構成可能集合のソースを表示

{{出典の明記|date=2021年2月}}
{{for|位相空間|{{ill2|構成可能集合 (位相空間論)|en|Constructible set (topology)}}}}
ゲーデルの'''構成可能集合'''（こうせいかのうしゅうごう、 constructible universe または Gödel's constructible universe）とは、[[クルト・ゲーデル]]によって導入された、[[集合論]]の[[公理]]を満たすモデル上で[[空集合]]から帰納的に構成していける[[集合]]のことである。より正確な定義は後に述べる。

ゲーデルは、構成可能集合からなるクラス（通常 ''L'' と記される）が ZFC、すなわち [[公理的集合論|ZF]] に[[選択公理]]を加えたものの ZF での内部モデルになることを示した。彼はさらに、''L'' が[[連続体仮説#一般連続体仮説|一般連続体仮説]]を満たすことも示した。これによって、ZF が無矛盾ならば ZFC に一般連続体仮説を加えたものも無矛盾であることが証明された。

''L'' はそれ以外にもたくさんの興味深い性質を持っていることがわかっている。

==定義==
すべての[[順序数]] &alpha; に対して、集合 ''L''<sub>&alpha;</sub> を次のように再帰的に定義する：

# <math>L_0=\varnothing</math>、
# <math>\alpha\,</math> が[[順序数#後続順序数と極限順序数|極限順序数]]のとき、 <math>L_\alpha = \bigcup\{ L_\beta \mid \beta < \alpha\}</math> 、
# <math>L_{\alpha+1}\,</math> は、<math>L_\alpha\,</math> 上で集合論の言語による一階の論理式と有限個のパラメータによって定義可能な集合全体の集合とする。 


ある順序数 &alpha; に対して ''x'' &isin; ''L''<sub>&alpha;</sub> であるような集合 ''x'' を'''構成可能集合'''と呼ぶ。構成可能集合全体のクラス ''L'' を'''構成可能宇宙'''と呼ぶ。

== ''L''-階数 ==
構成可能集合 ''x'' に対して、''x'' &isin; ''L''<sub>&alpha; + 1</sub> をみたす最小の順序数 &alpha; を ''x'' の''' ''L''-階数'''（''L''-rank）といい、これを &rho;(''x'') で表す。

==性質==
* ''L'' は全ての順序数を含む最小の ZFC のモデルである。
* 全ての[[共終数#正則基数|正則基数]] &kappa; に対して &kappa; 上の[[ダイヤモンド原理]] <math>\diamondsuit_\kappa</math> が成り立つ。
* [[ススリンの問題|ススリン木]]が存在する。

== 関連項目 ==
*[[集合]]
*[[集合論]]
*[[公理的集合論]]
*{{仮リンク|構成可能性公理|en|Axiom of constructibility}}
*[[順序数]]
*[[整礎的集合]]
*[[グロタンディーク宇宙]]

{{デフォルトソート:こうせいかのうしゆうこう}}
[[Category:集合論的宇宙]]
[[Category:クルト・ゲーデル]]
[[Category:数学に関する記事]]