標数のソースを表示

{{Otheruses||合同式の標数|指数 (初等整数論)|多面体あるいは胞複体の標数|オイラー標数}}

'''標数'''（ひょうすう、{{lang-en-short|characteristic}}）は、[[環_(数学)|環]]あるいは[[可換体|体]]の特徴を表す[[自然数|非負整数]]のひとつ。[[整域]]の標数は [[0]] または[[素数]]に限られる。

== 定義 ==
''R'' を[[単位元]]を持つ環（単位的環）、1<sub>''R''</sub> をその乗法単位元とする。また、正整数 ''n'' に対し
:<math>n\,1_R := 1_R + 1_R +\dotsb + 1_R</math> (''n'' 個の和)
と定めるとき、 ''n'' 1<sub>''R''</sub> = 0<sub>''R''</sub> （0<sub>''R''</sub> は ''R'' の[[零元]]）なる整数 ''n'' &gt; 0 が存在するならば、その最小値を環 ''R'' の'''標数'''という。他方、このような ''n'' が存在しないとき、環 ''R'' の標数は 0 と定める。標数が 0 でないことを表すのに'''正標数'''という用語を用いることもある。環 ''R'' の標数をしばしば ch(''R''), char(''R'') のように記す。

== 素整域・素体 ==
''R'' を任意の単位的環とする。単位的環 ''R'' の（単位的環としての）部分環は必ず単位元 1<sub>''R''</sub> を含む。したがって、1<sub>''R''</sub> の生成する環は全ての部分環に含まれ、''R'' の最小の部分環となる。ここで、写像
:<math>\varphi_R\colon \mathbb{Z} \to R;\, n \mapsto n\,1_R</math>
を 0 および負の整数 ''m'' = &minus;''n'' (''n'' &gt; 0) に対しては
:<math>\varphi_R(0) = 0_R,\quad \varphi_R(m) = -(n\,1_R)</math>
と定めることによって定義する。このとき、&phi;<sub>''R''</sub> は環の[[準同型]]を定め、像 &phi;<sub>''R''</sub>('''Z''') = { ''n'' 1<sub>''R''</sub> | ''n'' &isin; '''Z''' } は単位元 1<sub>''R''</sub> の生成する単位的環に一致する。一方、準同型 &phi;<sub>''R''</sub> の[[核 (代数学)|核]] Ker(&phi;<sub>''R''</sub>) = { ''n'' &isin; '''Z''' | ''n'' 1<sub>''R''</sub> = 0 } は '''Z''' の[[イデアル]]を成すが、'''Z''' は[[ユークリッド整域]]ゆえ、Ker(&phi;<sub>''R''</sub>) は[[単項イデアル]] ''m'''''Z'''（ただし ''m'' ≧ 0）で、''m'' は ''R'' の標数 char(''R'') に一致する。以上より、環の[[準同型定理]]により ''R'' において 1<sub>''R''</sub> の生成する単位的環は ''m'' = char(''R'') を法とする剰余環 '''Z''' / ''m'' '''Z''' に同型である。

さらに単位的環 ''R'' が[[整域]]であるとき、&phi;<sub>''R''</sub>('''Z''') は整域を成す。これを整域 ''R'' の'''素整域'''と呼ぶ。像が整域であることから、この準同型 &phi;<sub>''R''</sub> の核は '''Z''' の[[素イデアル]]で、したがって {0} または素数 ''p'' の生成する単項イデアル (''p'') = ''p'' '''Z''' の形に書ける。ゆえに、いずれの整域についてもその標数は 0 か素数に限られる。

'''素体'''（そたい、{{en|prime field}}）は自分自身以外に部分体を持たない体のことである。体は整域であるから、上で見たことから ''F'' が正標数 ''p'' の体ならば ''F'' は必ず '''Z''' / ''p'' '''Z''' に同型なる素整域を含む。一方、'''Z''' / ''p'' '''Z''' は体であるので、正標数の体の素整域はそれ自身が素体となる。''F'' の標数が 0 の場合には、有理整数環 '''Z''' が ''F'' に含まれるが、''F'' が体であることから有理数体 '''Q'''（に同型な体）が ''F'' に含まれる。よって '''Q''' は標数 0 の素体である。ゆえに、素体は '''Q''' および '''Z''' / ''p'' '''Z''' （''p'' は素数）によって（同型の違いを除いて）すべて尽くされているということができる。また、ここから標数 0 の体は必ず '''Q''' を含むので無限体であり、[[有限体]]は必ず正標数を持つことも確認できる。

体 {{mvar|F}} に対し、{{math|1=max(char(''F''), 1)}} を characteristic exponent という。

== 例 ==
* '''Z''' / ''m'' '''Z''' の標数は ''m'' である。
* [[複素数]]体 '''C''' の標数は 0 である。
* [[順序体]]の標数は 0 である。
* 有限体 ''F'' の位数が素数 ''p'' の[[冪乗|冪]] ''p''<sup>''f''</sup> ならば、''F'' の標数は ''p'' である。逆に、標数 ''p'' の有限体の位数は必ず ''p'' の冪になる。
* 有限体 ''F'' 上の[[多項式]]環 ''F''[''x''] や[[ローラン級数]]体 ''F''((''x'')) などは正標数の無限整域・無限体の例である。
* 標数が素数 ''p'' である整域 ''R'' の元 ''x,y'' に対し、[[二項定理]]により (''x'' + ''y'')<sup>''p''</sup> = ''x<sup>p</sup>'' + ''y<sup>p</sup>'' が成り立つため、写像 Frob: ''R'' → ''R'', Frob(''x'') = ''x<sup>p</sup>'' は環準同型となる。Frob は[[フロベニウス写像]]と呼ばれ、体論で重要な役割を果たす。

== 性質 ==
ある環 ''R'' とその任意の部分環 ''S'' に対して、''S'' の標数は ''R'' の標数に等しい。
一方、剰余環の標数は元の環の標数に等しいとは限らない。例えば、[[p進数|''p''-進整数環]] '''Z'''<sub>''p''</sub> は '''Z''' を部分環として含み、標数 0 であるが、その唯一の極大イデアル ''p'' '''Z'''<sub>''p''</sub> による剰余環は '''Z''' / ''p'' '''Z''' に同型で標数は ''p'' である。環 ''R'' とそのイデアル ''I'' （とくに、[[離散付値環|DVR]]とその極大イデアル）に対し、 ''R'' と ''R/I'' の標数が等しい状況を[[等標数]]、異なる状況を[[混標数]]とよぶことがある。

== 関連項目 ==
* [[準同型]]
* [[有限体]]
* [[可換体|体]]

== 外部リンク ==
*[http://mathworld.wolfram.com/FieldCharacteristic.html Field Characteristic -- From MathWorld（標数）]（英語）

{{DEFAULTSORT:ひようすう}}
[[Category:体論]]
[[Category:環論]]
[[Category:数学に関する記事]]