条件収束のソースを表示

[[数学]]において、[[級数]]あるいは[[積分]]が'''条件収束'''（じょうけんしゅうそく）するとは、収束するが[[絶対収束]]しないことをいう。

==定義==
正確には、級数
:<math>\sum_{n=0}^\infty a_n</math>
が'''条件収束'''する (converge conditionally) とは、
:<math>\lim_{m\to\infty}\sum_{n=0}^ma_n</math>
が存在して有限の数である（{{math|&infin;}} や {{math|&minus;&infin;}} ではない）が、
:<math>\sum_{n=0}^\infty \left|a_n\right| = \infty</math>
であることをいう。

古典的な例は次の[[交代級数]]
:<math>1 - {1 \over 2} + {1 \over 3} - {1 \over 4} + {1 \over 5} - \cdots =\sum\limits_{n=1}^\infty {(-1)^{n+1}  \over n}</math>
であり、これは {{math|log 2}} に収束するが、絶対収束しない（[[調和級数]]を参照）。

[[ベルンハルト・リーマン]] (Bernhard Riemann) は{{仮リンク|リーマンの級数定理|en|Riemann series theorem}}と呼ばれる次の定理を証明した。条件収束する級数は、項の順序を入れ替えることによって、{{math|&infin;}} や {{math|&minus;&infin;}} を含むどんな和にも収束させることができる。

典型的な条件収束積分は {{math|sin(''x''{{sup|2}})}} の非負の実軸上の積分である（[[フレネル積分]]を参照）。

== 関連項目 ==
*[[絶対収束]]
*[[無条件収束]]

== 参考文献 ==
* Walter Rudin, ''Principles of Mathematical Analysis'' (McGraw-Hill: New York, 1964).

{{DEFAULTSORT:しようけんしゆうそく}}
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[[Category:積分法]]
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