概マシュー作用素のソースを表示

[[数理物理学]]の分野における'''概マシュー作用素'''（がいマシューさようそ、{{Lang-en-short|almost Mathieu operator}}）とは、[[量子ホール効果]]の研究に現れる、次のような作用素のことを言う。
: <math> [H^{\lambda,\alpha}_\omega u](n) = u(n+1) + u(n-1) + 2 \lambda \cos(2\pi (\omega + n\alpha)) u(n). \, </math>
この作用素は[[ヒルベルト空間]] <math>\ell^2(\mathbb{Z})</math> 上で[[自己共役作用素]]として働く。ここで <math>\alpha,\omega \in\mathbb{T}, \lambda > 0</math> はパラメータである。[[純粋数学]]の分野では、この作用素の重要性は、[[エルゴード性|エルゴード的]]な[[ハミルトニアン|シュレーディンガー作用素]]のよく知られた例であるという事実に起因する。例えば、（今ではすべて解かれた）シュレーディンガー作用素に関するバリー・サイモンの「21世紀のための」15の問題は、概マシュー作用素を取り上げたものであった<ref>{{cite book |first=Barry |last=Simon |chapter=Schrödinger operators in the twenty-first century |title=Mathematical Physics 2000 |pages=283–288 |publisher=Imp. Coll. Press |location=London |year=2000 |isbn=186094230X }}</ref>。

<math>\lambda = 1</math> に対して、概マシュー作用素はしばしば'''ハーパーの方程式'''（Harper's equation）と呼ばれる。

== スペクトルのタイプ ==

<math>\alpha</math> が[[有理数]]であるなら、<math>H^{\lambda,\alpha}_\omega</math> は周期作用素であり、したがって[[フロケ理論]]によりその[[スペクトル (関数解析学)|スペクトル]]は純粋に[[絶対連続]]である。

<math>\alpha</math> が[[無理数]]である場合を考える。変換 <math> \omega \mapsto \omega + \alpha </math> は極小であるので、<math>H^{\lambda,\alpha}_\omega</math> のスペクトルは <math> \omega </math> には依存しない。一方、エルゴード性より、そのスペクトルの絶対連続な部分、特異連続な部分および純点部分は[[ほとんど (数学)#ほとんど確実に|ほとんど確実にx]] <math> \omega </math> に独立である。今、次の関係が知られている。
* <math>0 < \lambda < 1</math> なら、<math>H^{\lambda,\alpha}_\omega</math> は確実に純粋に絶対連続なスペクトルを持つ<ref>{{cite journal |first=A. |last=Avila |year=2008 |title=The absolutely continuous spectrum of the almost Mathieu operator |work=Preprint |arxiv=0810.2965 }}</ref>（これはサイモンの問題の一つであった）。
* <math>\lambda= 1</math> なら、<math>H^{\lambda,\alpha}_\omega</math> はほとんど確実に純粋に特異連続なスペクトルを持つ<ref>{{cite journal |last=Gordon |first=A. Y. |last2=Jitomirskaya |first2=S. |last3=Last |first3=Y. |last4=Simon |first4=B. |title=Duality and singular continuous spectrum in the almost Mathieu equation |journal=[[Acta Mathematica|Acta Math.]] |volume=178 |year=1997 |issue=2 |pages=169–183 |doi=10.1007/BF02392693 }}</ref>（まれなパラメータに対して固有値が存在し得るかは知られていない）。
* <math>\lambda > 1</math> なら、<math>H^{\lambda,\alpha}_\omega</math> はほとんど確実に純点スペクトルを持ち、[[アンダーソン局在]]を起こす<ref>{{cite journal |last=Jitomirskaya |first=Svetlana Ya. |title=Metal-insulator transition for the almost Mathieu operator |journal=[[Annals of Mathematics|Ann. of Math.]] |volume=150 |year=1999 |issue=3 |pages=1159–1175 |doi= |jstor=121066 }}</ref>（「ほとんど確実に」を「確実に」に変えることは出来ないことが知られている<ref>{{cite journal |first=J. |last=Avron |first2=B. |last2=Simon |title=Singular continuous spectrum for a class of almost periodic Jacobi matrices |journal=[[:en:Bulletin of the American Mathematical Society|Bull. Amer. Math. Soc.]] |volume=6 |year=1982 |issue=1 |pages=81–85 |doi= |zbl=0491.47014 }}</ref><ref>{{cite journal |first=S. |last=Jitomirskaya |first2=B. |last2=Simon |title=Operators with singular continuous spectrum, III. Almost periodic Schrödinger operators |journal=[[:en:Communications in Mathematical Physics|Comm. Math. Phys.]] |volume=165 |year=1994 |issue=1 |pages=201–205 |zbl=0830.34074 }}</ref>）。

<math> \lambda \geq 1 </math> の時は、スペクトル測度が特異となることが従う（ラストとサイモンの業績による<ref>{{cite journal |first=Y. |last=Last |first2=B. |last2=Simon |title=Eigenfunctions, transfer matrices, and absolutely continuous spectrum of one-dimensional Schrödinger operators |journal=[[:en:Inventiones Mathematicae|Invent. Math.]] |volume=135 |year=1999 |issue=2 |pages=329–367 |doi=10.1007/s002220050288 }}</ref>）。これは、
: <math> \gamma(E) \geq \max \{0,\log(\lambda)\} \, </math>
で与えられる[[リアプノフ指数]] <math>\gamma(E)</math> の下界より従う。

この下界は、Aubry と André のほとんど厳密な早期の議論の後に、Avron、サイモンおよび [[:en:Michael Herman (mathematician)|Michael Herman]] によって示された。実際、<math> E </math> がスペクトルに属する時、この不等式は等式（Aubry-André の公式）になるが、これは [[:en:Jean Bourgain|Jean Bourgain]] と Svetlana Jitomirskaya によって示された<ref>{{cite journal |first=J. |last=Bourgain |first2=S. |last2=Jitomirskaya |title=Continuity of the Lyapunov exponent for quasiperiodic operators with analytic potential |journal=[[:en:Journal of Statistical Physics|Journal of Statistical Physics]] |volume=108 |year=2002 |issue=5–6 |pages=1203–1218 |doi=10.1023/A:1019751801035 }}</ref>。

== スペクトルの構造 ==

[[Image:Hofstadter's_butterfly.png|thumb|ホフスタッターの蝶]]

概マシュー作用素のその他の目立った特徴として、すべての無理数 <math>\alpha</math> および <math>\lambda > 0</math> に対してスペクトルが[[カントール集合]]となることが挙げられる。この事実は [[:en:Artur Avila|Avila]] および Jitomirskaya によって、有名な "Ten Martini Problem" を解く際に示された<ref>{{cite journal |first=A. |last=Avila |first2=S. |last2=Jitomirskaya |title=The Ten Martini problem |work=Preprint |year=2005 |id={{ArXiv|math|0503363}} }}</ref>。この問題はサイモンの問題の一つでもあり、（パラメータに関する一般性<ref>{{cite journal |first=J. |last=Bellissard |first2=B. |last2=Simon |title=Cantor spectrum for the almost Mathieu equation |journal=[[:en:Journal of Functional Analysis|J. Funct. Anal.]] |volume=48 |year=1982 |issue=3 |pages=408–419 |doi=10.1016/0022-1236(82)90094-5 }}</ref>およびほとんど確からしさ<ref>{{cite journal |last=Puig |first=Joaquim |title=Cantor spectrum for the almost Mathieu operator |journal=Comm. Math. Phys. |volume=244 |year=2004 |issue=2 |pages=297–309 |doi=10.1007/s00220-003-0977-3 }}</ref>を含む）いくつかの先行結果ののちに解決された。

また、概マシュー作用素のスペクトルの測度は、すべての <math>\lambda > 0</math> に対して
: <math>Leb(\sigma(H^{\lambda,\alpha}_\omega)) = |4 - 4 \lambda| \, </math>
で与えられることが知られている。<math> \lambda = 1 </math> に対して、スペクトルは測度ゼロを意味する（これは[[ダグラス・ホフスタッター]]によって初めて提唱され、のちのサイモンの問題の一つとなった<ref>{{cite journal |first=A. |last=Avila |first2=R. |last2=Krikorian |title=Reducibility or non-uniform hyperbolicity for quasiperiodic Schrödinger cocycles |journal=[[Annals of Mathematics]] |volume=164 |year=2006 |issue=3 |pages=911–940 |doi=10.4007/annals.2006.164.911 }}</ref>）。<math> \lambda \neq 1 </math> に対する式は、Aubry および André によって数値的に発見され、Jitomirskaya と Krasovsky によって解かれた。

<math> \lambda =1 </math> に対するスペクトルの研究は、[[ホフスタッターの蝶]]を導くものである。このときそのスペクトルは集合として表される。

== 参考文献 ==
{{reflist|2}}

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