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{{要改訳}}
[[数学]]では、（非特異な）代数多様体や[[複素多様体]] V の '''多重標準環'''(pluricanonical ring)は、次の[[標準バンドル]] K のベキの切断の[[次数付き可換環|次数付き環]]である。
:<math>R(V,K)=R(V,K_V) \,</math> 

この n 番目の次数の要素（<math>n\geq 0</math> に対して)は、
:<math>R_n := H^0(V, K^n),\ </math>
であり、すなわち、標準バンドル K の n 番目の[[テンソル積]] K<sup>n</sup> の[[切断 (ファイバーバンドル)|切断]]の空間である。

0 番目の次数の要素 <math>R_0</math> は自明なバンドルの切断で、V が射影的なときは 1 次元である。この次数付き環により定義された射影多様体を V の '''標準モデル'''(canonical model)といい、'''標準モデル''' の次元を[[小平次元]]と言う。

V 上の[[ラインバンドル]] L に似たような環を定義することができ、この類似な次元を '''[[飯高次元]]''' と言う。もし飯高次元が多様体の次元に等しいときに、ラインバンドルは '''大きい''' と言う。

==性質==
===双有理不変性===
従って、標準環は小平次元のように[[双有理不変量]]であり、コンパクトで滑らかな複素多様体の間の任意の双有理写像は、それぞれの標準環の間の同型を導く。結論として、特異点のある空間の小平次元を[[特異点解消]]した（多様体の）小平次元として定義することができる。双有理性のおかげで、これは[[Well-defined]]で、つまり、特異点の解消方法の選択とは独立している。

===双有理幾何学の基本予想===
[[双有理幾何学]]の基本予想とは、多重標準環は{{仮リンク|有限生成代数|label=有限生成|en|Finitely generated algebra}}であろうという予想である。このことは{{仮リンク|森プログラム|en|Minimal model program#Higher-dimensional minimal models}}の大きな一つのステップと考えられている。
{{harvs|txt|first=Caucher |last=Birkar|first2= Paolo |last2=Cascini|first3= Christopher D. |last3=Hacon|first4= James|last4= McKernan|year=2010}} {{harvs|txt|last1=Siu | first1=Yum-Tong |year=2006}} はこの証明をしたことをアナウンスした。

==多重種数==
次元
:<math>P_n = h^0(V, K^n) = \operatorname{dim}\ H^0(V, K^n)</math>
は、V の古典的に定義された n 番目の '''多重種数''' である。対応する{{仮リンク|因子の一次系|en|linear system of divisors}}を通した多重標準因子 <math>K^n</math> は、射影空間 <math>\mathbf{P}(H^0(V, K^n)) = \mathbf{P}^{P_n - 1}</math> への写像を与え、この写像を n-標準写像(canonical map)と言う。

R の大きさは V の基本的な不変量であり、[[小平次元]]と呼ぶ。

==参考文献==
*{{Citation | last1=Birkar | first1=Caucher | last2=Cascini | first2=Paolo | last3=Hacon | first3=Christopher D. | last4=McKernan | first4=James | title=Existence of minimal models for varieties of log general type | arxiv=math.AG/0610203 | doi=10.1090/S0894-0347-09-00649-3 | mr=2601039 | year=2010 | journal=[[Journal of the American Mathematical Society]] | volume=23 | issue=2 | pages=405–468}}
* {{Citation | author=P. Griffiths | authorlink=Phillip Griffiths | coauthors=[[Joe Harris (mathematician)|J. Harris]] | title=Principles of Algebraic Geometry | series=Wiley Classics Library | publisher=Wiley Interscience | year=1994 | isbn=0-471-05059-8 | page=573 }}
*{{Citation | last1=Siu | first1=Yum-Tong | title=Invariance of plurigenera | doi=10.1007/s002220050276 | mr=1660941 | year=1998 | journal=[[Inventiones Mathematicae]]  | volume=134 | issue=3 | pages=661–673}}
*{{citation|arxiv=math.AG/0610740|title=A General Non-Vanishing Theorem and an Analytic Proof of the Finite Generation of the Canonical Ring|last1=Siu | first1=Yum-Tong |year=2006}}
*{{citation|arxiv=0704.1940|title=Additional Explanatory Notes on the Analytic Proof of the Finite Generation of the Canonical Ring|last1=Siu | first1=Yum-Tong |year=2007}}

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