楕円のソースを表示

{{出典の明記|date=2023年5月}}
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[[File:Conic sections 2.png|thumb|right|300px|円錐切断面の4つのタイプ（[[放物線]]（左）、楕円（中央）、[[円 (数学)|円]]（中央）、[[双曲線]]（右））]]

'''楕円'''（だえん、{{正字|{{kyujitai|'''橢圓'''}}}}、{{lang-en-short|ellipse}}）とは、[[平面]]上のある2定点からの距離の和が一定となるような点の集合から作られる[[曲線]]である。

基準となる2定点を[[焦点 (幾何学)|焦点]]という。[[円錐曲線]]の一種である。

==概要==
2つの焦点が近いほど楕円は[[円 (数学)|円]]に近づき、2つの焦点が一致したとき楕円はその点を中心とした円になる。そのため円は楕円の特殊な場合であると考えることもできる。

楕円の2焦点を通る[[直線]]と楕円の2交点を端点とした[[線分]]を長軸という。長軸の長さを長径という。長軸と楕円との交点では2焦点からの距離の差が最大となる。また、長軸の[[垂直二等分線]]と楕円の2交点を端点とした線分を短軸という。短軸の長さを短径という。

=== 用語 ===
* 長軸と短軸の交点は楕円の{{Visible anchor|'''中心'''}}と呼ばれる。
* 長軸を中心で分けた2つの線分は{{Visible anchor|'''半長軸'''}}と呼ばれ、その長さを{{Visible anchor|'''長半径'''}}という。
* 短軸を中心で分けた2つの線分は{{Visible anchor|'''半短軸'''}}と呼ばれ、その長さを{{Visible anchor|'''短半径'''}}という。
* 短径と長径の比は{{Visible anchor|'''楕円率'''}}と呼ばれる。

[[Image:Ellipse axis.png|thumb|300px|right|楕円の長軸(緑線)と短軸(ピンク線)]]

== 楕円の方程式 ==

=== 一般形 ===
[[2次元]][[直交座標系]]において、楕円の2焦点の座標をそれぞれ <math>(a, b)</math>, <math>(c, d)</math>、焦点からの距離の和を <math>k</math> とする。このとき楕円の方程式は、次のように表される。これを'''一般形'''という。

<math>\sqrt{(x-a)^2 + (y-b)^2} + \sqrt{(x-c)^2 + (y-d)^2} = k </math>

この方程式は、うまく式変形することにより、必ず

<math>Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0</math>　　（ただし <math>A, B, C, D, E, F</math> は実数）

という形に表すことができる。証明は以下の通り。

{{節スタブ}}


=== 標準形 ===
原点 ''O'' が長軸と短軸の交点となる楕円は、代数的に次のように書ける。これを'''標準形'''という。
:<math>\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1. </math>
''a'' > ''b'' > 0 のとき、2''a'' は長軸の長さ（長径）、2''b'' は短軸の長さ（短径）となる。''xy'' 平面上にグラフを書くと横長の楕円となる。また、焦点は''x'' 軸上にあり、その座標は <math>\left( \sqrt{a^2 - b^2} , 0\right) , \left( -\sqrt{a^2 - b^2} , 0\right)</math> となる。

''b'' > ''a'' > 0 のときは逆に、2''b'' が長軸の長さ（長径）、2''a'' が短軸の長さ（短径）となる。したがって、''xy'' 平面上にグラフを書くと縦長の楕円となる。また、焦点は ''y'' 軸上にあり、その座標は <math>\left(0, \sqrt{b^2 - a^2} \right) , \left(0, -\sqrt{b^2 - a^2} \right)</math>となる。(''a'' = ''b''の時は円となる)

[[頂点 (曲線)|頂点]]の座標は ''a'' ≠ ''b'' のとき <math>(\pm a, 0), (0, \pm b) </math> となる。


=== 媒介変数表示 ===
同じ楕円は、''t'' を[[媒介変数]]とする[[媒介変数表示]]では、次のように表現できる。
:<math>x = a\,\cos t</math>
:<math>y = b\,\sin t</math>
:<math>0 \leq t < 2\pi</math>
ただし、''t'' は (x,y) ベクトルのx軸に対する角度ではない（天体力学では[[離心近点角]]と呼ばれる）。
{{seealso|緯度#更成緯度 (reduced latitude)}}
[[Image:Elliko-sk.svg|thumb|right|媒介変数表示により表された楕円上の点Pと媒介変数tの関係。tは点Pとx軸の角度とは異なる。]]
また、<math>u = \tan(t/2)</math> と置くと、
:<math>
\begin{align}
\cos(t)&=\frac{1-u^2}{1+u^2} \\
\sin(t)&=\frac{2u}{1+u^2}
\end{align}
</math>
となるので、下記の表現でも楕円を表すことができる。この場合uの範囲は[0,1]である。
:<math>
\begin{align}
x&=\frac{a(1-u^2)}{1+u^2} \\
y&=\frac{2bu}{1+u^2}
\end{align}
</math>


=== 複素数平面 ===
複素平面{{math|'''C'''}}においては,{{math|'''C'''}}の二点<math>a_1, a_2</math>からの点<math>z</math>への
距離<math>r_1, r_2</math>の和が<math>l</math>であるものの軌跡である。
:<math>
\begin{align}
 & r_{1,2} = | z - a_{1,2} | \\
 & r_1 + r_2 = l
\end{align}
</math>

== 楕円の幾何学的諸量 ==
楕円の形状は[[離心率]] ''e'' で表現される。
:<math>e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}</math>
別途、[[扁平率]] ''f'' でも表現できる。
:<math>f = 1 - \frac{b}{a}</math>

楕円の[[面積]] ''S'' は次のように表現できる。
:<math>S = \pi ab\, </math>

楕円の[[周長]] ''C'' は ''a'' > ''b'' のとき、[[楕円積分#第二種完全楕円積分|第二種完全楕円積分]]を用いて次のように表現できる。
:<math>\begin{align}
C & = 4 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{a^2 \cos^2 t + b^2 \sin^2 t}\,dt \\
 & = 4a \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1-e^2 \sin^2 t}\,dt\\
 & = 2\pi a \sum_{n=0}^\infty {e^{2n}\over 1-2n} \prod_{m=1}^n \left(1-{ 1 \over 2m}\right)^2
\end{align}</math>
また <math>n=f/(2-f)</math> とおき、[[二項係数]]を使って、次のようにも表現できる（Gauss-Kummer級数）<ref>{{MathWorld|urlname=Gauss-KummerSeries|title=Gauss-Kummer Series}}</ref>。
:<math>\begin{align}
C =  \frac{2\pi a}{1+n} \sum_{i=0}^\infty \binom{1/2}{i}^2 n^{2i} .
\end{align}</math>

計算機で計算する場合に有用な式としては、分母が <math>\tfrac{27}{1024} \left (\tfrac{a-b}{a+b} \right )^{8} </math> の率で消える式が次のように導出されている<ref>Cetin Hakimoglu-Brown [http://www.iamned.com/math/ iamned.com math page ]</ref>。

:<math>
C = \frac{8\pi}{Q^{5/4}}\sum_{n=0}^\infty  \frac{ \left(\tfrac{1}{12} \right)_{n} \left(\tfrac{5}{12} \right)_{n} \left(v_{1}+nv_{2} \right)r^{n}}{ \left(n! \right)^{2}} </math>

::<math> r = \tfrac{432 \left(a^{2}-b^{2} \right)^{2}(a-b)^{6}ba}{Q^3}\, </math>
::<math> Q = b^{4}+60ab^{3}+134a^{2}b^{2}+60a^{3}b+a^{4}\, </math>
::<math> v_{1} = ba \left(15b^{4}+68ab^{3}+90a^{2}b^{2}+68a^{3}b+15a^{4} \right)\, </math>
::<math> v_{2} = -a^{6}-b^{6}+126ab^{5}+1041a^{2}b^{4}+1764a^{3}b^{3}+1041a^{4}b^{2}+126a^{5}b\,</math>

[[近似式]]としては、[[シュリニヴァーサ・ラマヌジャン]]による次の二式がある。簡便なものとしては、

:<math>C \approx \pi \left[3(a+b) - \sqrt{(3a+b)(a+3b)}~\right] = \pi \left[3(a+b) - \sqrt{10ab+3 \left(a^2+b^2 \right)} ~ \right]</math>

があり、さらに良い近似として、次式がある。

:<math>C \approx \pi (a + b) \left[ 1 + \frac{3 \left( \dfrac{a-b}{a+b} \right)^2}{10 + \sqrt{4 - 3 \left( \dfrac{a-b}{a+b} \right)^2}} \right]</math>

より一般的には、対応する[[角度]]の関数としての、周長の一部である楕円[[弧長]]は、第二種不完全楕円積分で表される。

{{For2|対応する角度を[[緯度#地理緯度 (geographic latitude)|地理緯度]]に見立てた場合の楕円弧長|子午線弧#子午線弧長の計算}}

== 楕円弧長と第二種不完全楕円積分の関係の詳細 ==
楕円を媒介変数表示
:<math>x = a\,\cos t,\,y = b\,\sin t</math>
で表した時、<math>t = t_1</math>から<math>t = t_2</math>までの弧長<math>L</math>は
:<math>\begin{align}
L & =  \int_{t_1}^{t_2} \sqrt{\left({dx \over dt}\right)^2 + \left({dy \over dt}\right)^2}\,dt \\
 & = \int_{t_1}^{t_2} \sqrt{a^2 \sin^2 t + b^2 \cos^2 t}\,dt
\end{align}</math>
で求められる。これは、<math>a,b</math>の大小関係に関係なく成立する。

この式は第二種不完全楕円積分で表す事ができるが、
<math>a,b</math>の大小関係や<math>t_1,t_2</math>の範囲により場合分けが必要になる為、以下に詳述する。

その前に、媒介変数表示について、補足しておく。
楕円の媒介変数表示には、通常
:<math>x = a\,\cos t,\,y = b\,\sin t</math>
が用いられる。この場合、t = 0 では、点<math>(a, 0)</math>をとり、
t = <math>\pi/2</math>では点<math>(0, b)</math>
をとるので、tはx軸の正の部分を基準線とする反時計方向の角度になっている。

一方、媒介変数表示は
:<math>x = a\,\sin t,\,y = b\,\cos t</math>
とする事もでき、この場合、t = 0 では、点<math>(0, b)</math>をとり、
t = <math>\pi/2</math>では点<math>(a, 0)</math>
をとるので、tはy軸の正の部分を基準線とする時計方向の角度になっている。

第二種不完全楕円積分を
:<math>\begin{align}
E(\varphi,k) &= \int_0^\varphi \sqrt{1-k^2\sin^2\phi} ~ d\phi\end{align}
</math>
:<math>0 \leq \varphi \leq \pi/2</math>
と表記する。
さらに、楕円上の点を指定する指標として、<math>(x,y)</math>ベクトルのx軸に対する角度<math>\theta</math>も導入する。
:(<math>\tan\theta = y/x, -\pi/2 \leq \theta \leq \pi/2</math>)

A) <math>0 < b \leq a</math> の時
:<math>e = \sqrt{1 - (b/a)^2}</math>
楕円(の右半分)を
:<math>x = a\,\sin u,\, y = b\,\cos u,\,0 \leq u \leq \pi</math>
で表す。<math>a\,E(u,e)</math>は点<math>(0,b)</math>から<math>u</math>が与える点までの弧長となっている。

この時
:<math>y/x = \tan\theta = (b/a)/\tan u</math>
:<math>\tan u = (b/a)/\tan\theta</math>
:<math>\begin{align}
L & =  \int_{u_1}^{u_2} \sqrt{\left({dx \over du}\right)^2 + \left({dy \over du}\right)^2}\,du \\
 & = \int_{u_1}^{u_2} \sqrt{a^2 \cos^2 u + b^2 \sin^2 u}\,du \\
 & = a\,\int_{u_1}^{u_2} \sqrt{1-e^2 \sin^2 u}\,du
\end{align}</math>
となる。<math>E(u,e)</math>が点<math>(a,0)</math>を最大の終点とする積分になる事を考慮し、
場合分けをし積分範囲を決めると、次のようになる。
:i) <math>0 \leq \theta_1 \leq \theta_2 \leq \pi/2</math>
::<math>L = a\,(E(u_2,e)-E(u_1,e))</math>
::<math>u_1 = th2u(\theta_2),\,u_2 = th2u(\theta_1)</math>
:ii) <math>-\pi/2 \leq \theta_1 < 0 \leq \theta_2 \leq \pi/2</math>
::<math>L = a\,(2E(\pi/2,e)-E(u_2,e)-E(u_1,e))</math>
::<math>u_1 = th2u(\theta_2),\,u_2 = th2u(-\theta_1)</math>
:iii) <math>-\pi/2 \leq \theta_1 \leq \theta_2 < 0 </math>
::<math>L = a\,(E(u_2,e)-E(u_1,e))</math>
::<math>u_1 = th2u(-\theta_1),\,u_2 = th2u(-\theta_2)</math>
ここで
:<math>th2u(\theta) = \tan^{-1}((b/a)/\tan\theta)</math>
:（ただし、<math>th2u(0) = \pi/2,\,th2u(\pm\pi/2) = 0</math>とする）
である。

B) <math>0 < a \leq b</math> の時
:<math>e = \sqrt{1 - (a/b)^2}</math>
楕円(の右半分)を
:<math>x = a\,\cos v,\,y = b\,\sin v,\,-\pi/2 \leq v \leq \pi/2</math>
で表す。<math>b\,E(v,e)</math>は点<math>(a,0)</math>から<math>v</math>が与える点までの弧長となっている。

この時
:<math>y/x = \tan\theta = (b/a)\tan v</math>
:<math>\tan v = (a/b)\tan\theta</math>
:<math>\begin{align}
L & =  \int_{v_1}^{v_2} \sqrt{\left({dx \over dv}\right)^2 + \left({dy \over dv}\right)^2}\,dv \\
 & = \int_{v_1}^{v_2} \sqrt{a^2 \sin^2 v + b^2 \cos^2 v}\,dv \\
 & = b\,\int_{v_1}^{v_2} \sqrt{1-e^2 \sin^2 v}\,dv
\end{align}</math>
となる。<math>E(v,e)</math>が点<math>(a,0)</math>を始点とする積分になる事を考慮し、
場合分けをし積分範囲を決めると、次のようになる。
:i) <math>0 \leq \theta_1 \leq \theta_2 \leq \pi/2</math>
::<math>L = b\,(E(v_2,e)-E(v_1,e))</math>
::<math>v_1 = th2v(\theta_1),\,v_2 = th2v(\theta_2)</math>
:ii) <math>-\pi/2 < \theta_1 < 0 \leq \theta_2 \leq \pi/2</math>
::<math>L = b\,(E(v_2,e)+E(v_1,e))</math>
::<math>v_1 = th2v(-\theta_1),\,v_2 = th2v(\theta_2)</math>
:iii) <math>-\pi/2 \leq \theta_1 \leq \theta_2 < 0 </math>
::<math>L = b\,(E(v_2,e)-E(v_1,e))</math>
::<math>v_1 = th2v(-\theta_2),\,v_2 = th2v(-\theta_1)</math>
ここで
:<math>th2v(\theta) = \tan^{-1}((a/b)\tan\theta)</math>
:（ただし、<math>th2v(\pm\pi/2) = \pm\pi/2</math>とする）
である。
== 作図法 ==
[[Image:ElipseAnimada.gif|thumb|200px|糸を使った作図例]]
[[File:Archimedes Trammel.gif|thumb|200px|アルキメデスの楕円コンパス[[:en:Trammel of Archimedes]]を使った作図例]]
[[Image:Ellipse as hypotrochoid.gif|thumb|500px|楕円は内トロコイドの特殊な場合として表される。図は ''r''<sub>c</sub> = 10, ''r''<sub>m</sub> = 5, ''r''<sub>d</sub> = 1 の場合。]]
2つの焦点に、焦点間距離よりも長い1本の糸の両端をそれぞれ固定し、糸が張る状態で節に取り付けた筆記具を動かす。この他、楕円コンパス、楕円テンプレートなどを使って作図はできる。

また、[[トロコイド#内トロコイド|内トロコイド]]の特殊な場合に楕円が描画される。

== 歴史 ==
[[中国語]]で楕円の楕は「木の切り株」の意味で「木の切り口」の
形から名付けられたと考えられている。
日本では田畑の実際の形から「[[飯櫃]]」「平卵形」などと呼ばれていたが、[[関孝和]]は「側円」と呼んだ。[[江戸時代]]には側円と呼ばれ[[明治]]になって楕円と呼ばれるようになった。

== 脚注 ==
<references/>

== 参考文献 ==
*『曲線の事典 性質・歴史・作図法』礒田正美、Maria G. Bartolini Bussi編、田端毅、讃岐勝、礒田正美著:共立出版、2009年 ISBN 9784320019072

== 関連項目 ==
* [[円錐曲線]]: 楕円は円錐曲線のひとつに分類される。円錐曲線には[[放物線]]、[[双曲線]]も含まれる。
* [[楕円軌道]]: [[惑星]]、[[衛星]]、[[人工衛星]]の[[軌道 (力学)|軌道]]は楕円軌道を描く。
** [[ケプラーの法則]]
* [[楕円曲線]]: 楕円形をした曲線のことを指している用語ではないので、注意が必要である。
** [[楕円曲線暗号]]
* [[オーバル]]
**[[オーバルオフィス]]：アメリカ大統領の執務室（[[ホワイトハウス]]）。
* [[楕円積分]]: 元々、楕円や[[レムニスケート]]の周長から研究されてきた。
* [[楕円関数]]: [[楕円積分#第一種完全楕円積分|第一種楕円積分]]の[[逆関数]]を発端として研究されてきた。
* [[楕円体]]
** [[回転楕円体]]
** [[地球楕円体]]
* [[子午線弧]]
* [[ラグビーボール]]: 長径280 - 300[mm], 長径方向の外周740 - 770[mm], 短径方向の外周580 - 620[mm]と規定されている。({{ wayback | date = 20091116195453 | url = http://www.irb.com/mm/document/lawsregs/0/law2en_7708.pdf }}, 短径そのものは規定されていない)

== 外部リンク ==
{{commons&cat|Ellipses|Ellipses}}
*[http://math-info.criced.tsukuba.ac.jp/museum/Mathematics_tools/oval_gear/oval_gear.htm 楕円歯車]: [[オランダ]]の[[数学者]][[:en:Frans van Schooten]]が著書 "[https://books.google.co.jp/books/download/Francisci_a_Schooten_Leydensis_De_organi.pdf?id=fZg_AAAAcAAJ&output=pdf&sig=ACfU3U0GHkSs2WlagrGWvUvSLKSHAe8f9Q ''De organica conicarum sectionum in plano descriptione tractatus'']" において紹介している機構

{{Normdaten}}
{{DEFAULTSORT:たえん}}
[[Category:閉曲線]]
[[Category:初等幾何学]]
[[Category:円錐曲線]]
[[Category:数学に関する記事]]