楕円有理関数のソースを表示

[[File:Rational Elliptic Functions (n=1,2,3,4, x=--1,1-).svg|thumb|right|300px|
次数nが1, 2, 3, 4で選択係数ξが1.1の場合について，楕円有理関数をxの範囲が-1から1までのプロット。
注 この範囲では値は-1から1の間にあり、すべての次数でx=1のとき1となる。]]
'''楕円有理関数''' ({{lang-en-short|Elliptic rational functions}})とは、実数係数を持つ [[有理関数]] の数列であり、[[フィルタ回路]]の一種である[[楕円フィルタ]]の設計で利用される。楕円有理関数は、'''チェビシェフ有理関数'''と呼ばれることもあるが、同名の別の{{日本語版にない記事リンク|チェビシェフ有理関数|en|Chebyshev rational functions}}）があるので注意が必要。
楕円有理関数は正の次数''n''と選択係数と呼ばれるパラメータ&xi;&nbsp;&ge;&nbsp;1 を持つ。次数''n''で選択係数が<math>\xi</math>で変数が''x''の楕円有理関数は、次のような[[ヤコビの楕円関数]]を用いた表示を持つ:

<math>R_n(\xi,x)\equiv \mathrm{cd}\left(n\frac{K(1/L_n)}{K(1/\xi)}\,\mathrm{cd}^{-1}(x,1/\xi),1/L_n\right)</math>

* この式で，<math>\mathrm{cd}(x,k)</math> は母数が<math>k</math>の [[楕円関数|ヤコビの楕円余弦関数]]であり，<math>\mathrm{cd}^{-1}(x,k)</math>はその逆関数、<math>K(k)</math> は 母数が<math>k</math>の[[楕円積分#第一種完全楕円積分|第一種完全楕円積分]]を表わす。
* <math>L_n=R_n(\xi,\xi)</math> は '''弁別係数'''と呼ばれ、<math>\xi \leq |x|</math>における <math>|R_n(\xi,x)|</math> の最小値に等しい。
* この表示がn次の有理関数であるためには，<math>K'(k) \equiv K(\sqrt{1-k^2})</math> とするとき、条件<math> K'(1/L_n)/K(1/L_n) = n K'(1/\xi)/K(1/\xi)</math>の成立が必要である。 つまり，ｎを与えたとき，<math>\xi</math>と<math>L_n</math>の間には関係がある。その関係を最も一般的に解くには、たとえば楕円nome関数<math>q(k) \equiv \exp(-\pi K'(k)/K(k))</math>を用いるとその関係は<math>q(1/L_n) = \{q(1/\xi)\}^n </math>と表せる。そうして<math>\xi</math>を与えてこの関係式の右辺を計算すれば、その値に対する楕円nome関数の逆関数の値として<math>1/L_n</math>が求まる（楕円nome関数<math>q(k)</math>の逆関数<math>k=k(q)</math>の値は<math>|q|\ll 1</math>のとき収束の早い級数展開を利用して近似計算ができる）。 

多くの場合、特に''n''が&nbsp;=&nbsp;2<sup>''a''</sup>3<sup>''b''</sup>、(a, bは整数)で表される時、楕円有理関数は代数的に表すことができる。
楕円有理関数は、[[チェビシェフ多項式]]と密接な関係にあり、[[三角関数]]がヤコビの楕円関数の特殊な場合であるのと同様、チェビシェフ多項式は楕円有理関数の特殊な場合にあたる。

==多項式の比としての表現 ==
偶数次楕円有理関数は2つの ''n'' 次多項式の比として表すことができる。

:<math>R_n(\xi,x)=r_0\,\frac{\prod_{i=1}^n (x-x_{n,i})}{\prod_{i=1}^n (x-x^{(p)}_{n,i})}</math> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; (n は偶数)

<math>x_{n,i}</math> は零点で <math>x^{(p)}_{n,i}</math> は極であり、 <math>r_0</math> は <math>R_n(\xi,1)=1</math> となるように選んだ正規化定数である。この表記法は偶数次と同様に奇数次にも成り立つが、奇数次の場合は、極が x=∞ にあり、零点が x=0 に存在するので、次のように読み替える必要がある:

:<math>R_n(\xi,x)=r_0\,x\,\frac{\prod_{i=1}^{n-1} (x-x_{n,i})}{\prod_{i=1}^{n-1} (x-x^{(p)}_{n,i})}</math> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; (n は奇数)

== 特徴 ==
[[File:Rational Elliptic Function (abs, n=3, x=(0,5)).svg|thumb|right|300 px|3次の有理関数でξ=1.4のグラフ。x=0の時にゼロ、無限遠に極を持つ。奇数3次の関数は奇関数である。実軸上に3つの零点と3つの極を持つ（1つの極は無限遠）。関数値の絶対値はすべての零点の間で極大値1を取り、すべての極の間で極小値として弁別係数''L<sub>n</sub>''の値を取る。]]

[[File:Rational Elliptic Function (abs, n=4, x=(0,5)).svg|thumb|right|300 px|4次の楕円有理関数でξ=1.4のグラフ。偶数4次の関数は偶関数である。実軸上に4つの零点と4つの極を持つ。この場合も、関数値の絶対値は零点の間で極大値1を取り、極の間で極小値 ''L<sub>n</sub>''を取る。]]

[[File:Rational Elliptic Functions (xi varied, x=(-1,1)).svg|thumb|right|300 px|選択係数ξの違いによる変化.
4次の楕円有理関数で、選択係数ξをほぼ1から無限大にまで変えた例。
ξ=∞に対応する黒い線は 4次のチェビシェフ多項式に対応する。
選択係数が1に近付くほど、x=1 と x=ξの間の遷移領域に於いて傾きが急峻になる。]]

=== The canonical properties  ===

* <math>R_n^2(\xi,x)\le 1</math> for <math>|x|\le 1\,</math>
* <math>R_n^2(\xi,x)= 1</math> at <math>|x|= 1\,</math>
* <math>R_n^2(\xi,-x)=R_n^2(\xi,x)</math>
* <math>R_n^2(\xi,x)>1</math> for <math>x>1\,</math>
* x=1 における傾きが最も急峻
* x=1 における傾きは同次数のチェビシェフ多項式よりも急である

上記の条件を満たす有理関数は、楕円有理関数しかない {{harv|Lutovac|2001|loc=§ 13.2}}.

以下の特徴を導くことができる:

=== 正規化 ===
楕円有理関数はx=1の時に1となる。

:<math>R_n(\xi,1)=1\,</math>
=== 入れ子関係 ===

「入れ子関係」は次のように書き表せる:

:<math>R_m(R_n(\xi,\xi),R_n(\xi,x))=R_{m\cdot n}(\xi,x)\,</math>

これは極めて重要な特徴である:

* もし <math>R_n</math> が任意の素数 ''n'' で求められるなら、入れ子関係により任意の ''n''で <math>R_n</math> を求めることができる。特に、 <math>R_2</math> と<math>R_3</math> はヤコビの楕円関数を使わない閉じた形であらわせるため、 <math>n=2^a3^b</math>の形であらわされる任意の ''n'' で <math>R_n</math> を表すことができる。
* このことから、もし素数 ''n'' での <math>R_n</math> の零点が知られているなら、任意の ''n'' における <math>R_n</math> の零点を見つけることができる。さらに、逆数関係(下記参照)を使うことにより、極の位置も知ることができる。
* この入れ子関係を用いることで、弁別係数の入れ子関係が示せる:

::<math>L_{m\cdot n}(\xi)=L_m(L_n(\xi))</math>

=== 極限値 ===
楕円有理関数は、第一種チェビシェフ多項式 <math>T_n(x)</math> と次の関連がある。
:<math>\lim_{\xi=\rightarrow\,\infty}R_n(\xi,x)=T_n(x)\,</math>

=== 対称性 ===
:<math>R_n(\xi,-x)=R_n(\xi,x)\,</math> n が偶数の場合
:<math>R_n(\xi,-x)=-R_n(\xi,x)\,</math> n が奇数の場合

=== 等リップル性 ===
<math>R_n(\xi,x)</math> は <math>-1\le x\le 1</math> の区間で、等リップル性(極大極小値が <math>\pm 1</math>)を持ち、
さらに逆数関係(下記参照)により、<math>1/R_n(\xi,x)</math> が　<math>1 \le \xi \le |x|</math> で等リップル性(極大極小値が <math>\pm 1/L_n(\xi)</math>) を持つ。

=== 逆数関係 ===
次の逆数関係が成り立つ:
:<math>R_n(\xi,\xi/x)=\frac{R_n(\xi,\xi)}{R_n(\xi,x)}\,</math>

このことから、対応するi番目の零点<math>x_i</math>と極<math>x^{(p)}_i</math>の間には次の関係がある
:<math>x_{i} x^{(p)}_{i}=\xi\,</math>
全ての零点と極は実数であって重複がない。奇数次の場合には原点に零点があり、それに対応する極は無限遠にある。

=== 極と零点 ===
n次の楕円有理関数の零点を、<math>x_{n,i}(\xi)</math> あるいは <math>\xi</math>が明らかな場合は単に<math>x_{n,i}</math> と書く。
また、楕円有理関数の零点は、有理式の分子の多項式の零点である。

以下の楕円有理関数の零点の導出は[[チェビシェフ多項式]]の零点の決定と類似のものである。

任意のzについて成り立つ次の等式を（<math>z=L_n</math>の場合にも成り立つ）使う
:<math>\mathrm{cd}\left((2m-1)K\left(1/z\right),\frac{1}{z}\right)=0\,</math>

すると零点<math>x_{n,m}</math>は、楕円有理関数のヤコビ楕円関数を用いた表示式から、次式を満たす。

:<math>n \frac{K(1/L_n)}{K(1/\xi)}\mathrm{cd}^{-1}(x_{n,m}, 1/\xi)=(2m-1)K(1/L_n)</math>

したがって、零点の位置は（m=1,2,...,nとして）次のように与えられる

:<math>x_{n,m}=\mathrm{cd}\left(K(1/\xi)\,\frac{2m-1}{n},\frac{1}{\xi}\right).</math> 

上述の「逆数関係」により，極の位置は<math>x_{n,i} x^{(p)}_{n,i}=\xi\,</math>から簡単に計算できる。

一般的には<math>R_m</math> と <math>R_n</math> の零点はヤコビ楕円関数の周期等分方程式を解いて求められるが，それらが四則と巾根だけによる代数的な式で (つまり楕円関数を用いずに）表せるのであれば，上記の入れ子関係を使うことで、<math>R_{m\,n}</math> の零点を代数的に表現できる。 特に、次数 <math>2^{i}3^{j}</math> の楕円有理関数の零点の位置は代数的に表現することができる {{harv|Lutovac|2001|loc=§ 12.9, 13.9}}。たとえば、 <math>R_8(\xi,x)</math> の零点は次のように表せる: 
:<math>
X_n\equiv R_n(\xi,x)\qquad 
L_n\equiv R_n(\xi,\xi)\qquad 
t_n\equiv \sqrt{1-1/L_n^2}.</math>
と定義すれば、「入れ子関係」を持ちいることで

:<math>R_2(\xi,x)=\frac{(t+1)x^2-1}{(t-1)x^2+1}</math>

:<math>t\equiv \sqrt{1-1/\xi^2}</math> とすれば、
:<math>
L_2=\frac{1+t}{1-t},\qquad 
L_4=\frac{1+t_2}{1-t_2},\qquad 
L_8=\frac{1+t_4}{1-t_4}
</math>

:<math>
X_2=\frac{(t+1)x^2    -1}{(t-1)x^2    +1},\qquad 
X_4=\frac{(t_2+1)X_2^2-1}{(t_2-1)X_2^2+1},\qquad 
X_8=\frac{(t_4+1)X_4^2-1}{(t_4-1)X_4^2+1}.
</math>

最後の3つの式は逆に解くことができ、

:<math>
x  =\frac{1}{\pm\sqrt{1+t  \,\left(\frac{1-X_2}{1+X_2}\right)}},\qquad
X_2=\frac{1}{\pm\sqrt{1+t_2\,\left(\frac{1-X_4}{1+X_4}\right)}},\qquad
X_4=\frac{1}{\pm\sqrt{1+t_4\,\left(\frac{1-X_8}{1+X_8}\right)}}.\qquad
</math>


<math>R_8(\xi,x)</math> の零点を求めるには、 3番目の式で、<math>X_8=0</math> としたうえで<math>X_4</math>の値2つを求め、求めた<math>X_4</math>を用いることで、2番目の等式から4つの<math>X_2</math>の値を求め、最後に、これらの値を使うことで最初の等式から<math>R_8(\xi,x)</math>の8つの零点を求めることができる。. (<math>t_n</math> も同様な再帰で求めることができる。) また、逆数関係を用いれば、極の位置も求めることができる。

== 特定の値 ==

低次の楕円有理関数は次のようになる:

:<math>R_1(\xi,x)=x\,</math>
:<math>R_2(\xi,x)=\frac{(t+1)x^2-1}{(t-1)x^2+1}</math>
::: 
:::ここで<math>t \equiv \sqrt{1-\frac{1}{\xi^2}}</math>
:<math>R_3(\xi,x)=x\,\frac{(1-x_p^2)(x^2-x_z^2)}{(1-x_z^2)(x^2-x_p^2)}</math>
::: 
:::<math>G\equiv\sqrt{4\xi^2+(4\xi^2(\xi^2\!-\!1))^{2/3}}</math>
:::ここで<math>x_p^2\equiv\frac{2\xi^2\sqrt{G}}{\sqrt{8\xi^2(\xi^2\!+\!1)+12G\xi^2-G^3}-\sqrt{G^3}}</math>
:::また<math>x_z^2=\xi^2/x_p^2</math>
:<math>R_4(\xi,x)=R_2(R_2(\xi,\xi),R_2(\xi,x))=\frac
{(1+t)(1+\sqrt{t})^2x^4-2(1+t)(1+\sqrt{t})x^2+1}
{(1+t)(1-\sqrt{t})^2x^4-2(1+t)(1-\sqrt{t})x^2+1}
</math>
:<math>R_6(\xi,x)=R_3(R_2(\xi,\xi),R_2(\xi,x))\,</math> etc.

''n=5'' や<math>n=2^i\,3^j</math>の形をしたより多くの楕円有理関数については{{harvtxt|Lutovac|2001|loc=§ 13}} を参照のこと。

対応する弁別係数は:
:<math>L_1(\xi)=\xi\,</math>
:<math>L_2(\xi)=\frac{1+t}{1-t}=\left(\xi+\sqrt{\xi^2-1}\right)^2</math>
:<math>L_3(\xi)=\xi^3\left(\frac{1-x_p^2}{\xi^2-x_p^2}\right)^2</math>
:<math>L_4(\xi)=\left(\sqrt{\xi}+(\xi^2-1)^{1/4}\right)^4\left(\xi+\sqrt{\xi^2-1}\right)^2</math>
:<math>L_6(\xi)=L_3(L_2(\xi))\,</math> etc.

''n'' を次数とすると、零点は全部で ''n''個あり、''j'' を零点の番号とすると対応する零点は<math>x_{n,j}</math>と表せる。

:<math>x_{1,1}=0\,</math>

:<math>x_{2,1}=\xi\sqrt{1-t}\,</math>
:<math>x_{2,2}=-x_{2,1}\,</math>

:<math>x_{3,1}=x_z\,</math>
:<math>x_{3,2}=0\,</math>
:<math>x_{3,3}=-x_{3,1}\,</math>

:<math>x_{4,1}=\xi\sqrt{\left(1-\sqrt{t}\right)\left(1+t-\sqrt{t(t+1)}\right)}\,</math>
:<math>x_{4,2}=\xi\sqrt{\left(1-\sqrt{t}\right)\left(1+t+\sqrt{t(t+1)}\right)}\,</math>
:<math>x_{4,3}=-x_{4,2}\,</math>
:<math>x_{4,4}=-x_{4,1}\,</math>

「逆数関係」により、対応する極は <math>x^{(p)}_{n,i}=\xi/x_{n,i}</math>と表すことができる。

== 参考文献 ==
*{{MathWorld|title=Elliptic Rational Function|urlname=EllipticRationalFunction}}
* {{cite book |last=Daniels |first=Richard W. |authorlink= |coauthors= |title=Approximation Methods for Electronic Filter Design |year=1974 |publisher=McGraw-Hill |location=New York |isbn=0-07-015308-6 |ref=harv}}
* {{cite book |last=Lutovac |first=Miroslav D. |coauthors= Tosic, Dejan V., Evans, Brian L. |title=Filter Design for Signal Processing using MATLAB and Mathematica |year=2001 |publisher=Prentice Hall |location=New Jersey, USA |isbn=0-201-36130-2|ref=harv}}

{{DEFAULTSORT:たえんゆうりかんすう}}
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