標準誤差のソースを表示

{{Expand English|Standard error|date=2024年5月}}
'''標準誤差'''（ひょうじゅんごさ、{{lang-en-short|standard error; SE}}）は、母集団からある数の[[標本 (統計学)|標本]]を選ぶとき、選ぶ[[組み合わせ]]に依って[[統計量]]がどの程度ばらつくかを、全ての組み合わせについての[[標準偏差]]で表したものをいう。

統計量を指定せずに単に「標準誤差」と言った場合、標本[[平均]]の標準誤差（{{lang-en-short|standard error of the mean; SEM}}）のことを普通は指す。以下ではこれについて述べる。

== 定義 ==
標準偏差''σ''、要素数''N''の母集団から''n''個の標本を抽出するとき、標準誤差は次の式により推定される。<!--導出過程-->
{{Indent|<math>\sqrt{\frac{N - n}{N - 1}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}</math>}}
標準偏差''σ''を標本データから計算した標準偏差''s''で推定する場合は
{{Indent|<math>\sqrt{\frac{N - n}N}\frac s{\sqrt{n}}</math>}}
となる。

''N''が十分大きい場合には
{{Indent|<math>\frac{\sigma}{\sqrt{n}}</math>または<math>\frac s{\sqrt{n}}</math>}}
としてよい。

この式で重要なのは、標準誤差は抽出する標本サイズの[[平方根]]に反比例するという点である。つまり、例えば標本サイズを4倍にすると標準誤差を半分にできる。統計調査を計画する際に、費用や手間をある範囲内に収めた上で誤差を最小にしたい場合が多い。これらの条件の関係を判断するのに上の関係式が重要となる。

[[日本工業規格]]では、「[[推定量]]の[[標準偏差]]」と定義している{{Sfn|JIS Z 8101-1 : 1999|loc=2.37 標準誤差}}。

== 信頼区間 ==
分布が[[正規分布]]に従う場合、95%[[信頼区間]]は、約[[平均]]±2×標準誤差となる。

分布が正規分布に従う場合、99%信頼区間は、約平均±3×標準誤差となる。

== 脚注 ==
{{Reflist}}

== 参考文献 ==
* {{Cite book|和書|author=西岡康夫|year=2013|title=数学チュートリアル やさしく語る 確率統計|publisher=[[オーム社]]|isbn=9784274214073}}
* {{Cite book|和書|author=日本数学会|authorlink=日本数学会|year=2007|title=数学辞典|publisher=[[岩波書店]]|isbn=9784000803090}}
* {{Citation | title=JIS Z 8101-1:1999 統計 − 用語と記号 − 第1部:確率及び一般統計用語 | author=日本規格協会 | authorlink=kikakurui.com | url=http://kikakurui.com/z8/Z8101-1-1999-01.html | ref={{sfnref|JIS Z 8101-1 : 1999}}}}
* {{Cite book|和書|author=伏見康治|authorlink=伏見康治|year=1942|title=確率論及統計論|publisher=[[河出書房]]|isbn=9784874720127|url=http://ebsa.ism.ac.jp/ebooks/ebook/204| ref={{sfnref|伏見}}}}

== 関連項目 ==
* [[統計学]]
* [[正確度と精度]]

{{統計学}}
{{DEFAULTSORT:ひようしゆんこさ}}
[[Category:統計学]]
[[Category:数学に関する記事]]