標準型ゲームのソースを表示

{{出典の明記|date=2009年10月}}
'''標準型ゲーム'''（ひょうじゅんがたげーむ、{{lang-en-short|normal form game}}）は、[[展開型ゲーム]]と並び[[非協力ゲーム]]の基本的表現形式であり、プレイヤー集合、戦略空間、利得関数の 3 つの要素から構成される。[[展開型ゲーム]]は標準型ゲームより多くの情報を含んでおり、すべての展開型ゲームは標準型ゲームに変換することができる。一方、標準型ゲームは[[同時手番ゲーム]]とみなすことができる。プレイヤー集合及び戦略空間が[[有限集合]]のとき、[[ナッシュ均衡]]および[[完全均衡]]が混合戦略の範囲で存在することが知られている（ナッシュの定理）。<br>標準型ゲームは、'''正規形ゲーム'''あるいは'''戦略型ゲーム'''（{{lang-en-short|strategic form game}}）とも呼ばれる。

== 定義 ==
'''標準型ゲーム'''とは 3 つ組 ''G'' = (''N'', ''S'', ''u'') として表現され、それぞれ、''N'' はプレイヤーの集合、<math>S = \prod_{i \in N} S_i</math> は'''戦略空間'''、<math>u = (u_i)_{i \in N}, \; (u_i: S \to \mathbb R)</math> の各要素 ''u<sub>i</sub>'' は'''利得関数'''と呼ばれる。''N'' および ''S'' が有限集合のとき、'''有限ゲーム'''と呼ばれることがある。

プレイヤー ''i'' の'''純粋戦略''' (pure strategy) とは、戦略集合 ''S<sub>i</sub>'' の要素のことをいう。''S<sub>i</sub>'' が有限集合のとき、プレイヤー ''i'' の'''混合戦略''' (mixed strategy) とは、写像 <math>\sigma_i: S_i \to [0, 1]</math> のうち <math>\sum_{s_i \in S_i} \sigma_i (s_i) = 1</math> をみたすもののことをいう。''S<sub>i</sub>'' が有限集合でない場合は、適当な ''S<sub>i</sub>'' 上の [[σ-代数]]を 1 つ定め、その上の[[確率測度]]を混合戦略と呼ぶ場合がある。


2人ゲームの場合、すなわち、プレイヤーが2人の場合には'''双行列ゲーム''' (bimatrix game) <ref>{{Cite web|和書|url=https://www.weblio.jp/content/%E5%8F%8C%E8%A1%8C%E5%88%97%E3%82%B2%E3%83%BC%E3%83%A0 |title=双行列ゲームとは何？ Weblio辞書 |accessdate=2021-01-24}}</ref>として表すことがある。特に、以下のようにプレイヤーと戦略を明示する表現がしばしば用いられる<ref>{{Cite book|和書|author=渡辺隆裕|title=ゼミナール ゲーム理論入門|date=2008-04-07|publisher=日本経済新聞出版|isbn=978-4-532-13346-7}}</ref>。以下では ''N'' ={A, B}, ''S<sub>A</sub>'' ={a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, ..., a<sub>m<sub>A</sub></sub>}, ''S<sub>B</sub>'' ={b<sub>1</sub>, b<sub>2</sub>, ..., b<sub>m<sub>B</sub></sub>} としている。
{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! {{Diagonal split header|row=プレイヤーA|column=プレイヤーB|margin-width=3.5em|style=line-height:2}} !! 戦略b<sub>1</sub> !! &#8943; !! 戦略b<sub>m<sub>B</sub></sub>
|-
! 戦略a<sub>1</sub> 
| ''u<sub>A</sub>''(a<sub>1</sub>,&nbsp;b<sub>1</sub>),&nbsp;''u<sub>B</sub>''(a<sub>1</sub>,&nbsp;b<sub>1</sub>) || &#8943; || ''u<sub>A</sub>''(a<sub>1</sub>,&nbsp;b<sub>m<sub>B</sub></sub>),&nbsp;''u<sub>B</sub>''(a<sub>1</sub>,&nbsp;b<sub>m<sub>B</sub></sub>)
|-
! &#8942; 
| &#8942; || &#8945; || &#8942;
|-
! 戦略a<sub>m<sub>A</sub></sub> 
| ''u<sub>A</sub>''(a<sub>m<sub>A</sub></sub>,&nbsp;b<sub>1</sub>),&nbsp;''u<sub>B</sub>''(a<sub>m<sub>A</sub></sub>,&nbsp;b<sub>1</sub>) || &#8943; || ''u<sub>A</sub>''(a<sub>m<sub>A</sub></sub>,&nbsp;b<sub>m<sub>B</sub></sub>),&nbsp;''u<sub>B</sub>''(a<sub>m<sub>A</sub></sub>,&nbsp;b<sub>m<sub>B</sub></sub>)
|}

== 展開型ゲームとの関係 ==
=== 標準型ゲームへの変換 ===
[[展開型ゲーム]]は[[情報集合]]と呼ばれる意思決定点 ''h'' においてどのような行動 ''a'' が選択されるかを問題にする。プレイヤー ''i'' が行動する情報集合の集合を ''H<sub>i</sub>'' とし、それに含まれる情報集合 ''h<sub>i</sub>'' において選択しうる行動の集合を ''A'' (''h<sub>i</sub>'') とすると、プレイヤー ''i'' の純粋戦略は写像 <math>s_i: H_i \to \bigcup_{h_i\in H_i} A (h_i)</math> で <math>s_i (h_i) \in H_i</math> をみたすもののことをいう。混合戦略は標準型ゲームと同様に定義される。また、''A'' (''h<sub>i</sub>'') の元の代わりに、''A'' (''h<sub>i</sub>'') 上の確率測度を与えるような写像を[[行動戦略]]と呼び、プレイヤー集合、情報集合の集合、および各行動の集合が有限のとき、[[行動戦略]]は混合戦略と一致する（[[クーンの定理]]）。

[[展開型ゲーム]]において利得関数はゲームツリーの終点から実数への写像として定義される。終点とは、その点に至るまでにとられた行動の列とみなしてよい。純粋戦略の組 <math>s = (s_i)_{i \in N}</math> が与えられれば一意に終点が定まるので、新たに標準型ゲームの利得関数として ''s'' から実数を与える写像 <math>u_i (s)</math> を定めることができる。

以上のようにして、展開型ゲームから戦略型ゲーム (''N'', ''S'', ''u'') を定めることができる。

=== 同時手番ゲームとしての標準型ゲーム ===
{{節スタブ}}

== 均衡概念 ==
均衡概念およびそれに準じた概念のうち、代表的なものを以下に挙げる。
* [[ナッシュ均衡]]
* [[部分ゲーム完全均衡]]
* [[ベイジアンゲーム#ベイジアン・ナッシュ均衡|ベイジアン・ナッシュ均衡]]
* [[逐次均衡]]
* [[摂動完全均衡]]
* [[合理化可能性]]
* [[進化的に安定な戦略]]

== 参考文献 ==
{{reflist}}

== 関連項目 ==
* [[ゲーム理論]]
* [[非協力ゲーム]]
* [[囚人のジレンマ]]

{{ゲーム理論}}

{{DEFAULTSORT:ひようしゆんかたけえむ}}
[[Category:数理経済学]]
[[Category:ゲーム理論]]
[[Category:数学に関する記事]]