次数付き微分代数のソースを表示

[[数学]]の特に[[抽象代数学]]および[[代数的位相幾何学]]における'''次数付き微分環'''（じすうつきびぶんかん、{{lang-en-short|''differential graded algebra''}}; 次数付き微分代数、微分次数環）は、その多元環構造に両立する[[鎖複体]]の構造を併せ持つ[[次数付き環]]を言う。

== 定義 ==
'''次数付き微分環''' (''differential graded algebra'') または短く'''DG代数'''とは、[[次数付き多元環]] {{mvar|A}} とその上の{{nowrap|次数 {{math|1}}}} または{{nowrap|次数 {{math|&minus;1}}}} の何れかである写像 {{math|''d'': ''A'' → ''A''}} で以下の性質を持つものとの組 {{math|(''A'', ''d'')}} を言う。

# <math>d \circ d=0</math>. {{efn|したがって {{mvar|d}} は、それが次数を上げる場合、{{mvar|A}} は[[鎖複体]]の構造を持ち、{{mvar|d}} はその鎖複体の「微分」となる。次数を上げる場合も同様に、双対鎖複体の「微分」となる。}}
# <math>d(a \cdot b)=(da) \cdot b + (-1)^{\operatorname{deg}(a)}a \cdot (db)</math>, ただし {{math|deg}} は各[[次数付き環|斉次元の次数]]を表す。{{efn|これは {{mvar|d}} が次数付きの意味での[[積の微分法則]]を満足することを言うものである}}

この定義をより簡潔（だがやや難解）な形で述べれば、次数付き微分環とは鎖複体全体の成す[[モノイド圏]]における[[モノイド対象]]のことである。次数付き微分環の間の'''次数付き微分準同型''' ('''DG射''') とは、微分 {{mvar|d}} と両立する次数付き多元環の準同型を言う。

'''次数付き微分{{ill2|添加代数|en|augmented algebra}}'''（'''DGA代数'''、添加DG代数、'''DGA'''）とは、係数環へのDG射を備えた次数付き微分代数を言う（この用語法は[[アンリ・カルタン]]によるものである<ref>{{citation|first=H. |last=Cartan|title= Sur les groupes d'Eilenberg-Mac Lane H(Π,n)|journal= Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A. |volume=40|year= 1954|pages= 467–471}}</ref>）
; 注: 文献によっては、DG代数の意味で ''DGA'' と言っている場合があるので注意。

== 例 ==
* {{ill2|コジュル複体|en|Koszul complex}}は次数付き微分環である。
* [[テンソル代数]]もまたコジュル複体同様に微分を持つ次数付き微分環となる。
* 位相空間の、{{math|'''Z'''/{{mvar|p}}'''Z'''}}-係数[[特異コホモロジー]]は以下の通り次数付き微分環となる: 複体の微分は短完全列 {{math|0 → '''Z'''/''p'''''Z''' → '''Z'''/''p''<sup>2</sup>'''Z''' → '''Z'''/''p'''''Z''' → 0}} に付随する{{ill2|ボクシュタイン準同型|en|Bockstein homomorphism}}によって与えられ、環の乗法は[[カップ積]]で与えられる。
* [[可微分多様体]]上の[[微分形式]]の全体に[[外微分]]と[[ウェッジ積|外積]]を入れて次数付き微分が考えられる。[[ド・ラムコホモロジー]]の項を参照。

== 次数付き微分環に関するその他の事実 ==
* 次数付き微分環 {{math|(''A'', ''d'')}} の[[ホモロジー (数学)|ホモロジー]] {{math|''H''{{sub|*}}(''A'') {{coloneqq}} ker(''d'')/im(''d'')}} は次数付き多元環を成す。また次数付き添加代数のホモロジーは{{ill2|添加代数|en|augmented algebra}}となる。

== 関連項目 ==
* {{ill2|次数付き微分圏|en|Differential graded category}}
* {{ill2|次数付き微分リー環|en|Differential graded Lie algebra}}
* {{ill2|次数付き微分スキーム|en|Differential graded scheme}}: 次数付き可換微分環のスペクトルをエタール位相に関して貼り合わせて得られる

== 注 ==
=== 注釈 ===
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=== 出典 ===
{{reflist}}
== 参考文献 ==
* {{Citation | last1=Manin | first1=Yuri Ivanovich | author1-link=Yuri Ivanovich Manin | last2=Gelfand | first2=Sergei I. | title=Methods of Homological Algebra | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | isbn=978-3-540-43583-9 | year=2003}}, see sections V.3 and V.5.6

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[[Category:微分環]]
[[Category:数学に関する記事]]