樽型空間のソースを表示

[[函数解析学]]および関連する[[数学]]において、'''樽型空間'''（たるがたくうかん、{{Lang-en-short|''barrelled space''}}）とは、その空間のすべての樽型集合が[[零元|零ベクトル]]の[[近傍 (位相空間論)|近傍]]であるような[[ハウスドルフ空間|ハウスドルフ]][[位相線型空間]]のことをいう。ここで、ある位相線型空間における'''樽型集合''' (barrel) とは、[[凸集合|凸]]、[[均衡集合|均衡]]、[[併呑集合|併呑]]かつ[[閉集合|閉]]である集合のことをいう。樽型空間が研究される理由として、{{仮リンク|一様有界性原理|label=バナッハ＝シュタインハウスの定理|en|uniform boundedness principle}}の一種がそれらに対して成立することが挙げられる。

== 歴史 ==

樽型空間は {{harvs|last=Bourbaki|authorlink=Nicolas Bourbaki|year=1950|txt}} によって考えられた。

== 例 ==

* [[ノルム線型空間|半ノルム線型空間]]における閉[[単位球]]は、樽型である。
* すべての[[局所凸位相線型空間]]は、樽型集合からなる[[近傍系|近傍基]]を持つ。しかしそれ自身は必ずしも樽型空間ではない。
* [[フレシェ空間]]、特に[[バナッハ空間]]は、樽型である。しかし一般に[[ノルム線型空間]]は樽型とは限らない。
* [[モンテル空間]]は樽型である。したがって、モンテル空間の強双対は（それらもモンテル空間であるため）樽型である。
* [[ベール空間]]であるような[[局所凸空間]]は、樽型である。

== 性質 ==
連続双対 <math>X'</math> を持つハウスドルフ[[局所凸空間]] <math>X</math> に対して、以下は同値である。
* ''X'' は樽型である。
* 連続双対空間 ''X''' のすべての <math>\sigma(X', X)</math>-有界部分集合は同程度連続である（これはバナッハ＝シュタインハウスの部分的な逆を与える）<ref name="Schaefer (1999) p. 127, 141, Treves (1995) p. 350">Schaefer (1999) p. 127, 141, Treves (1995) p. 350</ref>。
* 連続双対空間 ''X''' のすべての部分集合 ''A'' に対して、次の性質は同値である：''A'' は<ref name="Schaefer (1999) p. 127, 141, Treves (1995) p. 350"></ref>
** 同程度連続
** 相対弱コンパクト 
** 強有界
** 弱有界
* ''X'' は[[強位相 (極位相)|強位相]] <math>\beta(X, X')</math> を備える。
* <math>X</math> 上のすべての下半連続半ノルムが連続である。
* ''X'' 内の 0-近傍基と、<math>E_{\beta}'</math> 内の有界集合の基本族は、[[極集合|極性]]によってお互い対応する<ref name="Schaefer (1999) p. 127, 141, Treves (1995) p. 350"></ref>。

さらに
* すべての点列完備な準樽型空間は、樽型である。
* 樽型空間は必ずしも、[[モンテル空間|モンテル]]、完備、距離化可能、非順序ベール型、およびバナッハ空間の[[帰納極限]]ではない。

==準樽型空間==

ある[[位相線型空間]] <math>X</math> が'''準樽型空間'''であるとは、その中のすべての樽型有界型集合が <math>0</math> の近傍であることをいう。ここである集合が有界型であるとは、それが <math>X</math> のすべての有界部分集合を併呑することをいう。すべての樽型空間は、準樽型である。

連続双対 <math>X'</math> を持つ[[局所凸空間]] <math>X</math> に対して、以下は同値である。
* <math>X</math> は準樽型である。
* <math>X</math> 上のすべての有界下半連続半ノルムが連続である。
* 連続双対空間 <math>X'</math> のすべての <math>\beta(X', X)</math>-有界部分集合が同程度連続である。

==参考文献==

<references/>
*{{cite journal
 | last = Bourbaki | first = Nicolas | authorlink = Nicolas Bourbaki
 | journal = [[:en:Annales de l'Institut Fourier|Annales de l'Institut Fourier]]
 | language = French
 | mr = 0042609
 | pages = 5–16 (1951)
 | title = Sur certains espaces vectoriels topologiques
 | url = http://www.numdam.org/item?id=AIF_1950__2__5_0
 | volume = 2
 | year = 1950}}
* {{cite book |last1=Robertson |first1=Alex P. |first2= Wendy J.|last2=Robertson |title= Topological vector spaces |series=Cambridge Tracts in Mathematics |volume=53 |year=1964 |publisher= [[Cambridge University Press]] | pages=65–75}}
* {{cite book | last = Schaefer | first = Helmut H.  | year = 1971 | title = Topological vector spaces  | series=[[Graduate Texts in Mathematics|GTM]] | volume=3  | publisher = Springer-Verlag | location = New York | isbn = 0-387-98726-6 | page=60 }}
* {{cite book | author=S.M. Khaleelulla | title=Counterexamples in Topological Vector Spaces | publisher=[[Springer-Verlag]] | series=[[Graduate Texts in Mathematics|GTM]] | volume=936 | date=1982 | isbn=978-3-540-11565-6 | pages=28-46 }}

== 外部リンク ==
* {{PlanetMath|urlname=Barrel|title=barrel}}
* {{SpringerEOM|urlname=Barrelled_space|title=Barrelled space}}

{{Functional Analysis}}

{{DEFAULTSORT:たるかたくうかん}}
[[Category:関数解析学]]
[[Category:位相線型空間]]
[[Category:数学に関する記事]]