楕円軌道のソースを表示

{{出典の明記|date=2023年2月26日 (日) 09:19 (UTC)}}
[[画像:Elliptical-orbit.png|thumb|400px|左記において説明している内容を図面に表した図です。]]
{{Astrodynamics}}
'''楕円軌道'''（だえんきどう、{{lang-en|elliptical orbit}}）とは、[[逆二乗の法則]]に従う[[力 (物理学)|力]]の作用の下で、束縛された物体がとる[[軌道 (力学)|軌道]]である。

== 概要 ==
[[万有引力|万有引力の法則]]や[[クーロンの法則]]は逆二乗の法則で表される。このような力の作用の下で運動する物体がとる軌道は、力の中心を[[焦点 (幾何学)|焦点]]とする[[2次曲線]]となる。2次曲線の軌道のうち、距離が有限にとどまる軌道、すなわち束縛軌道が楕円軌道である。

[[太陽系]]において、[[惑星]]に作用する力は[[太陽]]からの万有引力が支配的であり、その周回軌道はほぼ楕円軌道となる。これは[[ケプラーの法則|ケプラーの第1法則]]として知られている。また、惑星の周りを周回する[[衛星]]の軌道もほぼ楕円軌道となる。[[人工衛星の軌道]]には、利用上の便宜から[[円軌道]]をとる場合もあるが、これは楕円軌道の特別な場合である。[[軌道離心率]]が大きい場合には、[[長楕円軌道]]とも呼ばれる。

力の中心となる天体は二つある楕円の焦点（図の点F{{sub|1}}）に位置しており、楕円の図形的中心（図の点O）に来るわけではない。楕円軌道にある[[人工衛星]]は地表からの高度が軌道上の位置によって変化する。[[地球]]に最も近づいた点を[[近地点]]（ペリジ、perigee）と呼び、地球から最も遠ざかった点を[[遠地点]]（アポジ、apogee）と呼ぶ。また惑星が太陽に最も近づく点は近日点、最も遠ざかる点は遠日点と呼ばれる。

== 軌道の表現 ==
{{See also|軌道要素}}
2次曲線は焦点を原点とする[[極座標]] {{math|(''r'', ''&phi;'')}} により
:<math>r =\frac{L}{1+e\cos\phi}</math>
で表される。{{mvar|e}} は[[離心率]]と呼ばれるパラメータで、2次曲線の概形を表す。離心率が {{math|0 &le; ''e'' < 1}} の範囲にあるとき、分母がゼロとならないため、焦点からの距離 {{mvar|r}} が有限にとどまり楕円となる。{{mvar|L}} は半通径、あるいは半直弦と呼ばれる2次曲線の大きさを表すパラメータである。
楕円においては[[長半径]]が
:<math>a =\frac{L}{1-e^2}</math>
で定義され、半通径に変えて楕円の大きさを表すパラメータとして用いることができる。

2次曲線が天体などの軌道である場合、角度変数 {{mvar|&phi;}} は[[真近点角]]と呼ばれる。
真近点角 {{math|1=''&phi;'' = 0}} のとき、近点距離
:<math>r_\text{min} =\frac{L}{1+e} =a(1-e)</math>
となり、{{math|1=''&phi;'' = &pi;}} のとき、遠点距離
:<math>r_\text{max} =\frac{L}{1-e} =a(1+e)</math>
となる。

== 運動の解析 ==
逆二乗の法則に従う力は保存力であり、[[ポテンシャル]]は {{math|1=''V'' = &minus;''k''/''r''}} で与えられる。
このポテンシャルの下での運動を記述する[[ハミルトン関数]]は
:<math>\mathcal{H} =\frac{{p_r}^2}{2m} +\frac{{p_\phi}^2}{2mr^2} -\frac{k}{r}</math>
である。この系は保存系であり、[[エネルギー]]を保存する。また、変数 {{mvar|&phi;}} はハミルトン関数に含まれない[[循環座標]]であり、これに共役な[[角運動量]]も保存する。
先にみたように、2次曲線は二つのパラメータ {{mvar|L, e}} で表されるため、二つの保存量により運動が決定される。
保存エネルギーを {{mvar|E}}、保存角運動量を {{mvar|J}} とすると
:<math>E =\frac{{p_r}^2}{2m} +\frac{J^2}{2mr^2} -\frac{k}{r}</math>
である<ref name="landau">[[#landau|ランダウ、リフシッツ『力学』]] pp.42-47, &sect;15. ケプラー問題</ref><ref name="heki">[[#heki|日置 物理学１の講義ノート]]</ref>。楕円軌道では有限の距離に束縛されているので {{math|''E'' < 0}} である<ref name="landau"/>。
長半径は
:<math>a =\frac{k}{2|E|} =-\frac{k}{2E}</math>
となる<ref name="landau"/><ref name="heki"/>。
また、[[軌道周期]]は
:<math>T =\frac{\pi k}{|E|^{3/2}} \sqrt{\frac{m}{2}} =2\pi a^{3/2} \sqrt{\frac{m}{k}}</math>
となる<ref name="landau"/><ref name="heki"/>。周期の二乗が長半径の三乗に比例することは[[ケプラーの法則|ケプラーの第3法則]]として知られている。

== 脚注 ==
<references/>

== 参考文献 ==
* {{Cite book|和書
 |author= [[レフ・ランダウ]]、[[エフゲニー・リフシッツ]]
 |title= 力学
 |edition= 増訂第3版
 |series= 理論物理教程
 |publisher= 東京図書
 |isbn= 4-489-01160-1
 |ref= landau
}}

== 関連項目 ==
* [[軌道 (力学)|軌道]] - [[円軌道]]
* [[ケプラーの法則]]
* [[人工衛星の軌道]]

== 外部リンク ==
* {{Cite web|和書
 |url= https://www.ep.sci.hokudai.ac.jp/~heki/pdf/mechanics7.pdf
 |accessdate= 2023-07-07
 |author= 日置幸介
 |title= 物理学１ 講義ノート その７
 |publisher= 北海道大学
 |format= PDF
 |ref= heki
}}

{{軌道}}

{{DEFAULTSORT:たえんきとう}}
[[Category:力学]]
[[Category:天文学]]
[[Category:軌道]]
[[Category:天文学に関する記事]]