標準的高さのソースを表示

[[数論]]において、'''ネロン・テイトの高さ'''（{{lang-en-short|Néron–Tate height}}）（もしくは、'''標準的高さ'''（{{lang-en-short|canonical height}}）ともいう）とは、[[大域体]]上に定義された[[アーベル多様体]]の[[有理点]]の{{仮リンク|モーデル・ヴェイユ群|en|Mordell-Weil group}}上の[[二次形式]]である。この名前は、{{仮リンク|アンドレ・ネロン|en|André Néron}}(André Néron)と[[ジョン・テイト]]にちなむ。

==定義と性質==
ネロンはネロン・テイトの高さを、局所的高さの和として定義した<ref>A. Néron,   Quasi-fonctions et hauteurs sur les variétés abéliennes,  ''Ann. of Math.'' 82  (1965), 249–331</ref>。大域的なネロン・テイトの高さは二次であるにもかかわらず、和がネロン・テイトの高さとなる局所的な高さは、全く二次的ではない。テイトは（出版されていないが）高さを大域的に定義した。彼の定義した方法は、[[アーベル多様体]] <math>A</math> 上の対称的な[[可逆層]] <math>L</math> に付随する対数的高さ <math>h_L</math> <ref>対数的高さとはディオファントス幾何学における[[高さ函数]]を参照。</ref>は「ほぼ二次」であり、このことを使って極限
:<math>\hat h_L(P) = \lim_{N\rightarrow\infty}\frac{h_L(NP)}{N^2}</math>
が存在し、有理点のモーデル・ヴェィユ群の上の二次形式を定義し、
:<math>\hat h_L(P) = h_L(P) + O(1)</math>
を満たすことを示した<ref name=L72>Lang (1997) p.72</ref>。ここで定数 <math>O(1)</math> は <math>P</math> とは独立である。<math>L</math> が反対称的であれば、<math>[-1]^*L=L</math> であるので、類似する極限
:<math>\hat h_L(P) = \lim_{N\rightarrow\infty}\frac{h_L(NP)}{N}</math>
が収束して <math>\hat h_L(P) = h_L(P) + O(1)</math> を満たすが、この場合 <math>\hat h_L</math> はモーデル・ヴェイユ群上の線型函数である。一般の可逆層に対して、対称な層と反対称な層の積として <math>L^{\otimes2} = (L\otimes[-1]^*L)\otimes(L\otimes[-1]^*L^{-1})</math> と書くとすると、
:<math>\hat h_L(P) = \frac12 \hat h_{L\otimes[-1]^*L}(P) + \frac12 \hat h_{L\otimes[-1]^*L^{-1}}(P)</math>
は唯一の二次函数となり、
:<math>\hat h_L(P) = h_L(P) + O(1)</math> と <math>\hat h_L(0)=0</math>
を満たす。

ネロン・テイトの高さは、付随する双線型形式が <math>A</math> の[[ネロン・セヴィリ群]]に属する <math>L</math> の像のみに依存するにもかかわらず、アーベル多様体上の可逆層（あるいは[[ネロン・セヴィリ群]]の元）の選び方に依存する。アーベル多様体 <math>A</math> が数体 '''K''' 上に定義されており、可逆層が対称性をもち、かつ豊富であれば、モーデル・ヴェイユ群 <math>A(K)</math> の捩れ元の上でのみ 0 となるという意味で、ネロン・テイトの高さは正定値である。より一般に、<math>\hat h_L</math> は、実ベクトル空間 <math>A(K)\otimes\mathbb{R}</math> 上の正定値二次形式を導く。

[[楕円曲線]]上では、ネロン・セヴィリ群はランクが 1 で、かつ唯一の豊富な生成元を有するため、この生成元はネロン・テイトの高さを定義することに使われることがある。この場合には、ネロン・テイトの高さは <math>\hat h</math> と記し、特別な直線束を伴わない。（しかし、[[BSD予想|バーチ・スウィナートン-ダイヤー予想]]の中に自然に現れる高さは、この高さの2倍である。）高次元のアーベル多様体上では、ネロン・テイトの高さを定義する最小の[[豊富な直線束]]を特別に選ぶ必要はない。バーチ・スウィナートン-ダイヤー予想の記述に使う高さは、<math>A</math> と <math>A</math> の{{仮リンク|双対アーベル多様体|en|Dual_abelian_variety|label=双対}}の積である <math>A\times\hat A</math> 上の{{仮リンク|ポアンカレ直線束|en|Poincaré line bundle}}(Poincaré line bundle)のネロン・テイトの高さである。

==楕円的レギュレータとアーベル的レギュレータ==
楕円曲線 <math>E</math> 上の標準的な高さの双線型形式は、
:<math> \langle P,Q\rangle = \frac{1}{2} \bigl( \hat h(P+Q) - \hat h(P) - \hat h(Q) \bigr)</math>
である。

E/K の'''楕円レギュレータ'''(elliptic regulator)は、
:<math> \operatorname{Reg}(E/K) = \det\bigl( \langle P_i,P_j\rangle \bigr)_{1\le i,j\le r}</math>
であり、ここに <math>P_1,\cdots,P_r</math> は、捩れ(torsion)をmoduloとしたモーデル・ヴェイユ群 <math>E(K)</math> の基底である（[[グラム行列|グラム行列式]]([[:en:Gram determinant]])を参照）。楕円レギュレータは基底の選択に依存しない。

より一般に、 <math>A/K</math> をアーベル多様体、<math>B \simeq Pic_0(A)</math> を <math>A</math> の双対アーベル多様体として、<math>P</math> を <math>A \times B</math> の{{仮リンク|ポアンカレ直線束|en|Poincaré line bundle}}とすると、<math>A/K</math> の'''アーベル的レギュレータ'''(abelian regulator)は、捩れをmoduloとしたモーデル・ヴェィユ群 <math>A/K</math> の基底 <math>Q_1,\cdots,Q_r</math> と捩れをmoduloとしたモーデル・ヴェィユ群 <math>B/K</math> の基底 <math>\eta_1,\cdots,\eta_r</math> の選び方に依存し、また設定
:<math> \operatorname{Reg}(A/K) = \det\bigl( \langle P_i,\eta_j\rangle_{P} \bigr)_{1\le i,j\le r}</math>
に依存する。

（楕円的レギュレータ、アーベル的レギュレータの定義は完全には整合しない。理由は、<math>A</math> を楕円曲線とすると、アーベル的レギュレータは、楕円的レギュレータの 2<sup>r</sup> 倍となるからである。）

楕円的レギュレータとアーベル的レギュレータは、バーチ・スウィナートン-ダイヤー予想に現れる。

==ネロン・テイトの高さの下限==
ネロン・テイトの高さの下限には 2つの基本的な予想がある。一つは、体 '''K''' が固定されていて楕円曲線 <math>E/K</math> と 点 <math>P \in E(K)</math> が変化する場合で、もう一つは、{{仮リンク|楕円レーマー予想|en|elliptic Lehmer conjecture}}(elliptic Lehmer conjecture)で、曲線 <math>E/K</math> が固定して点 <math>P</math> の定義体が変化する場合である。

* (ラング)すべての <math>E/K</math> と捻れのないすべての <math>P\in E(K)</math>に対して<ref name=L734>Lang (1997) pp.73–74</ref>、<math> \hat h(P) \ge c(K) \log(\operatorname{Norm}_{K/\mathbb{Q}}\operatorname{Disc}(E/K))\quad .</math>
* (レーマー)すべての <math>P\in E(\bar K)</math> に対し<ref name=L243>Lang (1997) pp.243</ref>、<math>\hat h(P) \ge \frac{c(E/K)}{[K(P):K]}\quad .</math>

両方の予想で、定数は正であり、与えられた値にのみ依存する。[[ABC予想]]はラングの予想を含んでいることが知られている<ref name=L734/><ref>{{cite journal | first1=M. |last1=Hindry |first2=J.H. |last2=Silverman | authorlink2=Joseph H. Silverman| title=The canonical height and integral points on elliptic curves | journal=Invent. Math. | volume=93 |year=1988 | pages=419–450 | zbl=0657.14018 | doi=10.1007/bf01394340}}</ref>。レーマー予想の最良の結果は、{{仮リンク|ダヴィッド・マッサー|en|David Masser}}(David Masser)による<ref>D. Masser, Counting points of small height on elliptic curves, ''Bull. Soc. Math. France'' 117 (1989), 247-265</ref>より弱い見積もりである
:<math>\hat h(P)\ge c(E/K)/[K(P):K]^{3+\epsilon}\quad .</math>
楕円曲線が[[虚数乗法]]を持っている場合は、ローラン(Laurent)により<ref>M. Laurent, Minoration de la hauteur de Néron-Tate, Séminaire de Théorie des Nombres (Paris 1981-1982), Progress in Mathematics, Birkhäuser 1983, 137-151</ref>これが
:<math>\hat h(P)\ge c(E/K)/[K(P):K]^{1+\epsilon}</math>
へ改善される。

==一般化==
偏極した[[数論力学|代数的力学系]](数論力学)は、（滑らかな射影的）代数多様体 ''V'' と、自己写像 φ : ''V'' → ''V'' と、ある整数 d  > 1 が存在し <math>\phi^*L = L^{\otimes d}</math> という性質をもつ V 上の直線束 Lからなる三組 (''V'',φ,''L'') のことを言う。これに付随する高さは、テイトの極限<ref>G. Call and J.H. Silverman, Canonical heights on varieties with morphisms, ''Compositio Math.'' 89 (1993), 163-205</ref>
:<math> \hat h_{V,\phi,L}(P) = \lim_{n\to\infty} \frac{h_{V,L}(\phi^{(n)}(P))}{d^n}</math>
で与えられる。ここで <math>\phi^{(n)} = \phi\circ\phi\circ\cdots\circ\phi</math> は <math>\phi</math> の n-回の繰り返しである。たとえば、次数 d > 1 の任意の写像 <math>\phi:\mathbb{P}^N\rightarrow\mathbb{P}^N</math> は、直線束の関係式である φ*O(1) = O(d) に付随した標準的高さである。V が数体上で定義され、L が豊富であれば、標準的高さは非負であり、
:<math> \hat h_{V,\phi,L}(P) = 0 ~~ \Longleftrightarrow ~~ </math>　　<math>\phi</math> について <math>P~</math> が準周期的

となる。

（''P'' が準周期的(preperiodic)であるとは、''P'' のフォワード軌跡 ''P'', φ(''P''), φ<sup>2</sup>(''P''), φ<sup>3</sup>(''P''),… が有限個の異なる点しかも持たない場合を言う。）

==参考文献==
{{reflist}}

標準的高さの理論の一般的な参考文献として
* {{cite book | first1=Enrico | last1=Bombieri | authorlink1=Enrico Bombieri | first2=Walter | last2=Gubler | title=Heights in Diophantine Geometry | series=New Mathematical Monographs | volume=4 | publisher=[[Cambridge University Press]] | year=2006 | isbn=978-0-521-71229-3 | zbl=1130.11034 | doi=10.2277/0521846153 }}
* {{cite book | first1=Marc | last1=Hindry | first2=Joseph H. | last2=Silverman | authorlink2=Joseph H. Silverman | title=Diophantine Geometry: An Introduction | series=[[Graduate Texts in Mathematics]] | volume=201 | year=2000 | isbn=0-387-98981-1 | zbl=0948.11023 }}
* {{cite book | first=Serge | last=Lang | authorlink=Serge Lang | title=Survey of Diophantine Geometry | publisher=[[Springer-Verlag]] | year=1997 | isbn=3-540-61223-8 | zbl=0869.11051 }}
*J.H. Silverman, ''The Arithmetic of Elliptic Curves'', ISBN 0-387-96203-4

==外部リンク==
* {{planetmath reference|id=8534|title=Canonical height on an elliptic curve}}

{{DEFAULTSORT:ひようしゆんてきたかさ}}
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[[Category:代数幾何学]]
[[Category:数学に関する記事]]