極小曲面のソースを表示

{{distinguish| [[有理曲面#構造 |極小有理曲面]] | [[ エンリケス・小平の分類#極小モデルとブローアップ | 極小代数曲面]] }}
[[数学]]または[[物理学]]において、'''極小曲面'''（きょくしょうきょくめん、{{Lang-en-short| [[w:en:minimal surface |minimal surface ]] }}、{{lang-fr-short| [[w:fr:surface minimale |surface minimale ]]  }}、{{ lang-de-short | [[w:de: minimalfläche |minimalfläche]] }}、{{ lang-zh-short | [[w:zh:極小曲面 |極小曲面]] }}）とは局所的にその面積を最小化する曲面である。

これは{{日本語版にない記事リンク|平均曲率|en|mean curvature}}が零をもつことと同じである（以下の定義を見よ）。

== 解説 ==
「極小曲面」の用語はこれら曲面が本来ある一定の面積を合計として最小にする曲面としてであるから用いられる。極小曲面の面積を最小化する物理的モデルは、{{日本語版にない記事リンク|石鹸膜|en|soap film}}が生じる、石鹸液に針金の枠を漬けることで作ることができる。それはその針金枠を境界とする極小曲面である。しかしながら、その用語は自己交差や制約されないより一般的な曲面についても用いられる。そこで与えられた制約条件は面積の異なる幾つかの極小曲面をも成り立たせる（例えば、{{日本語版にない記事リンク|回転極小曲面|en|minimal surface of revolution}} を見よ）：標準的な定義は[[極値|局所的最適]]に関係するだけで、[[極値|大域的最適]]ではない。<!-- 以下仏語版冒頭の第3段落を追加（よく読んでみると英語版にも同じような説明があったりして…）。 -->

直観的には、或る極小曲面は、最小を充たす摂動の適用における変数のところのその面積または体積が与えられる曲面である。その極小曲面はつまり（十分小さくかつ十分限定された或る摂動の結果からみて長さが増加するしかないところの）[[測地線]]より高い次元において相似物として形成される。

== 定義 ==

[[File:Saddle Tower Minimal Surfaces.png |thumb | {{仮リンク | 鞍型塔状曲面 | en | saddle tower | label = 鞍型塔状}}極小曲面、その面積を増加させる曲面の任意の小さな変形のなかで、最も小さな合計面積をもつ同じ境界である曲面が存在する。]]
極小曲面は[[実数空間|<math>\R^3</math>]]<!-- 左数式にリンクを追加。 -->において、幾つかの同値な方法により定義できる。それらが同値である事実は極小曲面の理論がいかに幾つもの数学上の分野にまたがっているかを示す、とりわけ[[微分幾何学]]、[[変分法]]、[[ポテンシャル論]]、[[複素解析]]そして[[数理物理学]]<ref>{{ harvnb | Meeks | Pérez | 2011 }}</ref>。

:'''局所最小面積定義'''（{{lang-en-short| local least area definition}}）：おなじ境界をもつすべての曲面のうち最小の面積をもつ、単純閉曲線により境界づけられた、曲面<math>M \subset \R^3</math>は、任意の点 ''p'' ∈ ''M''が[[近傍 (位相空間論)|近傍]]をもてば、そのときに限り極小である。

この性質は局所的である：より小さな面積のおなじ境界をもつその他の曲面とともに、極小曲面では領域が存在しなければならない。この性質は石鹸膜に関連して確立された；境界としての針金枠に、極小の面積になるよう石鹸膜は形作られる。

:'''変分的定義'''（{{lang-en-short | variational definition}}）：曲面<math>M \subset \R^3</math>は、コンパクトに支持されたすべての[[変分法 |変分]]に対する面積[[関数 (数学) |関数]]の[[臨界点 (数学) |臨界点]]であれば、そのときに限り極小である。

この定義は、長さ関数の臨界点として類似に定義されるものである、[[測地線]]に対する2次元の類似として極小曲面を成り立たせる。

[[File:Minimal surface curvature planes-en.svg|thumb|極小曲面の曲率平面。極小曲面では、主曲率の平面のうちの曲率は同じであり、すべての点で正負が逆である。これは主曲率が零であることを意味する。]]

:'''平均曲率的定義'''（{{lang-en-short | mean curvature definition}}）：曲面<math>M \subset \R^3</math>は、すべての点でその{{日本語版にない記事リンク |平均曲率 | en | mean curvature}}が零に等しければそのときに限り極小である。

この定義の直接な意味は、曲面上の任意の点は等しくかつ相対する[[主曲率]]の[[鞍点]]であるということである。さらに言えば、これは、極小曲面が{{日本語版にない記事リンク | 平均曲率流れ | en | mean curvature flow}}の静的な解を与えることを示す。[[ヤング・ラプラスの式]]により、石鹸膜の平均曲率はその側面の圧力差に比例する。もしある領域で石鹸膜が囲まれていなければ、そのときこれはその平均曲率が零になることを成り立たせる。

:'''微分方程式による定義'''（{{lang-en-short |Differential equation definition}}）:曲面<math>M \subset \R^3</math>はもしそれが次式の解のグラフとして局所的に表されるならばそのときに限り極小である：
::<math>(1+u_x^2)u_{yy} - 2u_xu_yu_{xy} + (1+u_y^2)u_{xx}=0</math>

この定義のその偏微分方程式はもともと1762年に[[ラグランジュ]]により見つけられた<ref name="Lagrange1760">{{ harvnb | Lagrange | 1760 }}</ref>、そして[[ジャン＝バティスト・ムーニエ]]は1776年に平均曲率が消えることを意味していることを見出した<ref name="Meusnier1785">{{ harvnb | Meusnier | 1785}}</ref>。

:'''エネルギーによる定義'''（{{lang-en-short|energy definition}}）：ある[[等角写像|等角]]な[[はめ込み]]<math>X: M \rightarrow \R^3</math>は、もしすべての支持するコンパクトな多様体についての[[ディリクレエネルギー]]の臨界点であるならばそのときに限り極小である。または同値として、もし任意の点<math>p \in M</math>が、その境界に比例した最小のエネルギーをもつ近傍をもてば極小である。

この定義は極小曲面を[[調和関数]]と[[ポテンシャル論]]とに結び付ける。

:'''調和的定義'''（{{lang-en-short|harmonic definition}}）：もし<math>X = (x_1, x_2, x_3) : M \rightarrow \R^3</math>が、ある[[リーマン面]]の3次元空間への[[等長写像|等長的]]はめこみならば、<math>x_i</math>が各<math>i</math>の<math>M</math>における[[調和関数]]であるときはいつでも、<math>X</math>は極小であるという<!-- 原文難読 -->。

この定義と[[調和関数#最大値原理|調和関数の最大値原理]]の直接的な意味は、<math>\R^3</math>には[[コンパクト空間|コンパクト]]で[[完備距離空間|完備]]な極小曲面は無いことである。

:'''ガウス写像による定義'''（{{lang-en-short|Gauss map definition}}）：ある曲面<math>M \subset \R^3</math>は、[[ステレオ投影|ステレオ]]な投影である[[ガウス写像]]<math>g: M \rightarrow </math>[[複素平面#コンパクト化|<math> \Complex \cup \{\infty\}</math>]]<!-- 左数式にリンクを追加。 -->が、もととなる[[リーマン面]]の構造に関して[[有理型関数|有理型]]であり、かつ'球面の一部'（{{lang-en-short |piece of a sphere}}）ではないときに限り極小である。

この定義は、そのガウス写像のその導関数と関係する、平均曲率が{{仮リンク|曲面の微分幾何学#形状作用素|en |Shape operator#Shape operator |label = 形状作用素 }}の[[跡 (線型代数学)|跡]]の半分であることを用いる。もし投影されたガウス写像が[[コーシー・リーマン方程式]]に従うならば、この場合それは球面の一部であって、跡は消えるかまたは<math>M</math>の各点は{{日本語版にない記事リンク|臍点|en|umbilical point}}である。

局所最小面積定義と変分的定義は<math>\R^3</math>よりも高次の[[リーマン多様体]]へ拡張して定義することを極小曲面に与える<ref>変分的定義については{{harv |西川|1998}}を見よ。</ref>。

== 歴史 ==

極小曲面の理論は
[[ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュ|ラグランジュ]]が1762年に、与えられた閉じた輪郭に交差して引き伸ばされる最小の面積の曲面<math>z=z(x,y)</math>を探す変分問題を考えたときに始まる。
彼はその解に対して次の[[オイラー＝ラグランジュ方程式]]を導いた：

:<math>\frac{d}{dx}\left(\frac{z_x}{\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}}\right ) + \frac{d}{dy}\left(\frac{z_y}{\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}}\right )=0</math>

彼は平面以外に何らの解も見つけることにはならなかった。1776年に[[ジャン＝バティスト・ムーニエ]]は{{日本語版にない記事リンク |螺旋面 | en | Helicoid}}と{{日本語版にない記事リンク | 懸垂面 |en | catenoid }}がその方程式を満たすこと、および微分の表現がその曲面の{{日本語版にない記事リンク |平均曲率 |en |mean curvature }}の二倍に関係すること、結論として零平均曲率をもつ曲面は面積極小であることを見出した。

ラグランジュの方程式を次のように拡張することによって：

:<math>\left(1 + z_x^2\right)z_{yy} - 2z_xz_yz_{xy} + \left(1 + z_y^2\right)z_{xx} = 0</math>

[[ガスパール・モンジュ]]と[[アドリアン＝マリ・ルジャンドル]]は1795年に解の曲面についての式の表現を導いた。{{日本語版にない記事リンク |ハインリッヒ・シェルク|en |Heinrich Scherk}}が1830年に{{ 仮リンク | シェルク曲面 | en |Scherk surface |label = 彼の曲面}}を導いたことによってこれらが成功したときに、彼らは実際には役立たないものとして一般的に見なした。[[ウジェーヌ・シャルル・カタラン]]は1842年と1843年に螺旋面が唯一の{{日本語版にない記事リンク |線織面 | en | ruled surface}}の極小曲面であることを証明した。

'[[複素解析]]の方法'（{{lang-en-short |complex method}}）により{{日本語版にない記事リンク |ビョーリング問題|en |Björling problem}}が解かれた、その世紀の半ばまで明らかに進歩は低下した。しかし極小曲面の「最初の黄金時代」は始まった。[[ヘルマン・アマンドゥス・シュヴァルツ|シュワルツ]]は複素解析の方法により{{日本語版にない記事リンク |プラトーの問題 |en |Plateau's problem }}の[[正四角形]]についての解を1865年に、そして一般の四角形について（彼の周期的{{日本語版にない記事リンク | シュワルツ極小曲面 | en | Schwarz minimal surface}}の構成により）1867年に見出した。[[カール・ワイエルシュトラス |ワイエルシュトラス]]と{{日本語版にない記事リンク | アルフレッド・エネパー | en |Alfred Enneper }}は、極小曲面を複素解析と[[調和関数]]とに強固に結びつける、もっと便利な{{日本語版にない記事リンク | ワイエルシュトラス-エネパー媒介変数表示 | en |Weierstrass–Enneper parameterization }}を開発した。他の重要な寄与は{{仮リンク | ジョゼフ・アルフレド・セレ | en | Joseph-Alfred Serret | label = セレ }}、[[ダルブー]]、[[ジョゼフ・ベルトラン | ベルトラン]]、[[ピエール・オシアン・ボンネ|ボンネ]]、[[ソフス・リー|リー]]、[[ベルンハルト・リーマン|リーマン]]、{{仮リンク | ユリウス・ワインガルテン| en | Julius Weingarten | label = ワインガルテン }}からあった。

[[Image<!--Fichier-->:Modell einer Minimalfläche mit einer Lemniskate als geodätischer Linie.jpg|thumb|[[木材]]と[[石膏]]が材料で、表面に曲線が施された仕上げの立体的数学模型の例である、[[レムニスケート]]を[[測地線]]として含む極小曲面の[[スケールモデル|縮尺模型]]。<ref name="us_741" >{{ harvnb | us 741 | 2011 }}</ref>.]]
1925年から1950年にかけて、極小曲面の理論は復活した、今では主に'非媒介変数表示極小曲面'（{{lang-en-short|nonparametric minimal surface}}）が指向されている。[[ジェス・ダグラス]]と{{日本語版にない記事リンク|ティボル・ラド|en|Tibor Radó}}によるプラトーの問題の完全な解決は主な金字塔である。<ref>{{ harvnb | ヒルベルト | コーン・フォッセン | 1961 | page = 291 }}、一次文献は{{ harvnb | Douglas | 1931 }}、{{ harvnb | Radó | 1930 }}。</ref>{{日本語版にない記事リンク|ベルンシュテインの問題|en|Bernstein's problem}}と'有限総曲率'（{{lang-en-short | finite total curvature }}）の'完備極小曲面'（{{lang-en-short |complete minimal surface}}）に関する{{日本語版にない記事リンク|ロバート・オッサーマン|en|Robert Osserman}}の業績も重要である。

またの復活が1980年代に始まった。一つの契機は1982年のセルソ・コスタによる{{仮リンク|コスタの極小曲面|en|Costa's minimal surface|label = ある曲面}}の発見である。これは、平面、懸垂面、螺旋面だけが有限な位相的な型の<math>\R^3</math> で完全に埋め込まれた極小曲面であることの予想を証明するものである。これは古い媒介変数的方法を用いた新しい成果を刺激するのみならず、研究された曲面を可視化する[[コンピューターグラフィックス]]と（大きな対称な曲面へ組み入れることができる、曲面の'切れ端'（{{lang-en-short|patch}}）を決める、{{仮リンク|随伴極小曲面|en |Associate family|label = 随伴曲面法}}を用いるときに、一定の媒介変数ははめ込まれる曲面をつくるよう数値的に適合することが必要になる）「区間問題（{{lang-en-short|period problem}}）」を解く数値的方法の重要性を示した。別の契機はH.カルチャー（{{lang-en-short|H. Karcher}}）による証明である。これはもともと1970年にアラン・ショーンによって経験的に述べられた{{日本語版にない記事リンク|三重周期極小曲面|en|Triply periodic minimal surface}}が実在することである。これは有意義な曲面の族と、古い曲面から例えばそれらに[[ハンドル体|把手]]（とって、{{lang-en-short | [[wikt:handle|handle]]}}）を付けたり捻じ曲げたりすることで、新しい曲面を派生する方法を導き出した。

現状では、極小曲面の理論は取巻く他の幾何学における極小部分多様体の理論に多様化して、数理物理学（例えば、{{仮リンク | 正値エネルギー定理 | en | positive energy theorem | label = 正値エネルギー予想}}、{{日本語版にない記事リンク | リーマン・ペンローズ不等式 | en | Riemannian Penrose inequality }}）と三次元多様体の幾何学（例えば、{{日本語版にない記事リンク | スミス予想 | en | Smith conjecture}}、[[ポアンカレ予想]]、[[幾何化予想]]）に関係するようになった。

== 例 ==
[[image:Catenoid.png|thumb|250px|right| [[Maple]]による懸垂面の表示。]]
[[Image:Helicoid.PNG|thumb<!--vignette-->|螺旋面。]]
[[Image:Helicatenoid.gif|thumb<!--vignette-->| right |懸垂面から螺旋面への、全点での[[等長写像|等長な]]局所変換。]]
極小曲面の古典的な具体例は以下を含む：
* [[自明性 (数学) |自明]]な場合として、[[平面]]
* {{日本語版にない記事リンク |懸垂面 |en |catenoid}}：[[懸垂線]]をその回転軸に1周して作られる極小曲面
* {{ 日本語版にない記事リンク | 螺旋面 | en | helicoid }}：その直線に垂直なひとつの回転軸のまわりに一定の速度で回転しながら、一定の速度をもって回転軸に沿って同時に進む直線によって描かれる曲面

懸垂面と螺旋面は、一方から他方への連続変形があることを与えられるという特筆に価する性質を有する。その局所的な変形はすべての点において[[等長変換|等長]]である。加えて、変形途中のすべての曲面は極小曲面である。<ref>{{ harvnb | ヒルベルト | コーン・フォッセン | 1961 | pages = 228 - 229 }}</ref>これらについて、懸垂面を表す変数値0から螺旋面を表す変数値<math>\frac{\pi}{2}</math>までの、<math>t</math>を変形の媒介変数として、そして次に示す<math>t</math>からの変形途中の曲面を表す変数の<math>(u,v)</math>である、媒介変数表示を私たちは容易に得る：
:<math>x = \frac{e^u \cos(v-t)}{2} + \frac{e^{-u} \cos(v+t)}{2} </math>
:<math>y = \frac{e^u \sin(v-t)}{2} + \frac{e^{-u} \sin(v+t)}{2} </math>
:<math>z = u\cos(t) + v\sin(t) </math>{{clear}}

19世紀の黄金時代からの曲面は以下を含む：
* {{ 日本語版にない記事リンク | シュワルツ極小曲面 | en | Schwarz minimal surface }}：
<math>\R^3</math>を埋める{{ 日本語版にない記事リンク | 三重周期極小曲面 | en | Triply periodic minimal surface }}
* {{ 日本語版にない記事リンク | リーマンの極小曲面 | en | Riemann's minimal surface }}：没後説明された周期的曲面
* [[エンネパー曲面|エネパー曲面]]
* {{日本語版にない記事リンク | ヘネバーグ曲面 |en | Henneberg surface }}：最初に見出された[[向き付け可能性 |向き付け不可能]]な極小曲面
* {{日本語版にない記事リンク |ボーアの極小曲面 | en | Bour's minimal surface }}：自己交差する極小曲面
* {{日本語版にない記事リンク |ネオビウス曲面 |en |Neovius surface }}：三重周期極小曲面

[[File:Costa's Minimal Surface.png | サムネイル | {{ 日本語版にない記事リンク | コスタの極小曲面 | en | Costa's Minimal Surface}} ]]
現代の曲面は以下を含む：
* [[ジャイロイド]]：液晶構造にとくに関係する三重曲面の、1970年以来のシェーンの曲面のひとつ。
* {{ 日本語版にない記事リンク | 鞍型塔状曲面 | en | saddle tower }}の族：{{ 日本語版にない記事リンク | シェルクの第二曲面 | en | Scherk surface#Scherk's second surface }}の一般化
* {{ 日本語版にない記事リンク | コスタの極小曲面 | en | Costa's minimal surface }}：著名な未証明の定理。{{日本語版にない記事リンク | セルソ・コスタ | en | Celso Costa}}と後に視覚化した{{ 日本語版にない記事リンク | ジェームズ・ホフマン | en | James Hoffman }}による。ジェームズ・ホフマン、ダビド・ホフマンおよびウィリアム・ミークス3世はそのとき異なった回転対称をもつ曲面の族を導く定義を拡張した。
* エンネパー曲面に把手を付けた、{{ 日本語版にない記事リンク | チェン‐ガクスタッター曲面 | en | Chen–Gackstatter surface }}の族{{clear}}

零でない一定のある曲率をもつ、[[球面]]は、用語の規定の意味において極小曲面ではない。それは別の極小の意味においてであることを確かめられる：それは一定の[[体積]]を内包して面積が極小である曲面である（[[等周定理]]の項を見よ）。

== 数学的性質 ==
=== 偏微分方程式 ===
<math>\R^3</math>に横たわる或る曲面は、二変数<math>u</math>と<math>v</math>からなる或る[[グラフ (関数)|関数のグラフ]]の如き表現である（ユークリッド）座標の変換により、局所化を与えられる。詳しくは、その曲面は座標の点の組み合わせに分解される：
<center><math>\vec{M} = \begin{pmatrix}u \\ v \\ f(u,v) \end{pmatrix} </math>,</center>
記法<math>\frac{ \partial f}{\partial u} = f_u</math>と<math>\frac{ \partial^2 f}{ \partial u^2} = f_{uu}</math>を用いて、オイラー-ラグランジュによる局所的方程式に書き直される：
<center><math>f_{uu}(1+f_v^2)- 2f_u f_v f_{uv} + f_{vv}(1+f_u^2) = 0.</math></center>
この方程式は一次と二次の階数の<math>f</math>のその偏微分を導く証拠とよばれる或る関係を示す：これは偏微分方程式の一例である。

例：式<math>z= f(v/u)</math>の解による唯一の族は{{日本語版にない記事リンク|螺旋面|fr| hélicoïde}}である。式<math>z= f(u) + g(v)</math>の解による唯一の族は{{日本語版にない記事リンク | シェルク曲面 | fr | Surfaces de Scherk }}である。

* 同様にもしそれらが反‐直観的に思われるのを与えるならば、それはプラトーの問題の解の唯一性が存在しない。言い換えれば、それは単独の極小曲面が与えれられた条件では定まらないことを示す。すなわち'輪郭'（{{lang-fr-short|contour}}）に対する極小曲面の個数に関して如何なるものかである：
** もし輪郭が或る[[平面曲線]]であるならば、それは或る極小曲面を囲む。同様にしてもしそれが或る平面への単なる射影であるならば或る凸状曲線に沿う（[[w:fr:Tibor Radó|Rado]],1932）<!-- この訳文日本語として曖昧かも… -->。
** [[曲率]]の合計が<math>4\pi</math>以下である曲線は円盤状の極小曲面の'境界'（{{lang-fr-short|border}}）を与える。
** 解析的曲線（{{lang-fr-short|courbe analytique}}）は、有限の個数の、面積が極小である曲面の境界を与える。

=== モース理論の応用 ===
[[モース理論]]は、臨界点の計算についての有効性を十分に上げる；有限次元の[[コンパクト空間]]において定義された或る関数の臨界点の個数を評価するのを含めて成し遂げるところの、[[モース理論#モース不等式 |モース不等式]]をもつことでそれは有名である。曲率が零の曲面は面積あるいは体積の臨界点として呈する。それはモース理論の応用を試みられる：とかくするうちに、曲面における'変分'（{{lang-fr-short|variation}}）は無限次元での検討の必要性を導く。コンパクト性は基本的な位相の性質において依存していることを与えない<ref>選ばれた定義がどうであろうと、[[多様体#無限次元多様体 |無限次元多様体]]は、局所的にコンパクトではない：崩れた、それは大域性の存在を与えない。</ref>。

それでも、類似の理論が成り立ち恒等式を与える：
<center><math>(-1)^{Y_1} + (-1)^{Y_2} + ... + (-1)^{Y_n} = 1,</math></center>
ここで<math>n</math>は異なる極小曲面の個数であり、すべての<math>Y_n</math>は、極小曲面毎に関係する特性数である。

== 一般化と他分野との関係 ==

極小曲面は<math>\R^3</math>以上の、{{日本語版にない記事リンク | 双曲空間 | en | hyperbolic space }}、高次元空間、または[[リーマン多様体]]のような、他の[[多様体]]でも定義できる。

極小曲面の定義は{{日本語版にない記事リンク | 定曲率曲面 |en |Constant-mean-curvature surface}}に一般化または拡張できる：必ずしも零である必要はない、平均曲率を有する曲面。

等温曲面（{{lang-en-short |isothermal surface}}）の曲率線（{{lang-en-short |curvature line}}）は等温網（{{lang-en-short |isothermal net}}）を成す<ref>{{harvnb | encyclopedia | 2011}}</ref>。

{{日本語版にない記事リンク | 離散微分幾何学 | en |discrete differential geometry }}では離散極小曲面が研究される：頂点の位置の'微動'（{{ lang-en-short | small [[wikt:perturbation | perturbation]] }}）のもとで面積を最小化する三角形による[[複体]]<ref>{{ harvnb | Pinkall | Polthier | 1993 }}</ref>。そのような離散化はしばしば、閉じた表現が知られていない表示においても、数値的に極小曲面を近似するのに用いられる。

極小曲面上の[[ ウィーナー過程 |ブラウン運動]]は、極小曲面に関する幾つかの定理の、確率論的な証明を導出する<ref>{{ harvnb | Neel | 2009 }}</ref>。

合成物の素材の[[自己集合]]での予想された応用により、特に{{日本語版にない記事リンク|分子工学|en|molecular engineering}}と[[材料工学]]の分野で、極小曲面は甚だしい科学の研究の一分野になった<ref>{{ harvnb | Han | Che | 2018 }}</ref>。細胞生物学で重要な構造の、[[小胞体]]は、非自明な極小曲面に従う進化の圧力のもとにおかれるよう提案された<ref>{{ harvnb | Terasaki | Shemesh | Kasthuri | Klemm | Schalek | Hayworth | Hand | Yankova | Huber | 2013 }}</ref>。

[[一般相対性理論]]と[[擬リーマン多様体#ローレンツ多様体|ローレンツ幾何学]]では、{{日本語版にない記事リンク |みかけの地平線 | en | apparent horizon }}として知られる、極小曲面の概念の確かな拡張と修正はは顕著である<ref>{{ harvnb | Choquet-Bruhat | 2009 | page = 417 }}</ref>。[[事象の地平線]]と対照的に、それらは[[ブラックホール]]の境界の理解への[[曲率]]に基づいた接近法を示す。

[[File:CircusTent02.jpg | thumb | 極小曲面に近似の、サーカスのテント。]]
テントのように、極小曲面による構造は用いられる。

極小曲面は現代のデザイナーによって用いられる{{ 日本語版にない記事リンク | 生成的デザイン | en | generative design }}の道具箱の一部である。建築においては、極小曲面に大いに関係する[[張力構造]]において多大な興味をもたれてきた。[[フライ・オットー]]、[[坂茂]]、[[ザハ・ハディッド]]の仕事において著名な事例がみられる。フライ・オットーによる[[ミュンヘン・オリンピアシュタディオン|ミュンヘン・オリンピック競技場]]の計画は石鹸膜に着想を得ている<ref>{{ harvnb | ArchDaily | 2011 }}</ref>さらにフライ・オットーによる別の著名な事例は、カナダのモントリオールの{{ 仮リンク | モントリオール万国博覧会 | en | Expo 67 pavilions | label = 1967年万博 | preserve=1 }}でのドイツ館である<ref>{{ harvnb | Architectuu }}</ref>。

美術界ではとりわけ、{{ 日本語版にない記事リンク | ロバート・エグマン | en | Robert Engman }}（ 1927 - 2018 ）、{{ 日本語版にない記事リンク | ロバート・ロングハースト | en | Robert Longhurst }}（ 1949 - ）、および{{ 日本語版にない記事リンク | チャールズ・O.ペリー | en | Charles O. Perry }}（ 1929 - 2011 ）の彫塑において、極小曲面は発展的に開花してきた。

=== 毛細管現象 ===
{{ main | 毛細管現象 }}
[[ Image:Bulle_caténoïde.png | thumb | 石鹸膜による懸垂面の実現。]]
[[ファイル:Bulle_de_savon_hélicoïde.PNG|右|サムネイル|260x260ピクセル|ヘリカルフレーム上の石鹸膜によって形成されるヘリコイド極小曲面]]
或る場合、石鹸の膜によって私たちは或る極小曲面を造ることを得る。この場合、石鹸膜は、この曲面が働くことを促すものである、[[ポテンシャルエネルギー]]に従い極小になってゆく。より詳しくは、それはラプラス‐ヤング方程式に従う：<math>\Delta p =2\sigma\gamma \,</math>；ここに<math>\Delta p \,</math>はその曲面の二つの断面で与えられる圧力差を示す、<math>\sigma \,</math>はこの曲面を形成させるものである液体により特徴づけられる、[[表面張力]]、そして<math>\gamma \,</math>は平均曲率である。石鹸膜が生じている場合において、その空気圧は両側から均等にかかる、よって<math>\Delta p = 0\,</math>、したがって曲率は零である：私たちは極小曲面を数学的に再定義した。

この表現はしかしながら利益が限定される。なにしろ、ポテンシャルエネルギーの安定な釣合いにおけるところの表現ではない。[[ポテトチップス]]の形の輪郭を想像してみよ。三つの曲面がこの輪郭に適合することを与えられる、石鹸膜に対応して二つがある、三つ目は不安定である、「幻影」の石鹸膜、これは[[エンネパー曲面|エネパー曲面]]からの例に対応する場合である。{{clear}}

== 関連項目 ==
{{ div col | 2 }}
* {{ 日本語版にない記事リンク | Surface Evolver | en | Surface Evolver }} 
* [[ウィア＝フェラン構造]]
* {{ 日本語版にない記事リンク | エネパー-ワイエルシュトラス媒介変数表示 | en | Weierstrass–Enneper parameterization }}
* [[曲率]]
* {{ 日本語版にない記事リンク | 三重周期極小曲面 | en | triply periodic minimal surface }}
* [[シャボン玉]]
* {{ 日本語版にない記事リンク | シュワルツ極小曲面 | en | Schwarz minimal surface }}
* {{ 日本語版にない記事リンク | 伸張格子法 | en | stretched grid method }}
* {{ 日本語版にない記事リンク | 双線形補間 | en | bilinear interpolation }}
* {{ 日本語版にない記事リンク | 調和写像 | en | harmonic map }}
* {{ 日本語版にない記事リンク | 調和同型 | en | harmonic morphism  }}
* [[張力構造]]
* {{ 日本語版にない記事リンク | ベルンシュテインの問題 | en | Bernstein's problem }}
* {{ 日本語版にない記事リンク | プラトーの問題 | en | Plateau's problem }}
* {{ 日本語版にない記事リンク | ブライアン曲面 | en | Bryant surface }}
{{ div col end }}

== 脚注または引用文献 ==
{{ Reflist | 2 }}

=== ウェブサイト ===
* {{Cite web |title=Isothermal surface - Encyclopedia of Mathematics |url=https://encyclopediaofmath.org/wiki/Isothermal_surface#:~:text=A%20surface%20whose%20curvature%20lines,Rotation%20surface;%20Minimal%20surface). |access-date=2022-09-04 |website=encyclopediaofmath.org | year = 2011 | ref = {{harvid | encyclopedia | 2011}} }}
* {{Cite web |date=2011-02-11 |title=AD Classics: Olympiastadion (Munich Olympic Stadium) / Behnisch and Partners & Frei Otto |url=https://www.archdaily.com/109136/ad-classics-munich-olympic-stadium-frei-otto-gunther-behnisch |access-date=2022-09-04 |website=ArchDaily |language=en-US | ref = {{ harvid | ArchDaily | 2011 }} }}
* {{ citation 
 | language  = de
 | url       = http://www.universitaetssammlungen.de/modell/741
 | title     = Modell einer Minimalfläche mit einer Lemniskate als geodätischer Linie
 | publisher = Universitätssammlungen in Deutschland
 | ref = {{ harvid | us 741 | 2011 }} 
}}
* {{Cite web |title=Expo 67 German Pavilion |url=https://architectuul.com/architecture/expo-67-german-pavilion |access-date=2022-09-04 |website=Architectuu | ref = {{ harvid | Architectuu  }} }}

=== 書籍 ===
* {{ cite book | 和書 | author1 = D.ヒルベルト | authorlink1 = ヒルベルト | author2 = S.コーン・フォッセン | title = 直観幾何学 | volume = 第Ⅱ巻 | year = 1961 | date = 1961(昭和36)-01-30 | translator = 芹沢正三 | publisher = [[みすず書房]] | location = 東京 | ref = {{harvid | ヒルベルト | コーン・フォッセン | 1961}} <!-- | postscript = , translated from:-->  }}translated from
** {{ cite book | last1 = Hilbert | first1 = D. | last2 = Cohn-Vossen | first2 = S. | title = Anschauliche Geometrie | publisher = Verlag von Julius Springer | location = Berlin | year = 1932 | language = ドイツ語 | ref = harv }}
* {{ cite book | first = Yvonne | last = Choquet-Bruhat | title = General relativity and the Einstein equations | series = Oxford Mathematical Monographs | publisher = Oxford University Press | location = Oxford | year = 2009 | postscript =  . xxvi+785 pp.| isbn = 
 978-0-19-923072-3 | ref = harv }}

=== 雑誌 ===
* {{ cite journal | last = Lagrange | first = J. L. | authorlink = ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュ | title = Essai d'une nouvelle methode pour determiner les maxima et les minima des formules integrales indefinies | journal =  Miscellanea Taurinensia 2 | volume = 325 | issue = 1 | page = 173 ,199 | year = 1760 | ref = harv }}
* {{ cite journal | last = Meusnier | first = J. B. | authorlink = ジャン＝バティスト・ムーニエ | title = Mémoire sur la courbure des surfaces | journal = Mém. Mathém. Phys. Acad. Sci.| publisher =   Paris, prés. par div. Savans | issue = 10 | pages = 477–510 | year = 1785 | postscript = , Presented in 1776. | ref = harv }}
* {{ cite journal | last = Radó | first = T. | journal = Math. Z. | volume = 32 | year = 1930 | ref = harv }}
* {{ cite journal | last = Douglas | first = J. | journal = Trans. Amer. math. Sac. | volume = 33 | year = 1931 | ref = harv }}
* {{cite journal | first1=Ulrich | last1=Pinkall | first2=Konrad | last2=Polthier | title=Computing Discrete Minimal Surfaces and Their Conjugates | journal=[[:en:Experimental Mathematics (journal)|Experimental Mathematics]] | volume=2 | issue=1 | pages=15–36 | year=1993 | mr=1246481 | url=http://projecteuclid.org/euclid.em/1062620735| doi=10.1080/10586458.1993.10504266 | ref = harv }}
* {{cite journal | first=Robert | last=Neel | year=2009 | arxiv=0805.0556 | title=A martingale approach to minimal surfaces | journal=Journal of Functional Analysis | volume=256 | issue=8 | pages=2440–2472 | doi=10.1016/j.jfa.2008.06.033 | mr=2502522| s2cid=15228691 | ref = harv }}
* {{cite journal
 | first1 = William H. III
 | last1 = Meeks
 | first2 = Joaquín
 | last2 = Pérez
 | year = 2011
 | title = The classical theory of minimal surfaces
 | journal =  [[w:en:Bull. Amer. Math. Soc.|Bull. Amer. Math. Soc.]]
 | volume = 48
 | issue = 3
 | pages = 325–407
 | doi = 10.1090/s0273-0979-2011-01334-9
 | mr = 2801776 
| doi-access = free
 | ref = harv }}
* {{Cite journal|last1=Terasaki|first1=Mark|last2=Shemesh|first2=Tom|last3=Kasthuri|first3=Narayanan|last4=Klemm|first4=Robin W.|last5=Schalek|first5=Richard|last6=Hayworth|first6=Kenneth J.|last7=Hand|first7=Arthur R.|last8=Yankova|first8=Maya|last9=Huber|first9=Greg|date=2013-07-18|title=Stacked endoplasmic reticulum sheets are connected by helicoidal membrane motifs|journal=Cell|volume=154|issue=2|pages=285–296|doi=10.1016/j.cell.2013.06.031|issn=0092-8674|pmc=3767119|pmid=23870120 | ref = harv }}
* {{Cite journal |last1=Han |first1=Lu |last2=Che |first2=Shunai |date=April 2018 |title=An Overview of Materials with Triply Periodic Minimal Surfaces and Related Geometry: From Biological Structures to Self-Assembled Systems |url=https://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/adma.201705708 |journal=Advanced Materials |language=en |volume=30 |issue=17 |page=1705708 |doi=10.1002/adma.201705708|pmid=29543352 | bibcode = 2018AdM....3005708H |s2cid=3928702 | ref = harv }}

== 参考文献 ==
{{参照方法|date=2023年11月|section=1}}
{{Commons&cat|Commons=Category:Minimal surfaces}}
* {{ cite book | language = フランス語 | author = [[w:fr:Pierre-Gilles de Gennes | Pierre-Gilles de Gennes ]] | author2=[[w:fr:Françoise Brochard-Wyart| Françoise Brochard-Wyart ]]|author3=[[w:fr:David Quéré | David Quéré ]] | title = Gouttes, bulles, perles et ondes <!-- | référence simplifiée=Référence:Gouttes, bulles, perles et ondes --> | publisher = Belin | location = Paris | series = Échelles | year = 2002 |ISBN=2701140552 | ref = harv }}
* {{ cite book | language = 英語 | last = Berger | first = Marcel | authorlink = w:en:Marcel Berger | title = A Panoramic View of Riemannian Geometry | publisher = Springer Verlag | location = Berlin | year = 2003 | pages = xxiv + 824 | isbn = 978-3-540-65317-2 | ref = harv}} 
* {{ cite book | language = 英語 | author = [[w:fr:Sylvestre Gallot|Sylvestre Gallot]] |author2=[[w:fr:Dominique Hulin (mathématicienne)|Dominique Hulin]]|author3=Jacques Lafontaine|title=Riemannian Geometry 
 | publisher =  Springer-Verlag - Universitext | edition = 3rd. | year = 2004 | isbn = 978-3-540-20493-0 | ref = harv }}

'''教科書'''
* [[リヒャルト・クーラント|R. Courant]]. ''Dirichlet's Principle, Conformal Mapping, and Minimal Surfaces.'' Appendix by M. Schiffer. Interscience Publishers, Inc., New York, N.Y., 1950. xiii+330 pp.
* [[w:en:H. Blaine Lawson, Jr.|H. Blaine Lawson, Jr.]] ''Lectures on minimal submanifolds. Vol. I.'' Second edition. Mathematics Lecture Series, 9. Publish or Perish, Inc., Wilmington, Del., 1980. iv+178 pp. {{ISBN|0-914098-18-7}}
* [[w:en:Robert Osserman|Robert Osserman]]. ''A survey of minimal surfaces.'' Second edition. Dover Publications, Inc., New York, 1986. vi+207 pp. {{ISBN|0-486-64998-9}}, {{mr|0852409}}
* Johannes C.C. Nitsche. ''Lectures on minimal surfaces. Vol. 1. Introduction, fundamentals, geometry and basic boundary value problems.'' Translated from the German by Jerry M. Feinberg. With a German foreword. Cambridge University Press, Cambridge, 1989. xxvi+563 pp. {{ISBN|0-521-24427-7}}
* {{ cite book | last = Nishikawa | first = Seiki | year = 2002 | title = Variational problems in geometry | series = Translations of mathematical monographs; Iwanami series in modern mathematics | volume = 205 | isbn = 0821813560 | issn = 0065-9282 <!--| ref = harv --> | translator-last = Abe | translator-first = Kinetsu | publisher = Providence, R. I. : [[American Mathematical Society]]  | postscript = , translated from: }}
** {{ cite book | 和書 | author = 西川青季 | year = 1998 | date = 1998(平成10)-01 | title = 幾何学的変分問題  | series = 岩波講座現代数学の基礎 | volume = 28 | publisher = [[<!--Iwanami Shoten | -->岩波書店]] | location = 東京 | isbn = 4-00-010642-2 | ref = {{ harvid | 西川 | 1998 }} }}[[1998年]]
* Ulrich Dierkes, Stefan Hildebrandt, and Friedrich Sauvigny. ''Minimal surfaces.'' Revised and enlarged second edition. With assistance and contributions by A. Küster and R. Jakob. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 339. Springer, Heidelberg, 2010. xvi+688 pp. {{ISBN|978-3-642-11697-1}}, {{doi|10.1007/978-3-642-11698-8}} {{closed access}}, {{mr|2566897}}
* [[w:en:Tobias Holck Colding|Tobias Holck Colding]] and [[w:en:William Minicozzi|William P. Minicozzi]], II. ''A course in minimal surfaces.'' Graduate Studies in Mathematics, 121. American Mathematical Society, Providence, RI, 2011. xii+313 pp. {{ISBN|978-0-8218-5323-8}}

'''オンライン文献'''
* {{Cite web |first=Hermann |author=Karcher |url=http://page.mi.fu-berlin.de/polthier/booklet/intro.html |title=Touching Soap Films - An introduction to minimal surfaces |year=1995 |access-date=December 27, 2006}} ''(graphical introduction to minimal surfaces and soap films.)''
* {{Cite web |title=Periodic Minimal Surfaces Gallery |url=http://www-klinowski.ch.cam.ac.uk/pmsgal1.html |author=Jacek Klinowski |access-date=February 2, 2009}} ''(A collection of minimal surfaces with classical and modern examples)''
* {{Cite web |title=Grape Minimal Surface Library |url=http://numod.ins.uni-bonn.de/grape/EXAMPLES/AMANDUS/amandus.html |author=Martin Steffens and Christian Teitzel |access-date=October 27, 2008}} ''(A collection of minimal surfaces)''
* {{Cite web |author=Various |url=http://www.eg-models.de/models.html |title=EG-Models |year=2000 |access-date=September 28, 2004}} ''(Online journal with several published models of minimal surfaces)''

== 外部リンク ==

* {{springer|title=Minimal surface|id=p/m063920}}
* [http://3d-xplormath.org/j/index.html 3D-XplorMath-J Homepage &#x2014; Java program and applets for interactive mathematical visualisation]
* [http://xahlee.org/surface/gallery_m.html Gallery of rotatable minimal surfaces]
* [http://www.princeton.edu/~rvdb/WebGL/minsurf.html WebGL-based Gallery of rotatable/zoomable minimal surfaces]

{{Differential-geometry-stub}}
<!-- {{Minimal surfaces}} -->
{{Normdaten}}
{{デフォルトソート:きよくしようきよくめん}}
[[Category:極小曲面]]
[[Category:曲面の微分幾何学]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:微分幾何学]]