値をもつ確率密度関数として表現できる。

== 参照 ==
{{reflist}}

{{確率論}}
{{Probability-stub}}
{{デフォルトソート:しようけんつきかくりつふんふ}}
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[[Category:確率分布論]]
[[Category:数学に関する記事]]