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{{要改訳}} 数学では、'''標準特異点'''(canonical singularities)は、[[射影多様体]]の標準モデルの特異点として現れ、'''端末特異点'''(terminal singularities)は[[極小モデル]]の特異点として現れる特別な場合である。それらは {{harvtxt|Reid|1980}} により導入された。滑らかな極小モデルは存在せず、従って、必然的に端末特異点である特異点を持たねばならないので、端末特異点は[[極小モデル|極小モデルプログラム]]で重要である。 <!--In mathematics, '''canonical singularities''' appear as singularities of the [[canonical model]] of a [[projective variety]], and '''terminal singularities''' are special cases that appear as singularities of [[Minimal model program|minimal models]]. They were introduced by {{harvtxt|Reid|1980}}. Terminal singularities are important in the [[minimal model program]] because smooth minimal models do not always exist, and thus one must allow certain singularities, namely the terminal singularities.--> ==定義== Y を標準クラス K<sub>Y</sub> が '''Q'''-カルティエであるような正規多様体とし、f:X→Y が Y の特異点解消とすると、 :<math>\displaystyle K_X = f^*(K_Y)+\sum_i a_iE_i</math> となる。ここに和は既約な例外因子を渡るとし、a<sub>i</sub> は有理数で、ディスククレパンシー(discrepancy)と呼ぶ。 そのとき、Y の特異点を次のように呼ぶ。 :全ての i に対し、a<sub>i</sub> > 0 のとき、'''端末'''(terminal) :全ての i に対し、a<sub>i</sub> ≥ 0 のとき、'''標準'''(canonical) :全ての i に対し、a<sub>i</sub> > −1 のとき、'''対数端末'''(log terminal) :全ての i に対し、a<sub>i</sub> ≥ −1 のとき、'''対数標準'''(log canonical) <!--==Definition== Suppose that ''Y'' is a normal variety such that its canonical class ''K''<sub>''Y''</sub> is '''Q'''-Cartier, and let ''f'':''X''→''Y'' be a resolution of the singularities of ''Y''. Then :<math>\displaystyle K_X = f^*(K_Y)+\sum_i a_iE_i</math> where the sum is over the irreducible exceptional divisors, and the ''a''<sub>''i''</sub> are rational numbers, called the discrepancies. Then the singularities of ''Y'' are called: :'''terminal''' if ''a''<sub>''i''</sub> > 0 for all ''i'' :'''canonical''' if ''a''<sub>''i''</sub> ≥ 0 for all ''i'' :'''log terminal''' if ''a''<sub>''i''</sub> > −1 for all ''i'' :'''log canonical''' if ''a''<sub>''i''</sub> ≥ −1 for all ''i''.--> ==性質== 射影多様体 V の特異点が'''標準的'''とは、多様体が{{仮リンク|正規多様体|label=正規|en|normal variety}}(normal)なとき、V の非特異部分の[[標準ラインバンドル]]のあるべきが、V 上のラインバンドルへ拡張され、V が任意の特異点の[[特異点解消|解消]](resolution)と同じ[[小平次元#多重種数|多重種数]]を持つ場合のことを言う。V が標準特異点を持つことと、{{仮リンク|相対標準モデル|en|relative canonical model}}(relative canonical model)であることとは同値である。 射影多様体 V の特異点が'''端末的'''とは、多様体が{{仮リンク|正規多様体|label=正規|en|normal variety}}(normal)なとき、V の非特異部分の[[標準ラインバンドル]]のあるべきが、V 上のラインバンドルへ拡張され、V<sup>m</sup> の任意の切断の引き戻しが、特異点の[[特異点解消|解消]](resolution)の{{仮リンク|例外因子|en|exceptional locus}}(exceptional locus)の余次元 1 の成分に沿って 0 となるときを言う。 <!--==Properties== The singularities of a projective variety ''V'' are canonical if the variety is [[normal variety|normal]], some power of the [[canonical line bundle]] of the non-singular part of ''V'' extends to a line bundle on ''V'', and ''V'' has the same [[plurigenera]] as any [[resolution of singularities|resolution]] of its singularities. ''V'' has canonical singularities if and only if it is a [[relative canonical model]]. The singularities of a projective variety ''V'' are terminal if the variety is [[normal variety|normal]], some power of the [[canonical line bundle]] of the non-singular part of ''V'' extends to a line bundle on ''V'', and ''V'' the pullback of any section of ''V''<sup>''m''</sup> vanishes along any codimension 1 component of the [[exceptional locus]] of a [[resolution of singularities|resolution]] of its singularities.--> ==小さな次元での分類== 2次元端末特異点は滑らかである。多様体が端末特異点を持つと、特異点は少なくとも余次元 3 を持ち、特に、余次元 1 と 2 では端末特異点は滑らかとなる。次元 3 の場合は、端末特異点は孤立特異点であり、{{harvtxt|Mori|1985}} で分類された。 2次元標準特異点は、[[デュヴァル特異点]](du Val singularity)と同じであり、解析的には '''C'''<sup>2</sup> を SL<sub>2</sub>('''C''') の有限部分群で割った商空間に同型である。 2次元の対数端末特異点は、解析的には '''C'''<sup>2</sup> を GL<sub>2</sub>('''C''') の有限部分群で割った商空間に同型である。 2次元対数標準特異点は {{harvtxt|Kawamata|1988}} により分類されている。 <!--==Classification in small dimensions== Two dimensional terminal singularities are smooth. If a variety has terminal singularities, then its singular points have codimension at least 3, and in particular in dimensions 1 and 2 all terminal singularities are smooth. In 3 dimensions they are isolated and were classified by {{harvtxt|Mori|1985}}. Two dimensional canonical singularities are the same as [[du Val singularity|du Val singularities]], and are analytically isomorphic to quotients of '''C'''<sup>2</sup> by finite subgroups of SL<sub>2</sub>('''C'''). Two dimensional log terminal singularities are analytically isomorphic to quotients of '''C'''<sup>2</sup> by finite subgroups of GL<sub>2</sub>('''C'''). Two dimensional log canonical singularities have been classified by {{harvtxt|Kawamata|1988}}.--> ==ペア== より一般的には、Δ を有理数係数の素因子の形式的線型結合とするとき、ペア (X,Δ) のこれらの概念を定義することができる。ペアは次のように呼ばれる。 *Discrep(X,Δ) > 0 のとき、'''端末'''(terminal) *Discrep(X,Δ) ≥ 0 のとき、'''標準'''(canonical) *Discrep(X,Δ) > − 1 かつ |Δ| ≤ 0 のとき、'''川又対数端末'''(klt)(Kawamata log terminal) *Discrep(X,Δ) > − 1 のとき、'''純粋対数端末'''(plt)(purely log terminal) *Discrep(X,Δ) ≥ − 1 のとき、'''対数標準'''(lc)(log canonical) <!--==Pairs== More generally one can define these concepts for a pair (''X'',Δ) where Δ is a formal linear combination of prime divisors with rational coefficients. The pair is called *'''terminal''' if Discrep(''X'',Δ) >0 *'''canonical''' if Discrep(''X'',Δ) ≥0 *'''klt''' (Kawamata log terminal) if Discrep(''X'',Δ) >− 1 and |Δ|≤0 *'''plt''' (purely log terminal) if Discrep(''X'',Δ) >− 1 *'''lc''' (log canonical) if Discrep(''X'',Δ) ≥− 1.--> ==参考文献== *{{Citation | last1=Kollár | first1=János | title=Minimal models of algebraic threefolds: Mori's program | url=http://www.numdam.org/item?id=SB_1988-1989__31__303_0 | mr=1040578 | year=1989 | journal=Astérisque | issn=0303-1179 | issue=177 | pages=303–326}} *{{Citation | last1=Kawamata | first1=Yujiro | authorlink=Yujiro Kawamata | title=Crepant blowing-up of 3-dimensional canonical singularities and its application to degenerations of surfaces | jstor=1971417 | mr=924674 | year=1988 | journal=Ann. of Math. |series= 2 | issn=0003-486X | volume=127 | issue=1 | pages=93–163 |doi=10.2307/1971417}} *{{Citation | authorlink1=Shigefumi Mori | last1=Mori | first1=Shigefumi | title=On 3-dimensional terminal singularities | url=http://projecteuclid.org/euclid.nmj/1118787793 | mr=792770 | year=1985 | journal=Nagoya Mathematical Journal | issn=0027-7630 | volume=98 | pages=43–66}} *{{Citation | last1=Reid | first1=Miles | author1-link=Miles Reid | title=Journées de Géometrie Algébrique d'Angers, Juillet 1979/Algebraic Geometry, Angers, 1979 | publisher=Sijthoff & Noordhoff | location=Alphen aan den Rijn | mr=605348 | year=1980 | chapter=Canonical 3-folds | pages=273–310}} *{{Citation | last1=Reid | first1=Miles | author1-link=Miles Reid | title=Algebraic geometry, Bowdoin, 1985 (Brunswick, Maine, 1985) | publisher=[[American Mathematical Society]] | location=Providence, R.I. | series=Proc. Sympos. Pure Math. | mr=927963 | year=1987 | volume=46 | chapter=Young person's guide to canonical singularities | pages=345–414}} {{デフォルトソート:ひようしゆんとくいてん}} [[Category:代数幾何学]] [[Category:特異点論]] [[Category:数学に関する記事]]
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