極集合のソースを表示

[[函数解析学]]と関連する[[数学]]の分野において、ある[[ベクトル空間]]の与えられた部分集合の'''極集合'''（きょくしゅうごう、{{Lang-en-short|polar set}}）とは、その[[双対空間]]の中のある集合のことを言う。

[[ベクトル空間の双対系|双対組]] <math>(X,Y)</math> が与えられたとき、<math>X</math> のある部分集合 <math>A</math> の'''極集合'''あるいは'''極'''とは、次で定義される <math>Y</math> 内の集合 <math>A^\circ</math> のことを言う。

:<math>A^\circ := \{y \in Y : \sup_{x \in A} |\langle x,y \rangle |  \le 1\}</math>

<math>X</math> の部分集合 <math>A</math> の'''双極'''（bipolar）とは、<math>A^\circ</math> の極集合のことを言う。それは <math>A^{\circ\circ}</math> と表記される <math>X</math> 内の集合である。

== 性質 ==

* <math>A^\circ</math> は[[絶対凸集合|絶対凸]]である。
* <math>A \subseteq B</math> ならば <math>B^\circ \subseteq A^\circ</math> である。
** したがって <math>\bigcup_{i \in I}A_i^\circ \subseteq (\bigcap_{i \in I} A_i)^\circ</math> である。ここで集合の等号は必ずしも成立しない。
* すべての <math>\gamma \neq 0</math> に対して、次が成り立つ：<math>(\gamma A)^\circ = \frac{1}{\mid\gamma\mid}A^\circ</math>
* <math>(\bigcup_{i \in I} A_i)^\circ = \bigcap_{i \in I}A_i^\circ</math>
* 双対組 <math>(X,Y)</math> に対し、<math>A^\circ</math> は <math>Y</math> 上の{{仮リンク|超弱位相|label=弱*位相|en|Ultraweak topology}}の下で <math>Y</math> において[[閉集合|閉]]である。
* ある集合 <math>A</math> の双極 <math>A^{\circ\circ}</math> は、<math>A</math> の[[絶対凸集合|絶対凸包絡集合]]である。すなわち、<math>A</math> を含む最小の絶対凸集合である。<math>A</math> がすでに絶対凸であるなら、<math>A^{\circ\circ}=A</math> が成り立つ。
* <math>X</math> 内の閉[[凸錐]] <math>C</math> に対し、[[双対錐と極錐|極錐]] は <math>C</math> に対する片側極集合と同値で、次で与えられる。

: <math>C^\circ = \{y \in Y : \sup\{\langle x,y \rangle : x \in C \} \le 1\}</math>.<ref>{{cite book|last=Aliprantis|first=C.D.|last2=Border|first2=K.C.|title=Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide|edition=3|publisher=Springer|year=2007|isbn=978-3-540-32696-0|doi=10.1007/3-540-29587-9|page=215}}</ref>

== 幾何学 ==

[[幾何学]]において、極集合は点と平面の間の双対性を意味することもある。特に、ある点 <math>x_0</math> の極集合は、<math>\langle x, x_0 \rangle=0</math> を満たす点 <math>x</math> の集合で与えられ、それは'''極超平面'''（polar hyperplane）であり、超平面に対する双対関係はその'''極'''を与える。

== 関連項目 ==
* [[双対錐と極錐|極錐]]
* [[双極定理]]

== 参考文献 ==
{{Reflist}}

'''[[ポテンシャル論]]における極集合に関する文献'''：
Ransford, Thomas: Potential Theory in the Complex Plane, London Mathematical Society Student Texts 28, CUP, 1995, pp. 55-58.

{{Mathanalysis-stub}}
{{DEFAULTSORT:きよくしゆうこう}}
[[Category:関数解析学]]
[[Category:数学に関する記事]]