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'''次元解析'''（じげんかいせき、{{lang-en-short|dimensional analysis}}）とは、[[物理量]]における、[[長さ]]、[[質量]]、[[時間]]、[[電荷]]などの[[量の次元|次元]]から、複数の物理量の間の関係を予測することである。

物理的な関係を表す[[数式]]においては、両辺や各項の次元が一致しなくてはならない。この規則を逆に利用すると、既知の量を組み合わせ、求めたい未知の物理量の次元に一致するように式を立てれば、それは正しい関係式になっている可能性が高い。これを'''レイリーの方法'''（{{en|Rayleigh's method}}）という<ref>{{cite|和書|author=神田佳一|title=水理学|publisher=実教出版|year=2016|isbn=978-4-407-33788-4|page=268}}</ref>。

次元解析を用いると、一般解を得ることが困難な（ときには不可能な）現象に対して、物理量間の関係を推測することができる。一方で、未知の物理量を決めるのに既知の物理量では不十分な場合にそれとわかることもある<ref>{{cite|和書|title=次元と次元解析|author=青野修|series=物理学 One Point 16|publisher=共立出版|year=1982|isbn=4-320-03168-7|id={{NDLDC|12609414|format=NDLJP}}|page=58}}</ref>。また、次元の不一致といったミスの防止にも役立つ。

== 次元一致の原理 ==
数式の左右両辺の各項の次元が等しい式は'''次元的に健全'''<ref>{{cite|和書 |editor=[[化学工学会]] |title=化学工学 |edition=3 |publisher=槇書店 |year=2006 |isbn=4-8375-0690-9 |page=6}}</ref>または'''次元的に斉一'''（{{en|homogeneous}}）<ref>{{cite|和書 |author=大野克嗣 |title=非線形な世界 |publisher=東京大学出版会 |year=2009 |isbn=978-4-13-063352-9}}</ref>であると呼ばれる。物理法則に基いて理論的に導かれる理論式は次元的に健全であり、次元的に健全な式のみ物理では意味があると考える。すなわち物理現象を支配する物理方程式の各項の次元は次元的に健全でなければならない。この原理を'''次元一致の原理'''（{{en |principle of dimensional consistency}}）という<ref>{{cite|和書 |author=五十嵐保 |author2=杉山均 |title=流体工学と伝熱工学のための次元解析活用法 |publisher=共立出版 |year=2013 |isbn=978-4-320-07189-6 |page=6}}</ref>。

=== 数学的表現 ===
物理量''Q'' が''n'' 個の物理量''x<sub>i</sub>'' によって決定されるとき、それらの関係を表す式
:<math>Q=F(x_1,\dots,x_n)</math>
が次元的に健全であるということは、次のように変形できることを意味する<ref>{{cite journal|和書 |url=https://nagaokaut.repo.nii.ac.jp/record/579/files/K16_14.pdf |author=白樫正高 |title=次元解析再考 |journal=長岡技術科学大学研究報告 |volume=16 |pages=93-95|year=1994|hdl=10649/479|access-date=2023-08-13}}</ref>。
:<math>F(x_1,\dots,x_n) = \prod_i [X_i]^{a_i} \times F^*(x_1^*,\dots,x_n^*)</math>
ここで<math>[X_i]</math>は物理量<math>x_i</math>の単位または次元、*付きの変数は無次元量を意味する。

== バッキンガムの&pi;定理 ==
'''バッキンガムの&pi;定理'''（[[:en:Buckingham_π_theorem|Buckingham &Pi; theorem]]）とは、[[数理物理学]]の分野において、次元解析の基礎となる理論である。大雑把に言うと、物理的な関係式が[[物理量|物理変数]]を''n'' 個含み、それらの変数が''k'' 種類の独立な[[基本単位]]を持つならば、その式は元の物理変数で構成される''p'' = ''n'' - ''k'' 個の[[無次元量|無次元パラメータ]]を含む式と等価であるという定理である。この定理により、与えられた物理変数から、たとえ関係式の形が不明であっても無次元パラメータを求めることができる。物理量を無次元量で書き直せば、式の次元の一致・不一致をチェックする必要がなくなり、解析が簡単になる。ただし、無次元パラメータの選び方は一意ではない。バッキンガムの&Pi;定理は無次元パラメータを求める方法を与えるだけであり、物理的に意味のあるものを選ぶわけではない。

2つの物理的な系の無次元パラメータが一致するとき、それらの系は'''[[相似]]'''であるという（大きさのみが異なる三角形を相似と呼ぶのと同様である）。これらの系は数学的には等価であるため、解析をするために便利な（実験などがしやすい）系を選ぶことができる。

より正確に表現すると、無次元パラメータの個数''p'' は次元行列''M'' の[[行列の階数#線型写像の階数|退化次数]] null ''M'' に等しく、''k'' はその[[行列の階数|階数]] rank ''M'' に等しい。物理的に異なる系に対して、無次元パラメータが等しくなるなら、それらの系は数学的に等価である。

=== 定式化 ===
次のような物理的な関係式があるとする：
: <math>f(q_1, q_2, \dots, q_n) = 0</math>
ここで''q''<sub>1</sub>, ..., ''q<sub>n</sub>'' は''n'' 個の物理変数であり、''k'' 種類の独立な基本単位で表されている。このとき、上式は次の数学的に等価な式に書き換えることができる：
: <math>F(\pi_1, \pi_2, \dots, \pi_p) = 0</math>
ここで&pi;<sub>1</sub>, ..., &pi;<sub>''p''</sub> は''q''<sub>1</sub>, ..., ''q<sub>n</sub>'' で構成される''p'' = ''n'' - ''k'' 個の 無次元パラメータである：
: <math>\pi_i = q_1^{a_1} \, q_2^{a_2} \cdots q_n^{a_n}, \quad i=1,\dots,p</math>
ここで指数''a<sub>i</sub>'' は[[有理数]]である（適当に[[べき乗]]すれば常に[[整数]]としてよい）。

=== 証明 ===
{{節スタブ}}
==== 概要 ====
前提として、与えられた基本単位は[[有理数]]体上の[[ベクトル空間]]（物理次元ベクトル空間と呼ぶ）の[[基底 (線型代数学)|基底]]であり、物理単位の積はベクトルの和で表され、べき乗はスカラー倍を表すとする。有次元の物理変数を必要な基本単位の指数の組で表す（現れない基本単位に対しては指数はゼロとする）。例えば、[[重力加速度]]''g'' は<math>\mathsf{L T}^{-2}</math>（長さ÷時間<sup>2</sup>）の[[量の次元|次元]]を持つ。したがってこれは基底（長さ，時間）に関してベクトル(1, -2)で表される。

物理的単位を物理的関係式の両辺で一致させることは、物理次元ベクトル空間で[[線形従属]]性を課すこととみなすことができる。

==== 正式な証明 ====
有次元の物理変数''n'' 個で表される系を考える。基本単位は''k'' 種類とする。'''次元行列''' ''M'' &isin; R<sup>''k''&times;''n''</sup> を(''i'' , ''j'' )成分が''j'' 番目の物理変数の''i'' 番目の基本単位の指数である行列とする。例えば
: <math>M = \begin{pmatrix} a_1 \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix}</math>
は物理変数 {{math|''q''{{sub|1}}{{sup|''a''{{sub|1}}}}, ''q''{{sub|2}}{{sup|''a''{{sub|2}}}}, &hellip;, ''q{{sub|n}}{{sup|a{{sub|n}}}}''}} の次元行列である。

無次元量は単位のべきが全てゼロとなる（すなわち次元がない）組み合わせであり、次元行列の[[零空間]]に相当する。無次元変数は有次元変数間の単位の[[線型結合]]である。

[[行列の階数#線型写像の階数|階数・退化次数公式]]により、''k'' 個の（必要な）次元を持つ''n'' 個のベクトルから成る系は関係の''p'' (= ''n'' - ''k'' )-次元空間を満足する。任意の基底の選択は''p'' 個の無次元数の要素を持つ。

無次元変数は（分母を払うことで）いつも有次元変数の整数の組み合わせになるように取られる。不自然な有次元数の選択が数学的にはある。いくつかの無次元変数の選択は物理的により意味があり、理想的に使われるものがある。

== 例 ==
=== 調和振動 ===
例としてばねにつないだ物体の[[振動運動]]について考える。[[水平面]]上に質量 {{math|''m''}} の物体をおき、垂直に立った壁と物体との間を[[ばね定数]] {{math|''k''}} の[[ばね]]で結ぶ。ばねの自然長の状態から物体を {{math|''x''}} だけずらし、静かに手を離すと物体は振動運動を始める。このときの振動の[[周期]]（１振動にかかる時間）{{math|''T''}} を与える式を推測する。水平面との摩擦や空気抵抗は考えない。

式に含まれるであろう定数は、物体の質量 {{math|''m''}}、ばね定数 {{math|''k''}}、初期変位 {{math|''x''}} の3つである。長さの次元を<math>\mathsf{L}</math>、質量の[[量の次元|次元]]を<math>\mathsf{M}</math>、時間の次元を<math>\mathsf{T}</math>とすれば、それぞれの定数および周期 {{math|''T''}} の次元は<math>[m]=\mathsf{M}, [k]=\mathsf{M T}^{-2}, [x]=\mathsf{L}, [T]=\mathsf{T}</math>である。この中で長さの次元<math>\mathsf{L}</math>を含んでいるのは初期変位 {{math|''x''}} のみなので、式に含めることができない。なぜなら式の左辺と右辺では次元が一致しなくてはならず、初期変位を含めるならば両辺に同じだけかける必要があり、それならば無くても同じだからである。

次元が<math>\mathsf{T}</math>になるように {{math|''m''}} と {{math|''k''}} を組み合わせる方法は一つしかない。結果次の式が求まる。
: <math>T = A \sqrt{\frac{m}{k}}</math>

比例係数 {{math|''A''}} は[[無次元量]]の定数で次元解析から求めることはできない。この運動の[[運動方程式]]を直接解くと周期は
: <math>T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}</math>
となり、{{math|''A'' {{=}} 2&pi;}} のもとで両者は見事に一致している（[[固有振動]]も参照）。このように簡単な問題ならば次元を考えるだけで見通しが立つ。式の次元が合うことは必須の要請であるので、式の間違いをチェックする場合にも使える。

バッキンガムの&Pi;定理にしたがって考えると、物理量が {{math|''m'', ''k'', ''x''}} および {{math|''T''}} の4つで、次元が<math>\mathsf{M}, \mathsf{T}, \mathsf{L}</math>の3種類なので、次元行列は
: <math>M = \begin{pmatrix} \cdot&m&k&x&T \\ \mathsf{M} & 1 & 1 & 0 & 0  \\  \mathsf{T} & 0 & -2 & 0 & 1  \\  \mathsf{L} & 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}</math>
となる（便宜的に列が {{math|''m'', ''k'', ''x'', ''T''}} 、行が<math>\mathsf{M}, \mathsf{T}, \mathsf{L}</math>に対応していることを明記しているが、本来の次元行列には含まれない<!--この表記法は無出典の独自研究ですが、説明のためやむを得ず書いています-->）。{{math|null ''M'' {{=}} 1}} から、1個の無次元量があることが分かる。関係式はすなわちこの無次元量が定数ということである。
: <math>\frac{T}{\sqrt{m/k}} = A (=2\pi)</math>

=== 減衰振動 ===
[[ばね]]につながれた物体が、速度に比例した大きさの抵抗（粘性抵抗力）を受けながら一次元運動することを考える。[[運動方程式]]は以下である<ref>{{Cite book|和書 |author = 山本鎮男 |coauthors = 曽根彰・芦野隆一・守本晃 |title = ダイナミカルシステムの数理 基礎 |year = 1999 |publisher = 共立出版 |isbn = 978-4-320-08125-3 |page = 242}}</ref>{{main|減衰振動}}
: <math> m \ddot{x} = -c \dot{x} - k x </math>
式に現れる定数は、物体の[[質量]] {{math|''m''}}、[[粘性係数|粘性抵抗の比例係数]] {{math|''c''}}、[[ばね定数]] {{math|''k''}} の3つで、それぞれの次元は<math>[m]=\mathsf{M}, [c]=\mathsf{M T}^{-1}, [k]=[\mathsf{M T}^{-2}]</math>である。

この運動では、'''特徴的な時間尺度''' (characteristic time scale) が2つ存在する。即ち、
* 減衰時間：<math> \tau = \frac{m}{c}</math>
* 固有周期：<math> \frac{1}{\omega} = \sqrt{\frac{m}{k}}</math>
の2つの時間が現象を特徴づけており、時間尺度の競合が起こる。つまり {{math|&tau;}} と {{math|1/&omega;}} の大きさのバランスによって運動の様子が変わることが予想される。

&Pi;定理からは、物理量が {{math|''m'', ''c'', ''k''}} の3つで次元が<math>\mathsf{M}, \mathsf{T}</math>の2種類である（調和振動のときと同じ理由によって初期変位は入れなくても良い）から、次元行列が
: <math>M = \begin{pmatrix} \cdot & m & c & k \\ \mathsf{M} & 1 & 1 & 1  \\ \mathsf{T} &  0 & -1 & -2 \end{pmatrix}</math>
となる。したがって1つの無次元量でこの現象を特徴づけられることがわかる。この無次元量には通常、減衰比と呼ばれる
:<math>\zeta=1/2\tau\omega=c/2\sqrt{mk}</math>
が用いられ、実際に運動方程式を[[解析解|解析的に解く]]と、{{math|&zeta; < 1}} のとき減衰振動、{{math|&zeta; {{=}} 1}} のとき臨界減衰、{{math|&zeta; > 1}} のとき過減衰となり、運動が[[定性的]]にも変化する。

=== 流体機械 ===
[[ポンプ]]、[[送風機]]や[[発電用水車]]などの[[ターボ機械]]は内部流れが複雑であるため、その挙動を表す[[ナビエ-ストークス方程式]]を直接解くことができない。しかしその運転状態は以下の条件を与えるとおおよそ決まることが分かっている：
* 作動流体の[[密度]] {{math|&rho;}}　（次元は<math>[\rho]=\mathsf{M L}^{-3}</math>）
* 機械の大きさ {{math|''D''}}　（<math>[D]=\mathsf{L}</math>）
* [[回転速度]] {{math|''N''}}　（<math>[N]=\mathsf{T^{-1}}</math>）
* [[流量]] {{math|''Q''}}　（<math>[Q]=\mathsf{L}^3 \mathsf{T}^{-1}</math>）
このとき、次の未知量を推測する：
* [[圧力]] {{math|''P''}}　（<math>[P]=\mathsf{M L}^{-1} \mathsf{T}^{-2}</math>）
* [[動力|出力]] {{math|''L''}}　（<math>[L]=\mathsf{M L}^2 \mathsf{T}^{-3}</math>）
この場合は物理量は6つ、次元が3種類である。

次元が一致するように各変数のべきを調整すると、（変数が多いので一意ではないが）以下のように関係式を推測できる：
:<math>P = A \rho N^2 D^2 \left(\frac{Q}{ND^3}\right)^\alpha</math>
:<math>L = B \rho N^3 D^5 \left(\frac{Q}{ND^3}\right)^\beta</math>
ここで、{{math|''A'', ''B'', &alpha;, &beta;}} は次元解析から求めることはできないが、条件で考慮していない流体の[[粘度]]や機械の各部寸法バランスなどに依存する無次元量である。

この場合の次元行列は
: <math>M = \begin{pmatrix} \cdot&\rho&D&N&Q&P&L \\ \mathsf{M}&1&0&0&0&1&1  \\  \mathsf{T}&0&0&-1&-1&-2&-3  \\  \mathsf{L}&-3&1&0&3&-1&2 \end{pmatrix}</math>
であるため無次元数は {{math|null ''M'' {{=}} }}3つ存在する。よく用いられるのはそれぞれ流量係数、圧力係数、出力係数と呼ばれる以下の3つである：
: <math>\phi=\frac{Q}{ND^3},\quad\psi=\frac{P}{\rho N^2 D^2},\quad\tau=\frac{L}{\rho N^3 D^5}</math>
無次元の関係式 {{math|''f'', ''g''}} で表すと
:<math>\psi = f(\phi),\quad\tau = g(\phi)</math>
となる。

=== 原子構造 ===
原子構造を[[古典物理学]]が説明できないということも次元解析から理解できる<ref>{{Cite book|和書 |author = 大野克嗣 |coauthors = |title = 非線形な世界 |year = 2009 |publisher = 東京大学出版会 |isbn = 978-4-13-063352-9 |page = 165}}</ref>。

[[水素原子]]は[[電子]]が[[クーロン力]]で惑星のように[[陽子]]に束縛されている。その軌道の半径 {{math|''a''}} （<math>[a]=\mathsf{L}</math>）は、
* 電子の質量''m''　（次元は<math>[m]=\mathsf{M}</math>）
* [[電気素量]]''e''　（<math>[e]=\mathsf{TI}</math>）
* [[真空の誘電率]]&epsilon;{{sub|0}}　（<math>[\varepsilon_0]=\mathsf{M}^{-1} \mathsf{L}^{-3} \mathsf{T}^4 \mathsf{I}^2</math>）
で表されると考えられる。ここで、<math>\mathsf{M}</math> は質量、<math>\mathsf{L}</math> は長さ、<math>\mathsf{T}</math> は時間、<math>\mathsf{I}</math> は[[電流]]の次元を表す。ところが、これらの量をどう組み合わせても、長さの次元 <math>\mathsf{L}</math> を持った量を構成することができない。すなわち、水素原子は一定の大きさをとることができない。そこで[[ニールス・ボーア]]は、このようなミクロの世界では次元が <math>\mathsf{M L}^2 \mathsf{T}^{-1}</math> の[[プランク定数]] ''h'' が関係していると考えた。以上の4つの物理量を組み合わせて長さの次元を持つ量を作ると、
: <math>a = \frac{\epsilon_0 h^2}{m e^2}</math>
が導かれる。これは[[ボーア半径]]の {{math|&pi;}} 倍である。

以上の次元解析的議論により、ボーアは {{math|''h''}} が必須であることを確信した。

== 拡張 ==
次元解析を行う際に用いる次元は[[国際単位系#SI基本単位|国際単位系の基本単位]]に対応する7つの次元に限る必要はなく、扱う問題に応じて独立した次元を選ぶことができる<ref name=hirose>{{Cite journal |和書|author=広瀬勉 |authorlink= |title=次元解析への一視点-次元定数を媒介として- |date=1978 |journal=化学工学論文集 |volume=4 |issue=4 |naid= |pages=331-336 |ref= |url=https://doi.org/10.1252/kakoronbunshu.4.331 |doi=10.1252/kakoronbunshu.4.331 |publisher=化学工学会 }}</ref>。たとえば加速度のない流れでは質量、長さ、時間に加えて力を独立次元とみなすことでより厳密な情報が得られるというブリッジマン(1921)に由来する方法がある。

また長さの次元 <math>\mathsf{L}</math> に対して、3方向 {{math|(''x'' , ''y'' , ''z'')}} を区別して次元解析してもよい。この方法はHuntley(1955)に由来し<ref name=hirose/>、'''方向性次元解析'''（{{en|vectorial dimensional analysis}}<ref>{{cite|和書 |author=五十嵐保 |author2=杉山均 |title=流体工学と伝熱工学のための次元解析活用法 |publisher=共立出版 |year=2013 |isbn=978-4-320-07189-6 |page=104}}</ref>またはCosta(1971)によって'''指向解析''' (directional analysis)<ref name=hirose/>と呼ばれる。[[重力]]や[[境界層]]など、特別な方向をもつ物理現象に対しては方向性次元解析が有効になる場合がある。

例として、流れの中に、流れに平行に置かれた平板が受ける抗力の問題を考える<ref name=hirose/>。抗力 {{math|''F''}}、平板の面積 {{math|''S''}}、流速 {{math|''u''}}、流体の密度 {{math|&rho;}}、粘性 {{math|&mu;}}、平板前縁から流れに沿って測った距離を {{math|''x''}} とする。独立次元として<math>\mathsf{MLT}</math>を用いる通常の次元解析では2つの無次元数：抗力係数 {{math|''f''}} とレイノルズ数 {{math|''Re''}}
:<math>f = \frac{F}{S\rho u^2},\quad Re = \frac{xu\rho}{\mu}</math>
が得られるが、これらの間に成り立つ関係式の具体形は分からない。しかし平板に平行な2方向 {{math|''x'', ''y''}} の長さの次元<math>\mathsf{L}</math>と、平板に直交する {{math|''z''}} 方向の長さの次元<math>\mathsf{L}_z</math>を独立と考えることによって、層流の場合には
:<math>f Re^{1/2}=\text{const.}</math>
という、より詳細な関係式を得ることができる。

また、Moran(1967)によって[[群論]]的方法との関連も論じられている<ref name=hirose/>。

== 脚注 ==
{{Reflist}}

== 関連項目 ==
* [[量の次元]]
* [[単位]]
* [[自然単位系]]
* [[量方程式]]
* {{仮リンク|レイリー・リアボウチンスキーのパラドックス|sv|Rayleigh–Riabouchinskys paradox}}
* [[スケール因子]]
* [[ジョゼフ・フーリエ]]

== 外部リンク ==
* [http://www.math.ntnu.no/~hanche/notes/buckingham/buckingham-a5.pdf Buckingham's pi-theorem]

{{Physics-stub}}
{{authority control}}
{{DEFAULTSORT:しけんかいせき}}
[[Category:次元解析|*]]
[[Category:物理学]]
[[Category:無次元数]]