根号のソースを表示

{{記号文字|<math>\sqrt{\;}</math>}}
'''根号'''（こんごう、英 : {{lang|en|radical symbol}}）とは、ある数が[[冪乗|{{mvar|n}}乗]]される前の元の[[数]]、すなわちある数の[[冪根]]を表すのに用いる記号で、{{math|√}} のことである。

2が[[自乗|2乗]]される前の数は、'''根号'''を用いて <math display="inline">\sqrt{2}</math>（ルート2）と表し、これを2の[[平方根]]という。

3が3乗される前の数は <math display="inline">\sqrt[3]{3}</math> と表し、これを3の[[立方根]]という。

このように、ある数を {{mvar|a}} とおいた場合、{{mvar|a}} が {{mvar|n}}乗される前の数、すなわち {{mvar|a}} の {{mvar|n}}乗根は <math display="inline">\sqrt[n]{a}</math>と表される<ref name=":0">{{Cite web|和書|url=https://www.nli-research.co.jp/report/detail/id=64885?site=nli |title=数学記号の由来について（5）－べき乗、平方根 等－ |access-date=2022-6-12 |publisher=ニッセイ基礎研究所}}</ref>。

== 歴史 ==
冪根という数の概念は[[紀元前]]の[[ピタゴラス]]の時代からあったが、その頃は単なる[[無理数]]で記号は用いられていなかった<ref name=":2">{{Harvnb|岡部ら|2012|p=36}}</ref>。

その後、インドの数学者[[ブラフマグプタ|ブラーマグプタ]]は無理を表す「carani」の頭文字<math>c</math>を用いて表す方法を生み出した<ref name=":2" />。

[[13世紀]]には記号が根の意味を持つようになりラテン語の {{lang|la|radix}}（根や根源の意、英語の {{Lang|en|root}} に相当）を用いたり、イタリアでは radix を略した記号として大文字の<math>R</math>と小文字の<math>x</math>を組み合わせた記号が使われるようになった。

イギリス系では latus（[[正方形]]の一辺の意、英語の side に相当）の頭文字<math>l</math>が使われた<ref name=":1">{{Harvnb|岡部ら|2012|p=37}}</ref>。

ドイツの数学者[[クリストッフ・ルドルフ]]による[[1525年]]の著作 “''Coss''”（『代数』）で、根号の原型となる <math>\surd</math> が初めて用いられたとされ、この記号は radix の頭文字の r を変形したものであるといわれるが諸説ある<ref name=":0" />。

上に横棒を引いて範囲を示すのは、[[1637年]]に[[ルネ・デカルト]]が考案した<ref name=":0" />。

平方根以外のn乗根についてはしばらく形式が決まらず、[[アイザック・ニュートン]]は <math>\surd^3</math>として立方根を表した一方で、デカルトは cube の頭文字の c を用いて立方根を<math>\sqrt{c.a}</math>（<math> a</math>は何らかの数）と表した<ref name=":1" />。

このような表し方の違いは、[[17世紀]]から[[18世紀]]頃に現在の表し方に統一されていった<ref name=":0" /><ref name=":1" />。

== 用例 ==
共通のルールとして、乗法や除法の記号は省略し、除法の場合は分数で表す。

<math>3\times\sqrt{2} \rightarrow3\sqrt{2}  ,  \quad \sqrt{2} \div3\rightarrow\frac{\sqrt{2}}{3}</math>

=== 平方根 ===
{{math|√}} の横線の下に[[平方根]]を求める[[数式]]を書く。式が長い場合は必要なだけ横線をのばす。

:<math> \sqrt{2\,},\quad \sqrt{x\,},\quad \sqrt{x + y + z + w + \dotsb \;}</math>
[[演算の優先順位]]は横線により示されるが、その後も数式が続くときは印刷の都合などで判別しにくいことがあるので、全体を括弧でくくったり、乗算記号を書いたりすることもある。
:<math> \sqrt{x}\,y = \bigl( \sqrt{x} \bigr) y = \sqrt{x} \cdot y \ne \sqrt {xy} </math><ref group="注釈"><math display="inline">\sqrt{x}y</math> は <math display="inline">\sqrt{x}</math> に <math display="inline"> y</math> をかけるのに対して、<math display="inline">\sqrt{xy}</math> は根号の中の数が <math display="inline"> x</math> と <math display="inline"> y</math> をかけたものになる。この違いに注意する必要がある。</ref>

非負の実数の平方根（のうち根号で表される方）は<math display="inline">\frac{1}{2}</math>乗であり、根号の代わりに[[冪乗]]で表すこともある。

:<math> \sqrt x = x ^{\frac{1}{2}} </math>

[[開平法]]の[[筆算]]においては、{{math|√}} の横棒の上に被開平数2桁ごとに求めた根の値を書く。左に垂れ下がる記号の形状と、横棒の上に求めた値を書く点は、[[除算]]の筆算の記号（[[⟌]]）と共通しているが、「{{math|√}}」と「⟌」は別物である。

==== 多重根号 ====
{{Main|多重根号}}
'''根号'''は必要なだけ[[ネスティング|入れ子]]にできる。このように入れ子にした式は'''根号'''の中に無理式を含むパターンであることがほとんどであるため、基本的に多重根号となる。

:<math>\quad \sqrt{ x + \sqrt{ x + \sqrt{ x + \sqrt{ x + \dotsb\ }\;}\;}\,} </math>

=== イデアルの根基 ===
{{main|イデアルの根基}}
[[可換環]]の[[イデアル]] <math display="inline">\mathfrak{a}</math> の根基は
: <math>\sqrt{\mathfrak{a}} := \bigl\{x \mathrel{\big|} x^n \in \mathfrak{a}\text{ for some integer }n > 0 \bigr\}. </math><ref>{{Cite web |url=https://mathworld.wolfram.com/IdealRadical.html |title=Ideal Radical |access-date=2022-6-13 |publisher=Wolfram MathWorld}}</ref>
非可換の場合は
: <math>\sqrt{\mathfrak{a}} := \bigl\{ a \mathrel{\big|} \text{if }S\text{ is an }m\text{-system, and }a\in S\text{ then }S\cap \mathfrak{a} \ne \empty\bigr\}.</math>

=== コンピュータでの表現 ===
[[プレーンテキスト]]で表すときは、√の後に数字等を続ける。あるいは単に、1/2乗と表す。演算の優先順位がはっきりしないなら括弧を使う。

:√x
:x ^ (1/2)
:√(x + b)

[[HyperText Markup Language|HTML]]等では、数字等の上に[[オーバーライン]]をつけることもある。環境によっては根号と綺麗に繋がらない。

:√<span style="text-decoration: overline;">x</span>

== 符号位置 ==
{| class="wikitable" style="text-align:center;"
!記号!![[Unicode]]!![[JIS X 0213]]!![[文字参照]]!!名称
{{CharCode|8730|221A|1-2-69|根号<br />SQUARE ROOT|radic}}
{{CharCode|8731|221B|-|三乗根号<br />CUBIC ROOT|}}
{{CharCode|8732|221C|-|四乗根号<br />FOURTH ROOT|}}
|}

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}

=== 注釈 ===
<references group="注釈" />

=== 出典 ===
<references />

== 参考文献 ==
* {{cite book|title=はじめて読む数学の歴史|author=上垣渉|publisher=ベレ出版|year=2006|isbn=978-4860641108}}
* {{Cite book|和書|title=身近な数学の記号たち|date=2012-8-1|publisher=株式会社　オーム社|isbn=4274212432|author=岡部恒治|author2=川村康文|author3=長谷川愛美|author4=本丸諒|author5=松本悠|ref=harv}}
== 外部リンク ==
* {{PlanetMath|title=radical of an ideal|urlname=Radical}}
* [http://www.rimath.saitama-u.ac.jp/lab.jp/fsakai/ha.html 記号代数学の成立]
* [http://miuse.mie-u.ac.jp:8080/bitstream/10076/4218/1/AA114515720200009.PDF 三重大学教育学部附属教育実践総合センター紀要20, pp. 57&ndash;66]{{リンク切れ|date=2022年6月}}
{{DEFAULTSORT:こんこう}}
[[Category:数学記号]]
[[Category:約物]]
[[Category:数学に関する記事]]