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'''極値分布'''（きょくちぶんぷ、{{lang-en-short|extreme value distribution}}）とは、[[確率論]]および[[統計学]]において、ある[[累積分布関数]]にしたがって生じた大きさ ''n'' の標本 ''X''<sub>1</sub>,''X''<sub>2</sub>, &hellip;, ''X''<sub>n</sub> のうち、''x'' 以上 (あるいは以下) となるものの個数がどのように分布するかを表す、[[連続確率分布]]モデルである。特に最大値や最小値などが漸近的に従う分布であり、河川の氾濫、最大風速、最大降雨量、金融におけるリスク等の分布に適用される。

== 定義と性質 ==
===一般化極値分布===
極値分布には後述する3つの型があるが、その一般形の'''一般化極値分布'''（generalized extreme value distribution, GEV) の[[累積分布関数]]は以下で与えられる。

{{Indent|<math>F(x;\mu,\theta,\gamma) = \exp\left\{-\left[1+\gamma\left(\frac{x-\mu}{\theta}\right)\right]^{-1/\gamma}\right\}</math>}}

ここで <math>1+\gamma(x-\mu)/\theta>0</math> であり、<math>\mu\in\mathbb R</math>、<math>\theta>0</math>、<math>\gamma\in\mathbb R</math> がパラメータである。

なお、これは最大値が漸近的に従う分布であることから'''極大値分布'''とも呼ばれる。また、最小値が漸近的に従う分布は'''極小値分布'''と呼ばれ、極大値分布における確率変数''X''を-''X''で置き換えることで得られる。ここで、極大値分布における累積分布関数と確率密度関数をそれぞれ、''F'' (''x'')、''f'' (''x'')とすると、対応する極小値分布での累積分布関数と確率密度関数はそれぞれ、1-''F'' (-''x'')、''f'' (-''x'')で与えられる。以下、特に断りの場合は極大値分布を扱うものとする。

GEVは、パラメータによって以下の3種類の型に分けられる。それぞれの[[累積分布関数]] ''F'' (''x'') と[[確率密度関数]] ''f'' (''x'') を示す。

===タイプI、ガンベル型===

GEV において <math>\gamma=1/n,~\mu=0,~\theta=1</math> とおいて、<math>n\rightarrow\infty</math> とすると得られる。
{{Indent|
<math>F_{I}(x) = \exp\left[-\exp\left\{-\left(\frac{x-\mu}{\theta}\right)\right\}\right], \quad -\infty< x < \infty </math><br />
<math>f_{I}(x) = \frac{1}{\theta}\exp\left\{-\left(\frac{x-\mu}{\theta}\right)\right\}\exp\left[-\exp\left\{-\left(\frac{x-\mu}{\theta}\right)\right\}\right], \quad -\infty< x < \infty </math>}}

なお、タイプIの分布は極値分布の先駆的な研究を行ったドイツの数学者[[エミール・ユリウス・ガンベル]]に因んで、[[ガンベル分布]]と呼ばれる。また、累積分布関数の形から'''二重指数分布'''とも呼ばれる。(注意：[[ラプラス分布]]も同じ呼び名で呼ばれるが別物である)

===タイプII、フレシェ型===

GEV において <math>\gamma>0</math> とし、<math>\gamma=1/k,~\mu=1,~\theta=1/k</math> とすると得られる。

{{Indent|<math>F_{II}(x) = \left\{\begin{array}{ll}
    -\exp\left\{-\left(\frac{x-\mu}{\theta}\right)^{-k}\right\}, & x\ge\mu \\
    0, & x<\mu
\end{array}\right.</math><br />
<math>f_{II}(x)= \left\{\begin{array}{ll}
\frac{k}{\theta}\left(\frac{x-\mu}{\theta}\right)^{-k-1}\exp\left\{-\left(\frac{x-\mu}{\theta}\right)^{-k}\right\}, & x\ge\mu \\
0, & x<\mu
\end{array}\right.</math>}}

このタイプIIの分布に従う確率変数''X'' に対し、''Z'' = -log(&mu;-''X'' )とおけばタイプIの分布形となる。

===タイプIII、ワイブル型===

GEV において <math>\gamma<0</math> とし、<math>\gamma=-1/k,~\mu=-1,~\theta=1/k</math> とすると得られる。

{{Indent|<math>F_{III}(x) = \left\{\begin{array}{ll}
    -\exp\left\{-\left(-\frac{x-\mu}{\theta}\right)^k\right\}, & x\le\mu \\
    1, & x>\mu
\end{array}\right.</math><br />
<math>f_{III}(x) = \left\{\begin{array}{ll}
\frac{k}{\theta}\left(-\frac{x-\mu}{\theta}\right)^{k-1}\exp\left\{-\left(-\frac{x-\mu}{\theta}\right)^{k}\right\}, & x\le\mu \\
0, & x>\mu
\end{array}\right.</math>}}

このタイプIIIの分布に従う確率変数''X'' に対し、''Z'' = log(''X'' -&mu;)とおけばタイプIの分布形となる。

また、特に確率変数''X'' を-''X'' で置き換えたときに、対応する分布は[[ワイブル分布]]となる。これは、信頼性工学において、故障寿命が存続可能な時間の最小値に相当し、極小値分布に従うことに関連する。

==参考文献==
* 蓑谷千凰彦, 統計分布ハンドブック, 朝倉書店 (2003).
* B. S. Everitt (清水良一訳), 統計科学辞典, 朝倉書店 (2002).

== 関連項目 ==
* [[確率分布]]
* [[極値理論]]
* [[ワイブル分布]]
* [[ガンベル分布]]
* [[一般化パレート分布]](GPD)
* [[フレシェ分布]]

== 外部リンク ==
* [http://ibisforest.org/index.php?Gumbel分布 朱鷺の杜Wiki]
* [http://www.cbrc.jp/%7Etominaga/translations/gsl/ GSL reference manual Japanese version]{{リンク切れ|date=2024-08}}

{{確率分布の一覧}}
{{DEFAULTSORT:きよくちふんふ}}
[[Category:確率分布]]
[[Category:数学に関する記事]]