次元論 (代数学)のソースを表示

[[数学]]において、'''次元論'''（じげんろん、{{lang-en-short|dimension theory}}）は[[可換環論]]の一分野であり、[[可換環]]の[[クルル次元|次元]]の概念や、より一般に[[概型|スキーム]]のそれを研究する分野である。

理論はアフィン環、すなわち体上有限生成多元環である整域に対しては、はるかに単純である。{{仮リンク|ネーターの正規化定理|en|Noether normalization lemma|redirect=1}}により、そのような環のクルル次元は基礎体上の[[超越次数]]であり、理論は代数幾何学と並行して進む。{{仮リンク|代数多様体の次元|en|Dimension of an algebraic variety}}を参照。一般的な理論は幾何学的でなくなる傾向がある。特に、ネーター的でない環に対して知られていることはほとんどない。（Kaplansky の commutative rings は非ネーターのケースに詳しい。<!--gives a good account of the non-noetherian case-->）今日、標準的なアプローチは本質的にブルバキとEGAのアプローチである。これは[[次数付き加群]]を本質的に使い、他のものの中で射影多様体の次数の一般化である[[イデアルの重複度|重複度]]の役割を強調する。このアプローチでは、[[クルルの単項イデアル定理]]は系として現れる。

この記事を通して、<math>\operatorname{dim}</math> は環の[[クルル次元]]を表し、<math>\operatorname{ht}</math> は素イデアルの[[クルル次元]]（すなわちその素イデアルにおける局所化のクルル次元）を表す。

== 基本的な結果 ==

''R'' をネーター環または[[付値環]]とする。すると
:<math>\operatorname{dim} R[x] = \operatorname{dim} R + 1</math>
である。''R'' がネーター環であるときは、これは下記の基本定理（特に、[[クルルの単項イデアル定理]]）から従う。しかしそれはまたより精密な結果からも従う。''R'' の任意の素イデアル <math>\mathfrak{p}</math> に対して以下が成り立つ。
:<math>\operatorname{ht}(\mathfrak{p} R[x]) = \operatorname{ht}(\mathfrak{p})</math>.
:<math>\mathfrak{p}</math> に縮小する <math>R[x]</math> の任意の素イデアル <math>\mathfrak{q} \supsetneq \mathfrak{p} R[x]</math> に対して、<math>\operatorname{ht}(\mathfrak{q}) = \operatorname{ht}(\mathfrak{p}) + 1</math>
これは基本的な環論の範囲で証明できる(cf. Kaplansky, commutative rings)。ところで、これは特に次のことを言っている。<math>\operatorname{Spec} R[x] \to \operatorname{Spec} R</math> の各ファイバーにおいて、長さ <math>\ge 2</math> の素イデアルの列は存在しえない。

アルティン環（例えば体）の次元は 0 なので、帰納的に次の公式を得る。アルティン環 ''R'' に対して
:<math>\operatorname{dim} R[x_1, \dots, x_n] = n.</math>

== 基本定理 ==
<math>(R, \mathfrak{m})</math> をネーター局所環とし、''I'' を <math>\mathfrak{m}</math>-[[準素イデアル]]（すなわち <math>\mathfrak{m}</math> のあるベキと <math>\mathfrak{m}</math> の間にある）とする。<math>F(t)</math> を [[:en:associated graded ring|associated graded ring]] <math>\operatorname{gr}_I R = \oplus_0^\infty I^n / I^{n+1}</math> の[[ヒルベルト・ポアンカレ級数|ポワンカレ級数]]とする。つまり、
:<math>F(t) = \sum_0^\infty \ell(I^n / I^{n+1}) t^n</math>
ただし <math>\ell</math> は（アルティン環 <math>(\operatorname{gr}_I R)_0 = R/I</math> 上の）[[加群の長さ]]を意味する。<math>x_1, \dots, x_s</math> が ''I'' を生成するとすれば、それらの <math>I/I^2</math> における像は次数 1 をもち <math>\operatorname{gr}_I R</math> を <math>R/I</math>-多元環として生成する。[[ヒルベルト・セールの定理]]によって、''F'' は位数 <math>d \le s</math> の極を <math>t=1</math> にちょうど1つもつ有理関数である。
:<math>(1-t)^{-d} = \sum_0^\infty \binom{d-1+j}{d-1} t^j</math>,
であるので、<math>F(t) = (1-t)^d F(t) (1 - t)^{-d}</math> における <math>t^n</math> の係数は
:<math>\sum_0^N a_k \binom{d-1+n - k}{d-1} = (1-t)^dF(t)|_{t=1} {n^{d-1} \over {d-1}!} + O(n^{d-2})</math>
の形であることがわかる。つまり、<math>\ell(I^n / I^{n+1})</math> は ''n'' の次数 <math>d - 1</math> の多項式 <math>P</math> である。''P'' は <math>\operatorname{gr}_I R</math> の[[ヒルベルト多項式]]と呼ばれる。

<math>d(R) = d</math> とおく。また、<math>\delta(R)</math> を ''R'' の <math>\mathfrak{m}</math>-準素イデアルを生成できる、''R'' の元の最小個数とする。我々の目標は次の'''基本定理'''を証明することである。
:<math>\delta(R) = d(R) = \dim R</math>
''s'' を <math>\delta(R)</math> であるようにとることができるから、既に上記から <math>\delta(R) \ge d(R)</math> である。次に <math>d(R) \ge \operatorname{dim}R</math> を <math>d(R)</math> についての帰納法で証明する。<math>\mathfrak{p}_0 \subsetneq \cdots \subsetneq \mathfrak{p}_m</math> を ''R'' の素イデアルの列とする。<math>D = R/\mathfrak{p}_0</math> とし、''x'' を 0 でも単元でもない ''D'' の元とする。''x'' は零因子でないので、完全列
:<math>0 \to D \overset{x}\to D \to D/xD \to 0</math>
がある。さて、Hilbert-Samuel 多項式の次数のboundによって <math>d(D) > d(D/xD) \ge d(R/\mathfrak{p}_1)</math> である。（これは本質的に[[アルティン・リースの補題]]から従う。ステートメントと証明は[[ヒルベルト・サミュエル関数]]を参照。）<math>R/\mathfrak{p}_1</math> において、列 <math>\mathfrak{p}_i</math> は長さ <math>m-1</math> の列になり、したがって、帰納法の仮定と再び次数の評価によって、
:<math>m-1 \le \operatorname{dim}(R/\mathfrak{p}_1) \le d(R/\mathfrak{p}_1) \le d(D) - 1 \le d(R) - 1</math>
である。主張が従う。<math>\operatorname{dim}R \ge \delta(R)</math> を示すことが残っている。正確には、次のことを示す。
:'''補題''': ''R'' は、任意の ''i'' に対して <math>(x_1, \dots, x_i)</math> を含む任意の素イデアルの高さは <math>\ge i</math> であるような元 <math>x_1, \dots, x_s</math> を含む。
（注意：このとき <math>(x_1, \dots, x_s)</math> は <math>\mathfrak{m}</math>-準素である。）証明は省略する。例えば、Atiyah–MacDonald に証明がある。しかし証明は個人でもできる。アイデアは [[:en:prime avoidance|prime avoidance]] を使うことだ。

== 基本定理から得られる結果 ==
<math>(R, \mathfrak{m})</math> をネーター局所環とし、<math>k = R/\mathfrak{m}</math> とおく。すると、
*<math>\operatorname{dim}R \le \operatorname{dim}_k \mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2</math>, なぜならば <math>\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2</math> の基底は中山の補題によって <math>\mathfrak{m}</math> の生成集合に持ちあがるからである。等号が成り立つならば、''R'' は[[正則局所環]]と呼ばれる。
*<math>\operatorname{dim} \widehat{R} = \operatorname{dim} R</math>, なぜならば <math>\operatorname{gr}R = \operatorname{gr}\widehat{R}</math>.
*（[[クルルの単項イデアル定理]]）ネーター環において元 <math>x_1, \dots, x_s</math> で生成されるイデアルの高さは高々 ''s'' である。逆に、高さ ''s'' の素イデアルは ''s'' 個の元で生成できる。（証明： <math>\mathfrak{p}</math> をそのようなイデアルの上にある極小素イデアルとする。すると <math>s \ge \operatorname{dim} R_\mathfrak{p} = \operatorname{ht} \mathfrak{p}</math> である。逆は基本定理の証明の途中で示されている。）

<math>A \to B</math> がネーター局所環の射であれば、
:<math>\operatorname{dim}B/\mathfrak{m}_A B \ge \operatorname{dim}B - \operatorname{dim} A</math>
である<ref>{{harvnb|Eisenbud|loc=Theorem 10.10}}</ref>。等号は <math>A \to B</math> が[[平坦加群|平坦]]であれば、あるいはもっと一般的に[[上昇定理]]が成り立てば、成り立つ。（ここで、<math>B/\mathfrak{m}_A B</math> は{{仮リンク|特別ファイバー|en|special fiber}}と考える。）

証明： <math>x_1, \dots, x_n</math> が <math>\mathfrak{m}_A</math>-準素イデアルを生成するとし、<math>y_1, \dots, y_m</math> をそれらの像が <math>\mathfrak{m}_B/\mathfrak{m}_A B</math>-準素イデアルを生成するようなものとする。するとある ''s'' について <math>{\mathfrak{m}_B}^s \subset (y_1, \dots, y_m) + \mathfrak{m}_A B</math> である。両辺を何乗かすることにより、<math>\mathfrak{m}_B</math> のあるベキが <math>(y_1, \dots, y_m, x_1, \dots, x_n)</math> に含まれることがわかる。すなわち、後者のイデアルは <math>\mathfrak{m}_B</math>-準素である。したがって、<math>m + n \ge \dim B</math> である。等号については going-down property から直ちに従う。

''R'' がネーター局所環であれば、
:<math>\dim R[x] = \dim R + 1</math>.
証明： <math>\mathfrak{p}_0 \subsetneq \mathfrak{p}_1 \subsetneq \cdots \subsetneq \mathfrak{p}_n</math> が ''R'' の素イデアルの鎖であれば、<math>\mathfrak{p}_iR[x]</math> は <math>R[x]</math> の素イデアルの鎖であるが、<math>\mathfrak{p}_nR[x]</math> は極大イデアルではない。したがって、<math>\dim R + 1 \le \dim R[x]</math> である。逆向きの不等号を言うために、<math>\mathfrak{q}</math> を <math>R[x]</math> の極大イデアルとし、<math>\mathfrak{p} = R \cap \mathfrak{q}</math> とする。<math>R[x] / \mathfrak{p} R[x] = (R/\mathfrak{p}) [x]</math> は単項イデアル整域であるので、前の不等式によって <math>1 + \operatorname{dim} R \ge 1 + \operatorname{dim} R_\mathfrak{p} \ge \operatorname{dim} R[x]_\mathfrak{q}</math> を得る。<math>\mathfrak{q}</math> は任意だったので、このことより <math>1 + \operatorname{dim} R \ge \operatorname{dim} R[x]</math> である。

== 正則環 ==
''R'' を[[ネーター環]]とする。有限 ''R''-加群 ''M'' の[[射影次元]]は ''R'' の[[射影分解]]の最短の長さ（無限でもよい）であり、<math>\operatorname{pd}_R M</math> と表記される。<math>\operatorname{gl.dim} R = \sup \{ \operatorname{pd}_R M \mid M\text{ is a finite module} \}</math> とおく。これは ''R'' の[[大域次元]]と呼ばれる。

''R'' は局所環で、その剰余体を ''k'' とする。

{{math_theorem|name=補題|<math>\operatorname{pd}_R k = \operatorname{gl.dim} R</math> （無限でもよい）.}}

証明： 次のことを主張する。任意の有限 ''R''-加群 ''M'' に対して、
:<math>\operatorname{pd}_R M \le n \Leftrightarrow \operatorname{Tor}^R_{n+1}(M, k) = 0</math>.
dimension shifting （cf. 下記のセールの定理の証明）によって、<math>n = 0</math> に対してこれを証明すれば十分である。するとしかし、[[平坦加群|平坦性の局所的判定法]]によって、<math>\operatorname{Tor}^R_1(M, k) = 0 \Rightarrow M\text{ flat } \Rightarrow M\text{ free } \Rightarrow \operatorname{pd}_R(M) \le 0</math> である。今、 
:<math>\operatorname{gl.dim} R \le n \Rightarrow \operatorname{pd}_R k \le n \Rightarrow \operatorname{Tor}^R_{n+1}(-, k) = 0 \Rightarrow  \operatorname{pd}_R - \le n \Rightarrow \operatorname{gl.dim} R \le n</math>
であるので、証明が完了する。

{{math_theorem|name=補題|<math>R_1 = R/fR</math> とし、''f'' を ''R'' の非零因子とする。''f'' が有限加群 ''M'' 上非零因子であれば、<math>\operatorname{pd}_R M \ge \operatorname{pd}_{R_1} (M \otimes R_1)</math>.}}

証明： <math>\operatorname{pd}_R M = 0</math> であれば、''M'' は ''R''-自由でありしたがって <math>M \otimes R_1</math> は <math>R_1</math>-自由である。次に  <math>\operatorname{pd}_R M > 0</math> と仮定する。すると、''K'' がある自由加群から ''M'' への全射の核であるとき、<math>\operatorname{pd}_R K = \operatorname{pd}_R M - 1</math> である。したがって、帰納法により、<math>\operatorname{pd}_R M = 1</math> の場合を考えれば十分である。このとき射影分解
:<math>0 \to P_1 \to P_0 \to M \to 0</math>,
が存在して、これより
:<math>\operatorname{Tor}^R_1(M, R_1) \to P_1 \otimes R_1 \to P_0 \otimes R_1 \to M \otimes R_1 \to 0</math>.
しかし、<math>0 \to R \overset{f}\to R \to R_1 \to 0</math> を ''M'' でテンソルすることで、最初の項が消えることがわかる。それゆえ、<math>\operatorname{pd}_R (M \otimes R_1)</math> は高々 1 である。

{{math_theorem|name=セールの定理|''R'' が正則 <math>\Leftrightarrow \operatorname{gl.dim}R < \infty \Leftrightarrow \operatorname{gl.dim}R = \dim R.</math>}}

証明<ref>{{harvnb|Weibel|1994|loc=Theorem 4.4.16}}</ref>： ''R'' が正則であれば、<math>k = R/(f_1, \dots, f_n)</math> と書ける、ただし <math>f_i</math> はパラメータの正則系である。有限加群の完全列 <math>0 \to M \overset{f}\to M \to M_1 \to 0</math>、 ''f'' は極大イデアルのある元、<math>\operatorname{pd}_R M < \infty</math> によって、
:<math>0 = \operatorname{Tor}^R_{i+1}(M, k) \to \operatorname{Tor}^R_{i+1}(M_1, k) \to \operatorname{Tor}^R_i(M, k) \overset{f}\to \operatorname{Tor}^R_i(M, k), \quad i \ge \operatorname{pd}_R M.</math>
しかしここで ''f'' は ''k'' を殺すので 0 である。したがって、<math>\operatorname{Tor}^R_{i+1}(M_1, k) \simeq \operatorname{Tor}^R_i(M, k)</math> でありその結果 <math>\operatorname{pd}_R M_1 = 1 + \operatorname{pd}_R M</math> である。これを使って、次を得る。
:<math>\operatorname{pd}_R k = 1 + \operatorname{pd}_R (R/(f_1, \dots, f_{n-1})) = \cdots = n.</math>
逆の証明は <math>\operatorname{dim}R</math> についての帰納法による。inductive step を先にやる。<math>f_1</math> をパラメータ系の元として <math>R_1 = R/f_1 R</math> とおく。''R'' が正則であることを示すためには、<math>R_1</math> が正則であることを示せば十分である。しかし、<math>\dim R_1 < \dim R</math> であるので、帰納法の仮定と前の補題で <math>M = k</math> としたものによって、
:<math>\operatorname{pd}_R k = \operatorname{gl.dim} R < \infty \Rightarrow \operatorname{pd}_{R_1} k = \operatorname{gl.dim} R_1 < \infty \Rightarrow R_1 \text{ regular}.</math>

basic step が残っている。<math>\operatorname{dim}R = 0</math> とする。<math>\operatorname{gl.dim}R</math> が有限であれば 0 であると主張する。（このことは ''R'' が[[半単純環]]、すなわち体であることを意味している。）もしそうでないと仮定すると、ある有限加群 <math>M</math> が存在して <math>0 < \operatorname{pd}_R M < \infty</math> であり、したがって実は <math>\operatorname{pd}_R M = 1</math> であるような ''M'' が存在する。中山の補題によって、全射 <math>u: F \to M</math> であって <math>u \otimes 1: F \otimes k \to M \otimes k</math> が同型であるようなものが存在する。''K'' でその核を表記すれば、
:<math>0 \to K \to F \overset{u}\to M \to 0</math>.
<math>\operatorname{pd}_R K = \operatorname{pd}_R M - 1 = 0</math> であるので、''K'' は自由である。<math>\operatorname{dim}R = 0</math> であるので、極大イデアル <math>\mathfrak{m}</math> は ''R'' の[[随伴素因子|素因子]]である。すなわち、ある ''s'' &isin; ''R'' に対して <math>\mathfrak{m} = \operatorname{ann}(s)</math> である。<math>K \subset \mathfrak{m} M</math> であるので、<math>s K = 0</math> である。''K'' は 0 でないので、このことは <math>s = 0</math> を意味し、矛盾である。証明が完了した。

== 深さ ==

''R'' を環とし ''M'' をその上の加群とする。''R'' の元の列 <math>x_1, \dots, x_n</math> は次のとき[[正則列]]と呼ばれる。<math>x_1</math> は <math>M</math> の零因子でなく、<math>x_i</math> は各 <math>i = 2, \dots, n</math> について <math>M/(x_1, \dots, x_{i-1})M</math> の零因子でない。

''R'' を局所環とし、その極大イデアルを ''m'' とする。すると、''M'' の[[深さ (環論)|深さ]]は ''m'' における任意の極大正則列 <math>x_i</math> の長さの上限である。<math>\operatorname{depth} M \le \operatorname{dim} R</math> であることを（例えば帰納法によって）示すのは容易である。''R'' の深さが次元に等しいとき、''R'' は[[コーエン・マコーレー環]]と呼ばれる。

{{math_theorem|name=命題|<math>\operatorname{depth} M = \sup \{ n | \operatorname{Ext}_R^i(k, M) = 0, i < n. \}</math>}}

[[:en:Auslander–Buchsbaum formula|Auslander–Buchsbaum formula]] は深さと射影次元を関係づける。

{{math_theorem|''M'' をネーター局所環 ''R'' 上有限加群であるとする。<math>\operatorname{pd}_R M < \infty</math> であれば、
:<math>\operatorname{pd}_R M + \operatorname{depth} M = \operatorname{depth} R.</math>}}

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{Reflist}} 

== 参考文献 ==
{{reflist}}
* Part II of {{Citation | last=Eisenbud | first=David | author-link=David Eisenbud | year=1995 | title=Commutative algebra. With a view toward algebraic geometry | volume=150 | series=Graduate Texts in Mathematics | place=New York | publisher=Springer-Verlag | mr=1322960 | isbn=0-387-94268-8}}.
* Chapter 10 of {{Citation | last1=Atiyah | first1=Michael Francis | author1-link=Michael Atiyah | last2=Macdonald | first2=I.G. | author2-link=Ian G. Macdonald | title=Introduction to Commutative Algebra | publisher=Westview Press | isbn=978-0-201-40751-8 | year=1969}}.
* [[Irving Kaplansky|Kaplansky, Irving]], ''Commutative rings'', Allyn and Bacon, 1970.
* {{cite book |last=Weibel |first=Charles A. |authorlink=Charles Weibel |title=An Introduction to Homological Algebra |url= |accessdate= |year=1995 |publisher=Cambridge University Press |location= |isbn= |page=}}

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