根と係数の関係のソースを表示

'''根と係数の関係'''（こんとけいすうのかんけい）は、[[多項式]]における[[係数]]全体と[[多項式の根|根]]全体の間に成り立つ関係を、係数[[可換体|体]]上の式で表したものである。英語では[[フランソワ・ビエト]]（ビエタ）に因み、Vieta's formulas と言われる。

{{mvar|x}} に関する {{mvar|n}} 次式
:{{math|''a{{sub|n}}'' ''x{{sup|n}}'' + ''a''{{sub|''n''&minus;1}} ''x''{{sup|''n''&minus;1}} + … + ''a''{{sub|1}} ''x'' + ''a''{{sub|0}}}}
の根を {{math2|''α''{{sub|1}}, …, ''α{{sub|n}}''}} とする。（このとき {{math|''a{{sub|n}}'' ≠ 0}} である）
:<math>s^{(n)}_k := \textstyle \sum\limits_{1 \leq i_1 < \cdots \, < i_k \le n} \alpha_{i_1} \cdots \, \alpha_{i_k}</math>
とおくとき、
:<math>s^{(n)}_k = (-1)^k \cdot \frac{a_{n-k}}{a_n} \qquad (k=1, \cdots , n)</math>
が成り立つ。これを根と係数の関係という。

<math>s^{(n)}_k</math> は {{math2|''α''{{sub|1}}, …, ''α{{sub|n}}''}} に関する {{mvar|k}} 次[[対称式#基本対称式|基本対称式]]である。

特に次の式が成り立つ。
:<math>\alpha_1 + \cdots + \alpha_n = - \frac{a_{n-1}}{a_n}</math>
:<math>\alpha_1 \cdots \alpha_n = (-1)^n \cdot \frac{a_0}{a_n}</math>

[[不変式]]論の定理である。

== 次数ごとの例 ==
=== 二次式 ===
{{mvar|x}} についての二次式
:<math>f(x) = ax^2 + bx + c</math>
の根を {{math2|''x'' {{=}} ''α'', ''β''}} とする。[[因数定理]]より
:<math>f(x) = a(x - \alpha)(x - \beta)</math>
であるから、展開して係数を比較すると
:<math>\begin{cases}
\alpha + \beta = - \cfrac{b}{a} \\[7pt]
\alpha \beta = \cfrac{c}{a}
\end{cases}</math>
を得る。

[[初等数学]]において、因数定理や[[代数学の基本定理]]を習っていない場合、[[二次方程式の解の公式]]から解と係数の関係を導くという方法がとられることがある。

=== 三次式 ===
{{mvar|x}} についての三次式
:<math>g(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d</math>
の根を {{math2|''x'' {{=}} ''α'', ''β'', ''γ''}} とする。[[因数定理]]より
:<math>f(x) = a(x - \alpha)(x - \beta)(x- \gamma)</math>
であるから、展開して係数を比較すると
:<math>\begin{cases}
\alpha + \beta + \gamma = - \cfrac{b}{a} \\[7pt]
\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha = \cfrac{c}{a} \\[7pt]
\alpha \beta \gamma = - \cfrac{d}{a}
\end{cases}</math>
が三次の場合として成り立つ。

=== 四次式 ===
{{mvar|x}} についての四次式
:<math>g(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e</math>
の根を {{math2|''x'' {{=}} ''α'', ''β'', ''γ'', ''δ''}} とする。[[因数定理]]より
:<math>f(x) = a(x - \alpha)(x - \beta)(x- \gamma)(x- \delta)</math>
であるから、展開して係数を比較すると
:<math>\begin{cases}
\alpha + \beta + \gamma + \delta = - \cfrac{b}{a} \\[7pt]
\alpha \beta + \alpha \gamma + \alpha \delta + \beta \gamma + \beta \delta + \gamma \delta = \cfrac{c}{a} \\[7pt]
\alpha \beta \gamma + \alpha \beta \delta + \alpha \gamma \delta + \beta \gamma \delta = - \cfrac{d}{a} \\[7pt]
\alpha \beta \gamma \delta = \cfrac{e}{a}
\end{cases}</math>
が四次の場合として成り立つ。

=== 高次 ===
5次以上の多項式には根の公式は存在しない（[[アーベル-ルフィニの定理]]）が、同様に根と係数の関係が成り立つ。

== 証明 ==
{{mvar|x}} に関する {{mvar|n}} 次式を
:{{math|1=''f''(''x'') = ''a{{sub|n}}'' ''x{{sup|n}}'' + ''a''{{sub|''n''&minus;1}} ''x''{{sup|''n''&minus;1}} + … + ''a''{{sub|1}} ''x'' + ''a''{{sub|0}}}}
とする。

[[代数学の基本定理]]より、{{math|''f''(''x'')}} は[[複素数]]の範囲で根を少なくとも1つ持つ。それを {{math|''α''{{sub|1}}}} とする。

[[因数定理]]より、
:{{math|1=''f''(''x'') = (''x'' &minus; ''α''{{sub|1}}) ''g''(''x'')}}
と表せる。{{math|''g''(''x'')}} は {{math|(''n'' &minus; 1)}} 次式である。

{{math|''g''(''x'')}} に対して、同様に代数学の基本定理、因数定理を適用し、これを繰り返すと、
:{{math|1=''f''(''x'') = ''a{{sub|n}}'' (''x'' &minus; ''α''{{sub|1}}) … (''x'' &minus; ''α{{sub|n}}'')}}

右辺を展開し、元の式と係数比較をすると
:<math>s^{(n)}_k = (-1)^k \cdot \frac{a_{n-k}}{a_n} \qquad (k=1, \cdots , n)</math>
が成り立つ。■
== 関連項目 ==
* [[Vieta jumping]]
== 外部リンク ==
*{{kotobank|根と係数の関係}}
* {{高校数学の美しい物語|1051|三次，四次，ｎ次方程式の解と係数の関係とその証明}}

{{多項式}}

{{DEFAULTSORT:こんとけいすうのかんけい}}
[[Category:初等数学]]
[[Category:多項式]]
[[Category:数学に関する記事]]