楕円曲線のハッセの定理のソースを表示

{{要改訳}}
'''楕円曲線のハッセの定理'''（{{Lang-en|Hasse's theorem on elliptic curves}}）は、ハッセの境界とも呼ばれ、[[有限体]]上の[[楕円曲線]]の持つ点の数の、上と下からの評価を与える。

位数 ''q'' の有限体上の楕円曲線 ''E'' の点の数が ''N'' であるとき、[[ヘルムート・ハッセ]]（Helmut Hasse）の結果は、その個数が
:<math>|N - (q+1)| \le 2 \sqrt{q}</math>
であることを示している。つまり、この解釈は、''N'' が ''q'' + 1 （これは同じ体の上の[[射影直線]]（projective line）の点の数である）と異なっていれば、この差「エラー項」は、絶対値が <math>\sqrt{q}</math> である2つの[[複素数]]の和である。
<!--'''Hasse's theorem on elliptic curves''', also referred to as the Hasse bound, provides an estimate of the number of points on an [[elliptic curve]] over a [[finite field]], bounding the value both above and below. 

If ''N'' is the number of points on the elliptic curve ''E'' over a finite field with  ''q'' elements, then [[Helmut Hasse]]'s result states that

:<math>|N - (q+1)| \le 2 \sqrt{q}.</math>

That is, the interpretation is that ''N'' differs from ''q'' + 1, the number of points of the [[projective line]] over the same field, by an 'error term' that is the sum of two [[complex number]]s, each of absolute value √''q''.-->

この結果は、[[エミール・アルティン]]（Emil Artin）により彼の論文で元々予想されたものである<ref>{{Citation|last1=Artin|first1=Emil|author1-link=Emil Artin|title=Quadratische Körper im Gebiete der höheren Kongruenzen. II. Analytischer Teil|doi=10.1007/BF01181075|year=1924|mr=1544652|zbl=51.0144.05|journal=[[Mathematische Zeitschrift]]|issn=0025-5874|pages=207–246|volume=19|issue=1}}</ref>。これは1933年にハッセ(Hasse)により証明され、証明は一連の論文で出版された<ref>{{Citation|last1=Hasse|first1=Helmut|author1-link=Helmut Hasse|title=Zur Theorie der abstrakten elliptischen Funktionenkörper. I, II &amp; III|doi=10.1515/crll.1936.175.193|year=1936|zbl=0014.14903|journal=[[Crelle's Journal]]|issn=0075-4102|volume=1936|issue=175}}
</ref>。  

ハッセの定理は、E の[[合同ゼータ函数|局所ゼータ函数]]の根の[[絶対値]]の決定と同値である。この形で、楕円曲線に付随する[[代数多様体の函数体|函数体]]の[[リーマン予想]]との類似を理解することができる。
<!--This result had originally been conjectured by [[Emil Artin]] in his thesis.<ref>{{Citation | last1=Artin | first1=Emil | author1-link=Emil Artin | title=Quadratische Körper im Gebiete der höheren Kongruenzen. II. Analytischer Teil | doi=10.1007/BF01181075 | year=1924 | mr=1544652 | zbl=51.0144.05 | journal=[[Mathematische Zeitschrift]] | issn=0025-5874 | pages=207–246 | volume=19 | issue=1}}
</ref>  It was proven by Hasse in 1933, with the proof published in a series of papers in 1936.<ref>{{Citation | last1=Hasse | first1=Helmut | author1-link=Helmut Hasse | title=Zur Theorie der abstrakten elliptischen Funktionenkörper. I, II &amp; III | doi=10.1515/crll.1936.175.193 | year=1936 | zbl=0014.14903 | journal=[[Crelle's Journal]] | issn=0075-4102 | volume=1936 | issue=175}}
</ref>  

Hasse's theorem is equivalent to the determination of the [[absolute value]] of the roots of the [[local zeta-function]] of ''E''.  In this form it can be seen to be the analogue of the [[Riemann hypothesis]] for the [[function field of an algebraic variety|function field]] associated with the elliptic curve.-->

== ハッセ・ヴェイユ境界 ==

ハッセ境界の高次種数の[[代数曲線]]への一般化はハッセ・ヴェイユ境界である。これは、有限体上の曲線の点の数の範囲をもたらす。位数が q の有限体 <math>\mathbb{F}_q</math> 上の種数 g の曲線 C の点の数を <math>\#C(\mathbb{F}_q)</math> とすると、
:<math>|\#C(\Bbb{F}_q) - (q+1)| \le 2g \sqrt{q}</math>
となる。

この結果は再び、曲線 C の[[合同ゼータ函数|局所ゼータ函数]]の決定と同値であり、この曲線に付随する[[代数多様体の函数体|函数体]]についての[[リーマン予想]]の類似である。

ハッセ・ヴェイユ境界は、g = 1 である楕円曲線へ適用したときの普通のハッセ境界を導く。

ハッセ・ヴェイユ境界は、元々は[[アンドレ・ヴェイユ]]（André Weil）が1949年に提唱した[[ヴェイユ予想]]の結果である<ref>{{Citation|last1=Weil|first1=André|author1-link=André Weil|title=Numbers of solutions of equations in finite fields|url=http://www.ams.org/bull/1949-55-05/S0002-9904-1949-09219-4/home.html|doi=10.1090/S0002-9904-1949-09219-4|mr=0029393|year=1949|journal=[[Bulletin of the American Mathematical Society]]|issn=0002-9904|volume=55|pages=497–508|issue=5}}</ref>。この予想は1974に[[ピエール・ルネ・ドリーニュ|ピエール・ドリーニュ]]（Pierre Deligne）より証明された。<ref>{{Citation | last1=Deligne | first1=Pierre | author1-link=Pierre Deligne | title=La Conjecture de Weil: I | url=http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1974__43__273_0  | doi=10.1007/BF02684373 | mr=340258 | zbl=0287.14001 | year=1974 | journal=[[Publications Mathématiques de l'IHÉS]] | issn=0073-8301 | volume=43 | pages=273–307}}</ref>
<!--== Hasse-Weil Bound ==

A generalization of the Hasse bound to higher genus [[algebraic curves]] is the Hasse-Weil bound.  This provides a bound on the number of points on a curve over a finite field.  If the number of points on the curve ''C'' of genus ''g'' over the finite field <math>\mathbb{F}_q</math> of order ''q'' is <math>\#C(\mathbb{F}_q)</math>, then

:<math>|\#C(\Bbb{F}_q) - (q+1)| \le 2g \sqrt{q}.</math>

This result is again equivalent to the determination of the [[absolute value]] of the roots of the [[local zeta-function]] of ''C'', and is the analogue of the [[Riemann hypothesis]] for the [[function field of an algebraic variety|function field]] associated with the curve.

The Hasse-Weil bound reduces to the usual Hasse bound when applied to elliptic curves, which have genus ''g=1''.

The Hasse-Weil bound is a consequence of the [[Weil conjectures]], originally proposed by [[André Weil]] in 1949.<ref>{{Citation | last1=Weil | first1=André | author1-link=André Weil | title=Numbers of solutions of equations in finite fields | url=http://www.ams.org/bull/1949-55-05/S0002-9904-1949-09219-4/home.html | doi=10.1090/S0002-9904-1949-09219-4  | mr=0029393 | year=1949 | journal=[[Bulletin of the American Mathematical Society]] | issn=0002-9904 | volume=55 | pages=497–508 | issue=5}}</ref>  The proof was provided by [[Pierre Deligne]] in 1974.<ref>{{Citation | last1=Deligne | first1=Pierre | author1-link=Pierre Deligne | title=La Conjecture de Weil: I | url=http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1974__43__273_0  | doi=10.1007/BF02684373 | mr=340258 | zbl=0287.14001 | year=1974 | journal=[[Publications Mathématiques de l'IHÉS]] | issn=0073-8301 | volume=43 | pages=273–307}}</ref>-->

== 参考文献 ==
{{Reflist}}

==参照項目==
*[[佐藤・テイト予想]]（Sato-Tate conjecture）
*{{仮リンク|シューフのアルゴリズム|en|Schoof's algorithm}}（Schoof's algorithm）

== 参考文献 ==
*{{Citation
| last=Hurt
| first=Norman E.
| author-link=Norman E. Hurt
| title=Many Rational Points.  Coding Theory and Algebraic Geometry
| publisher=[[Kluwer]]/[[Springer-Verlag]]
| location=Dordrecht
| series=[[Mathematics and its Applications]]
| volume=564
| isbn=1-4020-1766-9
| id={{MathSciNet | id = 2042828}},
| year=2003
}} 
*{{Citation
| last1=Niederreiter
| first1=Harald
| author1-link=Harald Niederreiter
| last2=Xing
| first2=Chaoping
| author2-link=Chaoping Xing
| title=Algebraic Geometry in Coding Theory and Cryptography
| publisher=[[Princeton University Press]]
| location=Princeton
| isbn=978-0-6911-0288-7
| id={{MathSciNet | id = 2573098}},
| year=2009
}} 
*Chapter V of {{Citation
| last=Silverman
| first=Joseph H.
| author-link=Joseph H. Silverman
| title=The arithmetic of elliptic curves
| publisher=[[Springer-Verlag]]
| location=New York
| series=[[Graduate Texts in Mathematics]]
| isbn=978-0-387-96203-0
| id={{MathSciNet | id = 1329092}},
| year=1994
| volume=106
}}
*{{Citation
| last=Washington
| first=Lawrence C.
| author-link=Lawrence C. Washington
| title=Elliptic Curves. Number Theory and Cryptography, 2nd Ed
| publisher=[[Chapman & Hall]]/[[CRC Press]]
| location=Boca Raton
| series=[[Discrete Mathematics and its Applications]]
| isbn=978-1-4200-7146-7
| id={{MathSciNet | id = 2404461}},
| year=2008
}}

{{デフォルトソート:たえんきよくせんのはつせのていり}}
[[Category:代数曲線]]
[[Category:有限体]]
[[Category:代数的整数論の定理]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数学のエポニム]]