極化恒等式のソースを表示


[[ファイル:Parallelogram_law.svg|サムネイル| 極化恒等式を示すベクトル ]]
[[数学]]において、 '''極化恒等式'''（きょくかこうとうしき）あるいは'''偏極恒等式'''（へんきょくこうとうしき）（{{lang-en|polarization identity}}）とは、2つの[[空間ベクトル|ベクトル]]の[[計量ベクトル空間|内積]]を[[ノルム線型空間]]の[[ノルム]]で表現する恒等式である。 <math>\|x\| </math> をベクトル ''x'' のノルム、<math>\langle x, \ y \rangle </math> をベクトル ''x'' と ''y'' の内積とすると、[[モーリス・ルネ・フレシェ|フレシェ]]、[[ジョン・フォン・ノイマン|ノイマン]]、[[パスクアル・ヨルダン|ヨルダン]]による基本的定理は次のように記述される <ref name="Blanchard">
{{Cite book|last=[[Philippe Blanchard]], Erwin Brüning|chapter=Proposition 14.1.2 (Fréchet–von Neumann–Jordan)|url=https://books.google.com/books?id=1g2rikccHcgC&pg=PA192|page=192|title=Mathematical methods in physics: distributions, Hilbert space operators, and variational methods|year=2003|publisher=Birkhäuser|isbn=0817642285}}</ref> <ref name="Teschl">
{{Cite book|title=Mathematical methods in quantum mechanics: with applications to Schrödinger operators|last=[[Gerald Teschl]]|chapter=Theorem 0.19 (Jordan–von Neumann)|page=19|url=http://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-schroe/|isbn=0-8218-4660-4|year=2009|publisher=American Mathematical Society Bookstore}}</ref>。 

: ノルム空間 (''V'', <math>\| \cdot \|</math>) において、[[中線定理]]が成り立つならば、''V''  にはすべての <math>x \in V</math> で <math>\|x\|^2 = \langle x,\ x\rangle</math> を満たす内積が存在する。 

== 恒等式 ==
以下に示す様々な形の極化恒等式はすべて、この[[中線定理]]に関連するものである。 

: <math>
 2\|\textbf{u}\|^2 + 2\|\textbf{v}\|^2 =
  \|\textbf{u} + \textbf{v}\|^2 + \|\textbf{u} - \textbf{v}\|^2.
</math>

極化恒等式は、[[抽象代数学]]や[[線型代数学|線形代数学]]、[[関数解析学]]といった様々な分野の表現に一般化できる。 

=== 実ベクトル空間の場合 ===
''V'' が実ベクトル空間の場合、内積は以下の極化恒等式で定義される。 

: <math>\langle x, \ y \rangle = \frac{1}{4} \left(\|x + y \|^2 - \|x - y\|^2 \right)\ \forall\ x, y \in V</math>

=== 複素ベクトル空間の場合 ===
''V'' が複素ベクトル空間の場合、内積は以下の極化恒等式で与えられる。 

: <math>
 \langle x, \ y \rangle =
  \frac{1}{4} \left(\|x + y \|^2 - \|x - y\|^2 + i\|x - iy\|^2 - i\|x + iy\|^2\right)\ \forall\ x, y \in V</math>

ここで <math>i</math> は[[虚数単位]]である。 この式は、第一変数が反線形で、第二変数が線形である内積を定義することに注意せよ。 逆の定義を使用する規則では、以下のように複素共役を取る必要がある。 

: <math>
 \langle x, \ y \rangle =
  \frac{1}{4} \left(\|x + y \|^2 - \|x - y\|^2 - i\|x - iy\|^2 + i\|x + iy\|^2\right)\ \forall\ x, y \in V</math>

=== 実ベクトル空間の他の表現 ===
中線定理を使用して、他の表現を導出できる。 

: <math>\begin{align}
 \textbf{u}\cdot\textbf{v} &=
  \frac{1}{2}\left(\|\textbf{u} + \textbf{v}\|^2 - \|\textbf{u}\|^2 - \|\textbf{v}\|^2\right)
  & (1) \\[0.5em]
 \textbf{u}\cdot\textbf{v} &=
  \frac{1}{2}\left(\|\textbf{u}\|^2 + \|\textbf{v}\|^2 - \|\textbf{u} - \textbf{v}\|^2 \right)
  & (2) \\[0.5em]
 \textbf{u}\cdot\textbf{v} &= 
  \frac{1}{4}\left(\|\textbf{u} + \textbf{v}\|^2 - \|\textbf{u} - \textbf{v}\|^2 \right)
  & (3)
\end{align}</math>

== 定理 ==
ノルム空間 (''V'' , <math>\| \cdot \|</math>) において、 [[中線定理]]が成り立つならば、 ''V''  にはすべての <math>x \in V</math> で <math>\|x\|^2 = \langle x,\ x\rangle</math> を満たす内積が存在する。 

=== 証明 ===
実ベクトル空間を考える。すると、極化恒等式から「内積」（と思われるもの）が得られる。 

: <math>
   \langle x, \ y \rangle = \frac{1}{4} \left(\|x + y \|^2 - \|x - y\|^2 \right)\ \forall\ x, y \in V
</math>

そこで、この「内積」が実際に内積の性質を満たし、この内積から導かれるノルムが (''V'' ,  <math>\| \cdot \|</math>) を定義するノルム <math>\| \cdot \|</math> であることを示す。  

<math>\langle \cdot, \cdot \rangle</math> が内積であるためには、次の性質を満たす必要がある。 

* <math>\langle x, x \rangle > 0, \quad x\in V \setminus\{\mathbf{0}\} </math>

定義式に <math>y = x \neq 0</math> を代入することで <math>\langle x, x \rangle = \frac{1}{4}\left(\|x+x\|^2 - \|x-x\|^2\right) = \|x\|^2 > 0</math> が成り立つことがわかる。 

* <math>\langle x, y \rangle = \langle y, x \rangle, \quad x,y \in V </math>

<math>\|x-y\|^2 = \|y-x\|^2</math>より、明らかに成り立つ。 

* <math>\langle \alpha x + z, y \rangle = \alpha\langle x, y \rangle + \langle z, y \rangle, \quad x,y,z \in V</math>

まず <math>\langle -x, y \rangle = -\langle x, y \rangle</math> を示す。 

<math>\langle -x, y \rangle =\frac{1}{4}\left(\|-x+y\|^2-\|-x-y\|^2\right)=\frac{1}{4}\left(\|x-y\|^2-\|x+y\|^2\right)= -\langle x, y \rangle</math>途中 <math>\|a\| = \|-a\|</math> を用いた。 

ここで[[中線定理]]を使用すると、次のことがわかる。 

<math>
   \langle x, \ y \rangle = \frac{1}{4} \left(\|x + y \|^2 - \|x - y\|^2 \right)\ = \frac{1}{2}\left(\|x+y\|^2 -\|x\|^2 -\|y\|^2\right)= \frac{1}{2}\left( \|x\|^2 + \|y\|^2-\|x-y\|^2\right) \forall\ x, y \in V
</math>

以降、必要に応じて、この3つの表現を使う。 

<math>\alpha \geq 0</math> とすると、ノルム <math>\|\cdot\|</math> の斉次性と劣加法性を使用して <math>\langle \alpha x, y \rangle-\alpha\langle x, y \rangle \leq 0</math> を示すことができる： 

: <math>\begin{align}
\langle \alpha x, y \rangle-\alpha\langle x, y \rangle &= \frac{1}{2}\left( \|\alpha x + y\|^2 -\alpha^2\|x\|^2-\|y\|^2 + \alpha\|x-y\|^2 -\alpha\|x\|^2 -\alpha \|y\|^2 \right) \\[4pt]
&\leq \frac{1}{2}\left(\left(\alpha\| x\|+\|y\|\right)^2 -\alpha^2\|x\|^2-\|y\|^2 + \alpha\|x-y\|^2 -\alpha\|x\|^2 -\alpha \|y\|^2 \right)\\[4pt]
&= \frac{1}{2}\left(\cancel{\alpha^2\|x\|^2}+\cancel{\|y\|^2} + 2\alpha\|x\|\|y\| \cancel{-\alpha^2\|x\|^2}-\cancel{\|y\|^2} + \alpha\|x-y\|^2 -\alpha\|x\|^2 -\alpha \|y\|^2 \right)\\[4pt]
&= \frac{1}{2}\alpha \left(2\|x\|\|y\| + \|x-y\|^2-\|x\|^2-\|y\|^2\right) \\[4pt]
&= \frac{1}{2}\alpha \left(\|x-y\|^2-\left(\|x\|-\|y\|\right)^2\right) \\[4pt]
&\leq 0
\end{align}</math>

大小関係には <math>\left(\|x\|-\|y\|\right)^2 \geq \|x-y\|^2</math> （ノルムの性質）を用いた。 

この性質は変数の組 <math>x, -y</math> を <math>x, y</math> としても保たれる。ここで、対称性と、上で既に示した符号の性質を使うことで、以下の式が得られる。 

: <math>\begin{align}
0 &\geq \langle \alpha x, -y \rangle-\alpha\langle x, -y \rangle \\[4pt]
&= \langle -\alpha x, y \rangle-\alpha\langle -x, y \rangle \\[4pt]
&= -\left(\langle \alpha x, y \rangle-\alpha\langle x, y \rangle\right) \\[4pt]
\end{align}</math>

したがって<math>\langle \alpha x, y \rangle-\alpha\langle x, y \rangle \geq 0 </math> となる。 0より大きいと同時に小さいので、 <math>\langle \alpha x, y \rangle-\alpha\langle x, y \rangle = 0 \Rightarrow \langle \alpha x, y \rangle=\alpha\langle x, y \rangle</math>が成り立つ。 

<math>\alpha < 0</math>  の場合も、<math>\beta = -\alpha</math> （ <math>\beta > 0</math> ）と置くことで、以下のように式の成立を確認できる。 

<math>
\langle\alpha x,y\rangle = \langle-\beta x,y\rangle = -\langle\beta x,y\rangle = -\beta\langle x,y\rangle = \alpha\langle x,y\rangle
</math>

次に <math>\langle x+z,y\rangle -\langle x,y\rangle-\langle z,y\rangle \leq 0</math> を示す。 

: <math>\begin{align}
\langle x+z,y\rangle -\langle x,y\rangle-\langle z,y\rangle &= \frac{1}{2}\left( \|x+y+z\|^2 - \|x+z\|^2 -\|y\|^2 + \|x-y\|^2 - \|x\|^2-\|y\|^2 + \|z-y\|^2-\|z\|^2-\|y\|^2 \right) \\[4pt]
&\leq \frac{1}{2}\left( \left(\|x+z\|+\|y\|\right)^2 - \|x+z\|^2 -\|y\|^2 + \left(\|x\|-\|y\|\right)^2 - \|x\|^2-\|y\|^2 + \left(\|z\|-\|y\|\right)^2-\|z\|^2-\|y\|^2 \right) \\[4pt]
&= \frac{1}{2}\left( \cancel{\|x+z\|^2}+\cancel{\|y\|^2} + 2\|x+z\|\|y\| -\cancel{\|x+z\|^2} -\cancel{\|y\|^2} + \cancel{\|x\|^2}+\cancel{\|y\|^2} - 2\|x\|\|y\| - \cancel{\|x\|^2}-\cancel{\|y\|^2} + \cancel{\|z\|^2}+\cancel{\|y\|^2} -2\|z\|\|y\|-\cancel{\|z\|^2}-\cancel{\|y\|^2} \right) \\[4pt]
&= \|y\| \left(\|x+z\|-\|x\|-\|z\|\right) \\[4pt]
&\leq 0
\end{align}</math>

大小関係には <math>\|x+z\|\leq\|x\|+\|z\|</math> （三角不等式）を用いた。 

上と同様に、 <math>x,z,y</math> の代わりに <math>x,z,-y</math> とした場合を考慮することで、<math>\langle x+z,y\rangle -\langle x,y\rangle-\langle z,y\rangle \geq 0</math> を証明できる。 したがって<math>\langle x+z,y\rangle =\langle x,y\rangle+\langle z,y\rangle</math> が成り立つ。 

ここで以上の等式を組み合わせると、<math>\langle \alpha x + z, y \rangle =\langle\alpha x, y \rangle + \langle z, y \rangle = \alpha\langle x, y \rangle + \langle z, y \rangle, \quad x,y,z \in V</math>が得られる。
<math>\langle \cdot, \cdot\rangle</math> は線形であるため、実際に内積であることが確かめられた。 

最後に、内積 <math>\langle \cdot, \cdot\rangle</math> からノルム <math>\|\cdot\|</math> を導出できることを示して証明を終える。 

<math>
\sqrt{\langle x, x\rangle} = \sqrt{\frac{1}{4}\left( \|x+x\|^2 + \|x-x\|^2\right)} = \sqrt{\frac{1}{4}\|2x\|^2} = \|x\|
</math>

== ドット積への応用 ==

=== 余弦定理との関係 ===
極化方程式の2番目の形式は、次のように記述できる。 

: <math>
 \|\textbf{u}-\textbf{v}\|^2 =
  \|\textbf{u}\|^2 + \|\textbf{v}\|^2 - 2(\textbf{u}\cdot\textbf{v})
</math>

これは、ベクトル '''u,''' '''v,''' '''u''' - '''v''' によって形成される[[三角形]]における、[[余弦定理]]のベクトル表現である。 特にベクトル '''u''' と '''v''' のなす角の角度を ''&#x3B8;'' とすると、次のように記述できる。 

: <math>\textbf{u}\cdot\textbf{v} = \|\textbf{u}\|\,\|\textbf{v}\| \cos\theta</math>  

=== 導出 ===
ノルムと内積の基本的な関係は、次の式で与えられる。 

: <math>\|\textbf{v}\|^2 = \textbf{v} \cdot \textbf{v}</math>

すると 

: <math>\begin{align}
 \|\textbf{u} + \textbf{v}\|^2
  &= (\textbf{u}+\textbf{v})\cdot(\textbf{u} + \textbf{v}) \\[3pt]
  &= (\textbf{u}\cdot\textbf{u}) + (\textbf{u}\cdot\textbf{v}) + (\textbf{v}\cdot\textbf{u}) + (\textbf{v}\cdot\textbf{v}) \\[3pt]
  &= \|\textbf{u}\|^2 + \|\textbf{v}\|^2 + 2(\textbf{u}\cdot\textbf{v})
\end{align}</math>

そして同様に 

: <math>
 \|\textbf{u} - \textbf{v}\|^2 =
  \|\textbf{u}\|^2 + \|\textbf{v}\|^2 - 2(\textbf{u}\cdot\textbf{v}).</math>

極化恒等式の形式（1）および（2）は、これらの方程式を '''u''', '''v''' について解くことで導出される。一方、形式（3）は、これら2つの方程式を引くことで得られる （ちなみに、2つの方程式を加算すると中線定理が得られる ）。 

== 一般化 ==

=== ノルム ===
[[線型代数学|線形代数]]では、以下の方程式による[[計量ベクトル空間|内積]]で定義された[[ベクトル空間|ベクトル空間の]]すべての[[ノルム]]に対して、極化恒等式が適用される。 

: <math>\|v\| = \sqrt{\langle v, v \rangle}</math>

上記の内積の場合で述べたように、実ベクトル ''u'' と ''v'' の場合、角度 ''θ'' は次のようにして導入できる<ref name="Hildebrand">
{{Cite book|title=Methods of applied mathematics|url=https://books.google.com/books?id=17EZkWPz_eQC&pg=PA24|page=24|chapter=Equation 66, the natural definition|last=Francis Begnaud Hildebrand|isbn=0-486-67002-3|year=1992|publisher=Courier Dover Publications|edition=Reprint of Prentice-Hall 1965 2nd}}</ref>。 

: <math>\langle u,\ v \rangle = \|u\|\|v\|\cos\theta\ ;\ (-\pi < \theta \le \pi)</math>

以下の[[コーシー＝シュワルツの不等式|コーシー・シュワルツの不等式]]から、この定義が妥当であることがわかる。 

: <math>|\langle u,\ v \rangle | \le \|u\|\|v\|</math>

この不等式により、上で定義した余弦の大きさは 1 以下になる。（角度 θ の適当な関数として）余弦関数を選ぶことで、 <math>\langle u,\ v \rangle = 0 </math> （直交ベクトル）のとき、角度 θ は π/ 2 か-π/ 2 になることが保証される。ここで、符号はベクトル空間の方向によって決まる。 

この場合、恒等式は次のようになる。 

: <math>\begin{align}
  \langle u, v \rangle &= \frac{1}{2}\left(\|u + v\|^2 - \|u\|^2 - \|v\|^2    \right) \\[3pt]
  \langle u, v \rangle &= \frac{1}{2}\left(\|u\|^2     + \|v\|^2 - \|u - v\|^2\right) \\[3pt]
  \langle u, v \rangle &= \frac{1}{4}\left(\|u + v\|^2           - \|u - v\|^2\right)
\end{align}</math>

逆に、ベクトル空間のノルムが中線定理を満たす場合、上記の恒等式のいずれかを使用して矛盾なく内積を定義できる。 関数解析では、このような内積ノルムの導入は、 [[バナッハ空間]]を[[ヒルベルト空間]]にするためによく使われる。

=== 対称双線形形式 ===
極化恒等式は内積に限定されるわけではない。''B'' がベクトル空間上の[[対称双線型形式|対称双線形形式]]であり、 ''Q'' が次で定義される[[二次形式]]であるとする。 

: <math>Q(v) = B(v, v)</math>

このとき 

: <math>\begin{align}
 2 B(u, v) &= Q(u + v) - Q(u) - Q(v)   \\
 2 B(u, v) &= Q(u)   + Q(v) - Q(u - v) \\
 4 B(u, v) &= Q(u + v)    - Q(u - v)
\end{align}</math>

いわゆる[[斉次多項式|対称化写像]]は、''Q''(''v'') = ''B''(''v,'' …, ''v'') で定義された次数 ''k'' の斉次多項式で ''Q'' を置き換えることで後者の式を一般化する。ここで、 ''B'' は対称 ''k''-線形写像である。 

上の式は、 [[スカラー (数学)|スカラー]]の[[可換体|体]]が[[標数]] 2を持つ場合にも適用されるが、この場合左辺はすべてゼロとなる。結果、性質(2)に対応する二次形式での対称双線形形式の公式は存在しない。これらは実際に異なる概念であり、このことが {{仮リンク|L理論|en|L-theory}}で重要な結果をもたらす。簡単のため、この文脈では「対称双線形形式」は単に「対称形式」と呼ばれることが多い。 

これらの式は、 [[可換環]]上の[[環上の加群|加群]]の双線形形式にも適用されるが、同様に {{訳語疑問点範囲|''B''(''u'', ''v'') について解くことができるのは2が環で可逆である場合のみで、それ以外の場合は異なる概念となる|date=2020年7月|though again one can only solve for B(u, v) if 2 is invertible in the ring, and otherwise these are distinct notions.|cand_prefix=原文}}。たとえば、整数についていえば、より狭い概念である[[二次形式|整二次形式]]と整''対称''形式の区別となる。 

より一般に、{{訳語疑問点範囲|環の対合が存在する場合、または2が可逆でない場合|date=2020年7月|in the presence of a ring involution or where 2 is not invertible|cand_prefix=原文}}、 [[Ε-二次形式|ε二次形式]]と[[Ε-二次形式|ε対称形式]]に区別される。対称形式は二次形式を定義し、二次形式から対称形式への（2の因数なしの）極化恒等式は「対称化写像」と呼ばれ、これは一般に同型ではない。 これは歴史的に微妙な違いだった。整数については、1950年代になって初めて「2なし」（整''二次''形式）と「2つき」（整''対称''形式）の関係が理解された（[[二次形式|整二次形式]]の説明を参照）。 {{仮リンク|手術_(数学)|en|Surgery_theory|label=手術}}(surgery)の代数化では、ミシュチェンコ(Mishchenko)は元々、（ウォール(Wall)やラニツキ(Ranicki)のように）正しい''二次L群''ではなく''対称L群を''使用していた（{{仮リンク|L理論|en|L-theory}}での議論を参照）。 

=== 複素数 ===
[[複素数]]の線形代数ではふつう、 <math>\langle v, u \rangle</math> が <math>\langle u, v \rangle</math> の[[複素共役]]となるような[[半双線型形式|半双線形形式]]内積を用いる。この場合、標準的な極化恒等式は内積の実部のみに対して与えられる。 

: <math>\begin{align}
 \operatorname{Re}\langle u, v \rangle &= \frac{1}{2}\left(\|u + v\|^2 - \|u\|^2 - \|v\|^2\right) \\[3pt]
 \operatorname{Re}\langle u, v \rangle &= \frac{1}{2}\left(\|u\|^2 + \|v\|^2 - \|u - v\|^2\right) \\[3pt]
 \operatorname{Re}\langle u, v \rangle &= \frac{1}{4}\left(\|u + v\|^2    - \|u - v\|^2\right)
\end{align}</math>

<math>\operatorname{Im}\langle u, v \rangle =\operatorname{Re}\langle u, -iv \rangle</math> （内積が2番目の変数で線形であるという規則による）を用いると、内積の虚数部は次のように得られる。 

: <math>\begin{align}
 \operatorname{Im}\langle u, v \rangle &= \frac{1}{2}\left(\|u - iv\|^2 - \|u\|^2 - \|v\|^2\right) \\[3pt]
 \operatorname{Im}\langle u, v \rangle &= \frac{1}{2}\left(\|u\|^2 + \|v\|^2 - \|u + iv\|^2\right) \\[3pt]
 \operatorname{Im}\langle u, v \rangle &= \frac{1}{4}\left(\|u - iv\|^2 - \|u + iv\|^2\right)
\end{align}</math>

=== 高次の斉次多項式 ===
最後に、これらのどの文脈でも、恒等式を任意の[[多項式の次数|次数]]の[[斉次多項式]] （すなわち、 [[斉次多項式|代数的形式]]）に拡張することができる。これは{{仮リンク|代数的形式の極化|en|Polarization_formula|label=極化式}}としても知られる（詳細は{{仮リンク|代数的形式の極化|en|Polarization_of_an_algebraic_form}}の記事を参照）。 

極化恒等式は、次のように表すことができる。 

: <math>\langle u, v \rangle = 4^{-1} \sum_{k=0}^3 i^k\left\|u + i^k v\right\|^2</math>

== 参考文献 ==
{{Reflist}}
[[Category:恒等式]]
[[Category:ノルム]]
[[Category:ベクトル]]
[[Category:関数解析学]]
[[Category:線型代数学]]
[[Category:抽象代数学]]
{{DEFAULTSORT:きょくかこうとうしき}}