楕円体のソースを表示

{{出典の明記|date=2015年5月}}
{{Expand English|Ellipsoid|date=2024年5月}}
[[File:Triaxial Ellipsoid.jpg|thumb|楕円体（c>b>aの場合）]]
[[Image:Gnuplot ellipsoid.svg|thumb|[[gnuplot]]による楕円体の描画例]]
'''楕円体'''（だえんたい、ellipsoid）とは[[楕円]]を三次元へ拡張したような[[図形]]であり、その表面は[[二次曲面]]である。楕円面の[[方程式]]は
:<math>\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1</math>
である。ここで ''a'', ''b'', ''c'' はそれぞれx軸、y軸、z軸方向の[[径]]の半分の長さに相当する。なお ''a'' = ''b'' = ''c'' である楕円体は[[球]]である。また ''a'', ''b'', ''c'' のうちいずれか2つが等しい楕円体は楕円の軸を中心に楕円を回転して得られる[[回転体]]であり、長軸を回転軸にしたものを[[長球]]、短軸を回転軸にしたものを[[扁球]]といい、併せて[[回転楕円体]]と呼ばれる。楕円体は球と同様にxy平面、yz平面、zx平面に関して[[対称]]である。

== 楕円体の性質を表す式 ==
楕円面の[[媒介変数表示]]は[[極座標系]]を用いると
:<math>\begin{align}x&=a \sin \theta \cos \varphi\\
y&=b \sin \theta \sin \varphi\\
z&=c \cos \theta \end{align}</math>

:<math>0 \le \theta \le \pi ,\quad 0 \le \varphi < 2 \pi</math>
と表される。楕円体の[[体積]] ''V'' は
:<math>V = \frac{4}{3} \pi abc</math>
である。[[表面積]] ''S'' は
:<math>S = 2\pi\left(c^2+b\sqrt{a^2-c^2}E(o\!\varepsilon,m)+\frac{bc^2}{\sqrt{a^2-c^2}}F(o\!\varepsilon,m)\right)</math>
となる。<math>o\!\varepsilon</math>はモジュラー角、<math>m=\frac{b^2-c^2}{b^2 \sin^2 o\!\varepsilon}</math>、<math>E(o\!\varepsilon,m)</math>、<math>F(o\!\varepsilon,m)</math> はそれぞれ第一種および第二種[[楕円積分]]である。近似式で
:<math>S \approx 4\pi\!\left(\frac{ a^p b^p+a^p c^p+b^p c^p }{3}\right)^{1/p}</math>
という公式が知られている。ここでpは定数で、''p'' = 1.6075 のとき[[誤差]]は最大でも1.061%である。

== 関連項目 ==
{{commonscat|Ellipsoids}}
* [[楕円]]
* [[楕円積分]]
* [[双曲面]]
* [[ホメオイド]]

{{立体}}
{{DEFAULTSORT:たえんたい}}
[[Category:曲面]]
[[Category:数学に関する記事]]