核 (群論)のソースを表示

{{otheruses|いくつかの正規部分群|準同型写像の核|核 (代数学)}}
[[数学]]の一分野、[[群論]]における群の'''核'''（かく、{{lang-en-short|''core''}}）は、[[群 (数学)|群]]の特定の特別な種類の[[正規部分群]]である。最もよく用いられるのは、部分群の'''正規核'''と群の''' ''p''-核'''の二種類である。

== 正規核 ==
=== 定義 ===
群 ''G'' に対して、''G'' の部分群 ''H'' の'''正規核''' {{lang|en|(''normal core'')}} あるいは'''心''' {{lang|en|(''core'')}}<ref>{{citation
|author=鈴木通夫
|authorlink=鈴木通夫
|year=1977
|title=群論
|volume=上
|publisher=[[岩波書店]]
|isbn=978-4-00-730271-8
|page=62
}}</ref>とは、''H'' に含まれる ''G'' の最大の正規部分群（あるいは同じことだが、''H'' の共軛すべての[[共通部分 (数学)|交わり]]）である。より一般に、''G'' の部分集合 ''S'' に関する ''H'' の核とは、''S'' の元による ''H'' の共軛全ての交わり、すなわち
:<math>\mathrm{Core}_S(H) := \bigcap_{s \in S}{s^{-1}Hs}</math>
をいう。この広い意味での定義での ''S'' = ''G'' に関する核が正規核である。[[正規閉包]] ''H''{{sup|''G''}} = &lang; ''g''{{sup|&minus;1}}''Hg'' | ''g'' &isin; ''G'' &rang; との対比から正規核を ''H''{{sub|''G''}} と表すこともある<ref>{{citation
|last=Schmidt
|first=R.
|year=1994
|title=Subgroup Lattices of Groups
|publisher=Walter de Gruyter
|isbn=3-11-011213-2
|page={{google books quote|id=SVq8Ax-V3vsC|page=199|199}}
}}</ref>。任意の正規部分群に対してその正規核は、それ自身と一致する。

=== 特徴 ===
正規核の概念は、群の集合への[[群作用|作用]]の文脈で重要である。各点における[[等方部分群]]の正規核は、その[[軌道 (群論)|軌道]]の全体にわたって恒等変換として作用する。したがって、作用が推移的な場合、任意の等方部分群の正規核はちょうど作用の[[核 (代数学)|核]]に等しい。

無核部分群 {{lang|en|(''core-free subgroup'')}} は、その正規核が自明群であるような群である。すなわち、推移的かつ忠実な群作用の等方部分群として無核部分群が生じる。

[[アーベル群]]における[[隠れ部分群問題]]の解法を一般化して、任意の群の部分群における正規核を求めることができる。

== ''p''-核 ==
本節で ''G'' は[[有限群]]とするが、いくつかの点においては[[局所有限群]]や[[副有限群]]に一般化される。

=== 定義 ===
素数 ''p'' に対して、有限群の''' ''p''-核''' {{lang|en|(''p-core'')}} は、その最大の正規[[p群| ''p''-部分群]]として定義される。これは、群の任意の[[シロー部分群|シロー ''p''-部分群]]の正規核、したがって <math>\textstyle \bigcap_{P \in \operatorname{Syl}_p(G)}P</math> である{{sfn|Doerk|Hawkes|1992|p={{google books quote|id=E7iL1eWB1TkC|page=21|21}}}}。''G'' の ''p''-核はしばしば ''O''<sub>''p''</sub>(''G'') で表され、また特に、[[有限群]]の[[フィッティング部分群]]の定義などに用いられる。同様に、群 ''G'' の''' ''p''&prime;-核''' {{lang|en|(''p''&prime;-core)}} は、その位数が ''p'' と互いに素であるような ''G'' の最大の正規部分群で、''O''<sub>''p''&prime;</sub>(''G'') で表される<ref name="Gorenstein (1982, p. 32)" />。[[有限単純群の分類]]理論等を含めた有限非可解群の文脈では、2&prime;-核をしばしば単に'''核'''と呼んで ''O''(''G'') と書く<ref name="Gorenstein (1982, p. 32)">{{citation|last=Gorenstein|first=D.|year=1982|title=Finite Simple Groups :An Introduction to Their Classification|publisher=Springer|isbn=978-1-4684-8499-1|page={{google books quote|id=qqXqBwAAQBAJ|page=32|32}}}}</ref>。このとき、「群の核」と「群の部分群の核」は別な意味ということになるので、少々紛らわしい。また、さらに''' ''p''&prime;,''p''-核''' ''O''<sub>''p''&prime;,''p''</sub>(''G'') は、剰余群
: <math>O_{p',p}(G)/O_{p'}(G) = O_p(G/O_{p'}(G))</math>
として定義される。有限群の場合、''p''&prime;,''p''-核は、その唯一の正規 ''p''-冪零部分群になる。

群の ''p''-核を、その唯一の'''連正規''' {{lang|en|(''subnormal'')}} ''p''-部分群として定義することもできる。''p''&prime;-核は唯一の最大連正規 ''p''&prime;-部分群であり、''p''&prime;,''p''-核は唯一の連正規 ''p''-冪零部分群である。

群の ''p''&prime;-核および ''p''&prime;,''p''-核は'''昇 ''p''-列''' {{lang|en|(upper ''p''-series)}} の初項になる。素数の集合 {π<sub>1</sub>, π<sub>2</sub>, ..., π<sub>''n''+1</sub>} に対して、部分群 ''O''<sub>π<sub>1</sub>,π<sub>2</sub>,…,π<sub>''n''+1</sub></sub>(''G'') を
:<math>O_{\pi_1,\pi_2,\dots,\pi_{n+1}}(G)/O_{\pi_1,\pi_2,\dots,\pi_{n}}(G) = O_{\pi_{n+1}}( G/O_{\pi_1,\pi_2,\dots,\pi_{n}}(G) )</math>
で定義すると、π<sub>2''i''−1</sub> = ''p''&prime; および π<sub>2''i''</sub> = ''p'' と取ることにより昇 ''p''-列が形成される。[[降p列|降 ''p''-列]]も存在する。有限群が''' ''p''-冪零''' {{lang|en|(''p''-nilpotent)}} であるとは、それが自身の ''p''&prime;,''p''-核に等しいことをいう。また、有限群が''' ''p''-可解''' {{lang|en|(''p-soluble'')}} であるとは、それが自身の昇 ''p''-列のいずれかの項と一致することをいう。なお、群 ''G'' の昇 ''p''-列の長さを、''G'' の''' ''p''-長さ''' {{lang|en|(''p''-length)}} と呼ぶ。さらに、素数 ''p'' に対して、有限群 ''G'' が''' ''p''-束縛''' {{lang|en|(''p''-constrained)}} であるとは、
: <math>C_G(O_{p',p}(G)/O_{p'}(G)) \subseteq O_{p',p}(G)</math>
が成り立つことを言う。

任意の冪零群は ''p''-冪零であり、任意の ''p''-冪零群は ''p''-可解である。任意の可解群は ''p''-可解であり、任意の ''p''-可解群は ''p''-束縛である。群が ''p''-冪零であるための必要十分条件は、それが'''正規 ''p''-成分''' {{lang|en|(normal ''p''-complement)}} でちょうど ''p''′-核に一致するものを持つことである。

=== 特徴 ===
正規核の場合と同様、集合に[[群作用|作用]]している場合が重要である。''p''-核および ''p''&prime;-核は、ベクトル空間の上への群の作用を研究する[[モジュラー表現論]]において重要である。有限群の ''p''-核は、標数 ''p'' の任意の体上の[[単純加群|既約表現]]の核 {{lang|en|(kernel)}} すべての交わりに一致する。一方、有限群の ''p''&prime;-核は、主 ''p''-ブロックに属する通常（複素）既約表現の核すべての交わりに一致する。また、有限群の ''p''&prime;,''p''-核は標数 ''p'' の任意の体上の主 ''p''-ブロックにおける既約表現全ての交わりである。有限群の ''p''&prime;,''p''-核は、位数が ''p'' で割り切れるアーベル主因子 (abelian chief factor) の中心化群全ての交わりとも一致する（アーベル主因子はどれも主ブロックに属する ''p''-元体上の既約表現である）。有限群の場合、''p''-束縛群が主ブロックに属する標数 ''p'' の体上の既約表現となるための必要十分条件は、その群の ''p''′-核が表現の核に含まれることである。

=== 可解根基 ===
同様の概念として、'''可解根基''' {{lang|en|(''solvable radical'')}} ''O''<sub>&infin;</sub>(''G'') は最大の[[可解群|可解]]正規部分群として定義される{{sfn|Aschbacher|2000|p=158}}。群の ''p''&prime;-核の定義にもいくつか違った種類のものを用いた文献がある。例えば、2&prime;-核との類似性がよいという理由から、非可解群 ''G'' の ''p''&prime;-核を、その可解根基の ''p''&prime;-核として定義した文献がわずかに存在する（[[ジョン・G・トンプソン|トンプソン]]の ''N''-群に関する論文などはその例だが、以降の研究ではトンプソンはこの定義を採用していない）。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{reflist|2}}

== 参考文献 ==
{{refbegin}}
* {{ citation | last = Aschbacher | first = M. | authorlink = Michael Aschbacher | title = Finite Group Theory | publisher = [[Cambridge University Press]] | year = 2000 | edition=Second | isbn = 0-521-78675-4 | url = {{google books|BprbtnlI6HEC|plainurl=yes}} }}
* {{citation | last1 = Doerk | first1 = K. | last2 = Hawkes | first2 = T. | title = Finite Soluble Groups | publisher = [[Walter de Gruyter]] | year = 1992 | isbn = 3-11-012892-6 | url = {{google books|E7iL1eWB1TkC|plainurl=yes}} }}
* {{citation | last1 = Huppert | first1 = B. | last2 =  Blackburn | first2 = N. | title = Finite Groups II | publisher = [[Springer Verlag]] | year = 1982 | isbn = 0-387-10632-4 }}
{{refend}}

{{DEFAULTSORT:かく くんろん}}
[[Category:群論]]
[[Category:数学に関する記事]]