極小イデアルのソースを表示

[[環論]]という[[抽象代数学]]の分野において、[[環 (数学)|環]] ''R'' の'''極小右イデアル''' (minimal right ideal) とは、他の 0 でない右イデアルを含まない 0 でない[[右イデアル]]のことである。同様に、'''極小左イデアル''' は ''R'' の他の 0 でない左イデアルを含まない ''R'' の 0 でない左イデアルで、''R'' の'''極小イデアル'''とは ''R'' の他の 0 でない両側イデアルを含まない 0 でないイデアルのことである{{harv|Isaacs|2009|loc=p.190}}。

別の言い方をすれば、極小右イデアルは包含で順序を入れた ''R'' の 0 でない右イデアル全体からなる[[半順序集合]]の[[極小元]]である。この文脈の外ではイデアルのある半順序集合は零イデアルを持つかもしれず 0 がその半順序集合における極小元となるかもしれないことに注意しよう。例えば[[素イデアル]]の集合がそうである。{{仮リンク|極小素イデアル|en|minimal prime ideal}}として零イデアルを持つかもしれない。

==定義==
環 ''R'' の極小右イデアル ''N'' の定義は次の条件と同値である：
* ''K'' が ''R'' の右イデアルで {0} ⊆ ''K'' ⊆ ''N'' であれば、''K'' = {0} または ''K'' = ''N'' である。
*''N'' は[[単純加群|単純]]右 ''R'' 加群である。

極小右イデアルは[[極大イデアル|極大右イデアル]]の[[双対 (数学)|双対概念]]である。

==性質==
極小イデアルに関する多くの標準的な事実が {{harv|Anderson|Fuller|1999}}, {{harv|Isaacs|1992}}, {{harv|Lam|2001}}, {{harv|Lam|1999}} のような標準的なテキストにおいて見つけられる。

* [[単位的環]]において[[極大イデアル|極大右イデアル]]が必ず存在することは事実である。対照的に、極小右、左、または両側イデアルが環において存在する保証はない。
* 環の右[[半単純成分#加群の半単純成分|半単純成分]] <math>\mathrm{soc}(R_R)</math> は ''R'' の極小右イデアルのことばによって定義される重要な構造である。
* すべての右イデアルが極小右イデアルを含むような環はちょうど本質右半単純成分を持つような環である。
* 任意の右[[アルティン環]]や右[[カシュ環|Kasch環]]は極小右イデアルを持つ。
* [[可除環]]でない[[非可換整域|域]]は極小右イデアルを持たない。
* 単位元を持つ環において、極小右イデアルは[[単項イデアル|単項右イデアル]]でなければならない。なぜならば、極小右イデアル ''N'' の任意の 0 でない元 ''x'' に対して、集合 ''xR'' は ''N'' に含まれる ''R'' の 0 でない右イデアルでありしたがって ''xR'' = ''N'' だからである。
* '''Brauer's lemma:''' 環 ''R'' の任意の極小右イデアル ''N'' は ''N''<sup>2</sup> = {0} あるいは ''R'' のある[[冪等元]]に対し ''N'' = ''eR'' を満たす {{harv|Lam|2001|loc=p.162}}。
* ''N''<sub>1</sub> と ''N''<sub>2</sub> が ''R'' の同型でない極小右イデアルであれば、積 ''N''<sub>1</sub>''N''<sub>2</sub> = {0} である。
* ''N''<sub>1</sub> と ''N''<sub>2</sub> が環　''R'' の相異なる極小イデアルであれば、''N''<sub>1</sub>''N''<sub>2</sub> = {0}.
* 極小右イデアルを持つ[[単純環]]は[[半単純環]]である。
* [[半素環]]において、極小右イデアルが存在することと極小左イデアルが存在することは同値である。 {{harv|Lam|2001|loc=p.174}}

==一般化==
右加群 ''M'' の非零部分加群 ''N'' が'''極小部分加群''' (minimal submodule) であるとは、''M'' の他の非零部分加群を含まないことをいう。同じことであるが、''N'' は ''M'' の[[単純加群|単純]]部分加群である。非零部分両側加群 ''N'' を ''N'' が他の非零部分両側加群を含まないときに ''M'' の'''極小部分両側加群'''と呼ぶことによって[[両側加群]]にも拡張できる。

加群 ''M'' を右 ''R'' 加群 ''R''<sub>''R''</sub> ととれば、明らかに極小部分加群はちょうど ''R'' の極小右イデアルである。同様に、''R'' の極小左イデアルはちょうど左加群 <sub>''R''</sub>''R'' の極小部分加群である。両側イデアルの場合には ''R'' の極小イデアルはちょうど両側加群 <sub>''R''</sub>''R''<sub>''R''</sub> の極小部分両側加群であることが分かる。

環のときと同様、加群において極小部分加群が存在する保証はない。極小部分加群は[[半単純成分#加群の半単純成分|加群の半単純成分]]を定義するのに使うことができる。

== 参考文献==
{{Reflist}}
*{{citation  |author1=Anderson, Frank W.   |author2=Fuller, Kent R.  |title=Rings and categories of modules   |series=Graduate Texts in Mathematics   |volume=13   |edition=2   |publisher=Springer-Verlag  |place=New York   |year=1992   |pages=x+376   |isbn=0-387-97845-3  |mr=1245487 }}

*{{citation |author=Isaacs, I. Martin |title=Algebra: a graduate course |series=Graduate Studies in Mathematics |volume=100 |origyear=1994 |publisher=American Mathematical Society |place=Providence, RI |year=2009 |pages=xii+516 |isbn=978-0-8218-4799-2 |MR=2472787}}

*{{Citation | last1=Lam | first1=Tsit-Yuen | title=Lectures on modules and rings | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | series=Graduate Texts in Mathematics No. 189 | isbn=978-0-387-98428-5 | mr=1653294 | year=1999}}

*{{citation   |author=Lam, T. Y.   |title=A first course in noncommutative rings  |series=Graduate Texts in Mathematics   |volume=131   |edition=2   |publisher=Springer-Verlag   |place=New York   |year=2001   |pages=xx+385   |isbn=0-387-95183-0   |mr=1838439 }}

== 外部リンク ==
*{{SpringerEOM | title=Minimal ideal | id=Minimal_ideal&oldid=33187}}

{{DEFAULTSORT:きよくしよういてある}}
[[Category:抽象代数学]]
[[Category:環論]]
[[Category:イデアル]]
[[Category:数学に関する記事]]