標準得点のソースを表示

'''標準得点'''（ひょうじゅんとくてん、standard score）とは、[[期待値]]や[[標準偏差]]などの集団基準を用いて、[[母集団]]の中における個人の相対的な位置づけが分かるように変換した[[得点]]のこと。標準得点に変換することを'''標準化'''と呼ぶ<ref>{{Cite web|和書|title=使われている統計技法 |url=https://www.noma.co.jp/research/data/data01.html |website=株式会社 日本経営協会総合研究所 |accessdate=2022-02-02 |language=ja-JP}}</ref>。

== Z得点 ==
'''Z得点'''（'''z値'''、z-score、z-value）とは、平均が0、標準偏差 (SD) が1になるように変換した得点である。もとの[[母集団]]が[[正規分布]]に従っているとき、Z得点は、必ず[[標準正規分布]]に従う。

[[母集団]]の平均と標準偏差が既知の場合、[[確率変数]] {{mvar|x}} のZ得点 {{mvar|z}} は以下のように計算される<ref>{{Cite web|和書|title=使われている統計技法 |url=https://www.noma.co.jp/research/data/data01.html |website=株式会社 日本経営協会総合研究所 |accessdate=2022-02-02 |language=ja-JP}}</ref>。

: <math>z=\frac{x-\mu}{\sigma}</math>

ここで、 {{mvar|μ}} は母集団の[[平均]]、 {{mvar|σ}} は母集団の[[標準偏差]]を表す。


[[画像:Standard zscore.gif]]

== 偏差値 ==
{{Main|偏差値}}
'''偏差値'''とは、平均が50、標準偏差 (SD) が10となるように変換した得点である。T得点（T値、T-score）も同義である。教育分野でしばしば用いられる。


[[画像:Standard zbscore.gif]]


[[画像:Standard tscore.gif]]

== 偏差IQ ==
'''偏差IQ'''とは、[[正規分布]]上で平均が100、標準偏差 (SD) が15（[[デイヴィッド・ウェクスラー|ウェクスラー]]式の場合）または16（[[アルフレッド・ビネー|ビネー]]式の場合）となるように変換した得点である。

※以下、偏差IQは、SDが15の場合について説明している。


[[画像:Standard iq.gif]]

== 標準正規分布、偏差値、偏差IQの関係 ==
標準正規分布, 偏差値, 偏差IQの関係を[[グラフ (関数)|グラフ]]上に表すと、次のようになる。


[[画像:The Normal Distribution.svg|thumb|正規分布と様々な値の比較。[[標準偏差]] (standard deviations)、[[累積百分率]] (cumulative percentages)、[[分位数]]、[[標準得点#Z得点|Z得点 (Z scores)]], [[偏差値|偏差値・T得点 (T scores)]]|500px]]


[[画像:Standard all.gif]]

== パーセンタイル順位 ==
{{Main|分位数}}
標準正規分布の[[面積]]は右図の通り。


[[画像:Standard area.gif]]


平均、標準偏差を変換してもその比率は変わらないので、正規分布上で特定の得点間に含まれる割合は決まっている。

例えば偏差IQは、全体の約68.26%の人が85～115の得点をとり、約95.44%の人が70～130の得点をとる。


[[画像:Standard percent.gif]]


この割合をもとに、得点の低い所から順位をつけたものを'''パーセンタイル順位'''（下図は偏差IQの場合）という。

例えば、IQ85とは、母集団の下から16パーセンタイルの順位にいることを意味する。


[[画像:Standard rank.gif]]

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{Reflist}} 

== 関連項目 ==
<!-- {{Commonscat|Standard score}} -->
* [[正規化]]
* [[確率分布]]

== 外部リンク ==
* [https://www.recruit-ms.co.jp/glossary/dtl/0000000166/ 標準得点とは]
* [https://bellcurve.jp/statistics/course/7801.html 標準化したデータの使い方]
* [http://statg.com/oyo/hyto.html 標準得点【統計解析講義応用】]
{{デフォルトソート:ひようしゆんとくてん}}
[[Category:統計学]]